基于LSM模型的中国可转债定价问题初探，本文主要内容关键词为：中国论文,可转债论文,模型论文,LSM论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、中国可转债定价的难点
中国可转债市场起源于20世纪90年代初。一直以来，可转债市场法律法规的不完善以及投资者认识的不足使得可转债市场的发展并没有受到足够的重视。究其原因，主要是由于评估可转债的价值具有一定的难度。可转债是一种附加多种条款并具有路径依赖性的美式期权，同时可转债条款以及条款之间的相互作用也都影响着可转债的价格，这些因素都增加了可转债的定价难度。
(一)中国可转债条款的美式期权特性
从可转债各条款所表现出来的期权特性可以看出，可转债是多个选择权复合的美式期权。
转股条款。转股条款是指可转债在其转股期限内均可转换成基准股票。在转股期限内，如果基准股票表现良好，基准股票价格高于转股价格，可转债持有人可以通过转股获利；但如果股票价格低于转股价格，持有人则可以不进行转股。因此，对持有人而言，转股条款是一种美式看涨期权。
赎回条款。赎回条款是指在转股期内，当股价在连续一段时间内高于转股价的一定幅度时，发行人可按照事先约定的价格，买回全部或部分未转股的可转债。这是发行人的一项权利，发行人可以选择执行或不执行赎回条款。因此，对发行人而言，赎回条款事实上是一种美式看涨期权。
回售条款。回售条款，是指当股价在连续一段时间内低于转股价的一定幅度时，投资者可按照事先约定，将其持有的可转债全部或部分按高于面值的一定价格卖给发行人。这是可转债持有人的一项权利，持有人可以选择执行或不执行回售条款。也就是说，对持有人而言，回售条款则是一种美式看跌期权。
转股价向下修正条款。转股价向下修正条款，简称修正条款，是指在可转债存续期内，当股价连续一段时间内低于转股价的一定幅度时，发行人可以按照事先约定，对转股价格进行向下调整。对发行人而言，修正条款亦是一种美式看跌期权。
(二)可转债价值波动的路径依赖性
可转债的价格波动具有路径依赖性，所谓路径依赖性，即指可转债的价格波动受到基准股票价格波动的影响。因此，在为可转债定价时必须要考虑可转债的路径依赖问题。
以2010年8月6日上市的铜陵转债为例(图1)，从图1中可以看到，铜陵转债的价格波动路径与铜陵有色的价格波动路径非常相近。截至2011年3月11日，可转债市场中流通的其他15只可转债自上市以来的价格波动路径和基准股票的价格波动路径也表现出同样的趋势。
图1 2010-08-06至2011-03-03铜陵转债与铜陵有色收盘价
数据来源：根据Wind金融数据整理。
(三)可转债条款之间相互作用的博弈分析
除可转债转股条款所体现出来的美式期权特性以及路径依赖性外，事实上可转债条款之间的相互作用也会通过影响发行人与投资者的行为影响可转债的价值①。发行人与投资者在面对可转债的转股、赎回、修正转股价以及回售这四种条款时，会有不同的行为选择，这些行为之间也存在相互影响，在这些影响的作用下，发行人与投资者会采取一个最优的行为，使自身获得的价值达到最大化，而这一价值最大化的过程将影响可转债的价值。
1.转股条款与赎回条款之间的博弈
基准股票价格为S，转股价格为X，赎回价格为C。在不考虑时间价值、可转债发行成本、赎回费用的条件下，发行人与投资者的效用矩阵如表1所示。=
本文考虑当股价上涨到高于转股价一定幅度并触发赎回条款的情形时，100S/X＞C，即赎回日的转股价值高于赎回价格。
在这种情况下，若发行人选择赎回，由于此时100S/X-C＞C-100S/X，投资者会选择在可转债被赎回之前转股；而如果发行人选择不赎回，由于100S/X-C＞0，投资者也会选择转股。若投资者选择转股，由于100-C＞100-100S/X，发行人会选择赎回；而如果投资者选择不转股，由于100S/X-C＞0，发行人会选择赎回。
从以上的分析，得到一个纯策略的纳什均衡，即发行人选择赎回，投资者选择转股。也就是说，当转股价值大于赎回价格时，投资者会在发行人赎回可转债之前进行转股。
2.回售条款与修正条款之间的博弈
记可转债的回售价格为G，修正后的转股价格为，在该博弈模型中，本文引入因投资者的回售行为给发行人造成的资金给付压力L，二者的效用矩阵如表2所示。
在中国，可转债回售条款的转股价比率一般都低于修正的转股价比率②的10%以上，修正条款先于回售条款被触发。因此，本文分析发行人先行动的一个动态博弈(如图2所示)。
若发行人选择修正股价，由于G 100×S/＜100×S/-G，投资者会选择不回售可转债；若发行人选择不修正股价，由于G 100×S/＞100×S/-G，投资者会选择行使回售权。
由于100×S/X-100×S/＞100×S/X-G-L，即在发行人修正股价，投资者不回售的情形下，发行人的效用大于其不修正股价，故投资者选择回售时所获得的效用。
因此，本文认为，发行人与投资者基于可转债修正条款与回售条款的动态博弈达到的一个均衡结果是当股价下跌到一定幅度时，发行人会选择修正股价，防止投资者行使回售权利。从这个层面来看，修正条款对可转债价值的影响要大于回售条款对可转债价值的影响。这也正是中国可转债定价的难点所在。
二、经典可转债定价方法的比较分析：基于可转债定价三大难点
(一)经典可转债定价方法的比较
可转债是一种附加多种条款，并且具有路径依赖性的美式期权，可转债各条款之间还存在着相互影响问题。目前可转债的定价方法分为解析法和数值法两种，解析法即B-S期权定价方法，数值法则包括二叉树定价法、有限差分定价法、蒙特卡洛模拟定价法等。这些定价方法由于定价原理的不同，都存在一定的利弊(见表3)
在这几种定价方法中B-S期权定价方法是唯一能够得到套期保值参数和杠杆效应的解析表达式的定价方法，因此能为可转债的交易策略提供较清晰的定性和定量的结论。但是B-S期权定价方法只能为欧式期权定价，无法将可转债所含的复杂期权都考虑进来，因此在为可转债定价时会有一定的偏差，同时，该方法也不能解决可转债的路径依赖问题。
二叉树定价方法和有限差分定价方法在成为可转债主流定价方法之前，都是用来求解B-S微分方程的，但这两种方法都具有B-S定价方法无法比拟的优势。首先，二叉树定价方法以其直观、形象的定价方式，很快地被市场所接纳，有限差分定价方法究其本质，与二叉树定价方法有一定的类似之处。二者都是从可转债到期时刻的价值倒推判断每个节点的可转债价值，直至期初，因此都能解释可转债的美式期权特性。但是，这两种方法的计算量很大，当使用较多步长或存在多个变量时，计算效率低，并且未表现出可转债价格与股票价格波动的联动性，因此难以解决可转债的路径依赖问题。
蒙特卡罗模拟方法，虽然简单易懂，能够高效地处理多个变量的情况，但是蒙特卡罗模拟方法只能用于欧式期权的定价，并且只是单纯地将每条股价波动路径的终值作贴现并求算术平均值，虽模拟了股票波动的路径，但却只取其终值，因此对可转债的路径依赖问题也不能很好地诠释。
(二)LSM模型的应用优势
LSM定价方法，即最小二乘蒙特卡罗模拟定价方法，是对蒙特卡罗模拟定价法的改进。LSM定价方法和蒙特卡罗模拟定价法一样，都是通过计算机产生一系列的股价正态分布随机数，根据剩余期限的不同和要求精度的不同选取股价波动的步长和路径数。针对蒙特卡罗模拟只能用于欧式期权定价，并且无法解决可转债路径依赖问题这两个局限性，LSM定价方法对此进行了改进。
LSM定价方法可转债的剩余期限T分成N个相同的时间间隔，共N+1个时点，并利用计算机产生N个股票价格随机数，分别为
。在T时刻，比较到期赎回价和可转债的转股价值，从而确定了一系列时刻T时可转债的价值，并贴现到T-时刻。比较T-时刻各条路径的转股价与股价，将股价高于转股价的路径记录下来，记为Z。利用最小二乘法，选取变量Z和
，对前面求出的T时刻可转债价值贴现到T-Δt时刻的值建立回归方程，求出T-Δt时刻继续持有可转债的期望收益，将T-Δt时刻的转股价值做比较，较高者即为T-Δt时刻可转债的价值，然后不断重复以上步骤，倒推至期初。这样就能很好地解决可转债的路径依赖问题。并且LSM定价方法还可具体地分析每条路径每个时点是否执行期权或继续持有可转债，从而能够为具有美式期权特性的可转债进行定价。
经过以上的处理，LSM就能够很好地解决可转债美式期权特性和路径依赖性的定价难题，虽然计算时间上较蒙特卡罗模拟定价方法有所延长，但其定价原理是非常符合可转债各种特性的。
三、中国可转债定价的实证分析：基于LSM模型
本部分的实证分析包含两个层面的研究，一是对横截面的现存可转债在上市首日的价值评估；二是选取定价偏差相对较大的四个样本，在纵向上对样本的存续期的时间序列进行价值评估。
(一)参数的选取
参数选取一：无风险利率。
在为上市首日的可转债进行定价时，无风险利率选取可转债上市前一日同期国债的到期收益率(详见表4)。
参数选取二：股价波动率。
在为上市首日的可转债进行定价时，股价波动率选取可转债上市前240个交易日的股票收盘价，采用差分序列
，求其收益率标准差，作为历史日波动率，再进行年化，即为股价年波动率(见表4)。
(二)对上市首日可转债的定价
本文选取目前市场上16只可转债的数据，为上市首日的可转债进行定价。模拟路径10000次，步长按一年250个交易日计算。通过Matlab软件得出这16只可转债上市首日的理论价格，并将理论价格与上市首日实际收盘价作比较(见表5)。
从表5中，将误差率取绝对值后做算术平均，可以求得采用LSM方法为可转债进行定价的平均误差率为4.468%，按照95%的定价精度标准，LSM方法的定价精度达到了95.532%，超过95%的水平。
在表5的16只可转债上市首日的理论价格中，有4只可转债的误差率超过了5%，分别为新钢转债、中行转债、美丰转债和燕京转债，其中新钢转债的误差率最高，为18.173%。
下文主要针对误差率较大的新钢转债、中行转债、美丰转债以及燕京转债，在整个存续期限内，再次运用LSM模型为可转债定价。
(三)对整个存续期的可转债的定价
本文对新钢转债、中行转债、美丰转债以及燕京转债自上市日起至2011年3月11日每隔4个交易日进行定价，模拟路径10 000次，步长按一年250个交易日计算，无风险利率选用同期银行间固定利率国债的到期收益率。股价波动率为每半年计算一次的历史波动率。本文通过Matlab软件运行LSM定价方法，得出定价结果(见表6)。
四、LSM模型定价结果的应用：投资策略的构建
考虑到LSM模型具有较高的定价精度，能够较为准确评估可转债的合理价值，而市场价格与合理价值的短期偏离正是产生投资机会的重要时机，投资者可以尝试采用这样的投资策略：当LSM模型的定价结果高于实际收盘价时，投资者选择买入可转债，当LSM模型的定价结果低于实际收盘价时，选择卖出。
应用之一：基于新钢转债价值评估的投资策略
根据LSM模型的定价结果，采用上述投资策略，投资者在2008年9月5日以96.434 2的价格买入新钢转债，在2009年7月30日显示新钢转债价值被高估时，以163.586 3的价位卖出，在不考虑交易费用的情况下，能获利69.64%，相比上证综指在这一时期45.85%的涨幅，投资新钢转债的收益是非常可观的。
事实上，新钢转债2008年价值被低估主要是由于2008年股市行情的下滑，新钢股份的价格连续下跌，投资者对当时市场缺乏信心，新钢转债的价格超跌，从而导致了LSM模型的定价结果高于其实际价格，误差率较大。
应用之二：基于中行转债价值评估的投资策略
根据LSM定价结果，投资者在2010年6月18日以99.896 7的价位买入中行转债，于2010年10月14日以112.355 1的价位卖出，在不考虑交易费用的情况下，获利12.47%。在这一时期上证综指的区间涨幅恰好也为12.47%，相比股票投资的高风险性，投资于中行转债显然是更优的选择。
应用之三：基于美丰转债价值评估的投资策略
同样的，投资者采用上述投资策略，且不考虑交易费用。表7描述了具体的买入卖出策略。
表7显示：投资者投资于美丰转债的平均收益为(17.81%-0.66%+4.22%)/3=6.12%，而上证综指的平均涨幅为(3.45%+0.45%+4.22%)/3=2.71%，相比之下，投资美丰转债的平均收益更高，并且风险要小于股票市场。
应用之四：基于燕京转债价值评估的投资策略
自上市以来，燕京转债的LSM模型定价结果一直低于其实际收盘价。根据前文的投资策略，燕京转债很可能被市场高估，此时投资者应警惕燕京转债价格下跌的风险。
五、结论
实证分析结果表明，通过对目前市场上流通的16只可转债进行了上市首日的定价，定价误差率为4.468%，在这16只可转债中新钢转债、中行转债、美丰转债和燕京转债上市首日的定价误差率较高。为进一步分析，本文将上市首日误差率较大的新钢转债、中行转债、美丰转债和燕京转债进行了整个存续期的定价。实证分析结论表明：LSM模型的定价效率还是非常高的，基本能够将定价误差率控制在5%以内。鉴于LSM模型为可转债定价能够达到较高的精度，LSM模型的定价结论具有广泛的实践指导意义。
如前所述，LSM定价方法考虑了可转债各条款之间的相互影响，并且模拟股价变动从而能很好地为具有路径依赖性和美式期权特性的可转债进行定价。然而，影响可转债价格的因素是多种多样的，如交易费用，股票分红，股权稀释，信用风险等等，本文并没有考虑这些因素，这些因素有可能会影响LSM方法为可转债定价的准确度。因此，综合考虑各种影响可转债价格的因素，提高LSM模型的定价精度也正是本文后续研究的方向。
注释：
①本文并不考虑投资者在二级市场进行可转债交易获得买卖差价的行为，而是将所有投资者看作一个整体，分析投资者与发行人的行为。
②修正的转股价比率=触发修正条款的股价/转股价×100%。
③新钢转债2008年的定价结果误差率较大，在剔除2008年的数据后，LSM模型定价结果的平均误差率为4.146%，定价精度为95.854%，高于95%的精度要求。
④中行转债的条款设计比较特殊，其回售条款规定仅当可转债募集资金运用的实施情况与其在募集说明书中的承诺相比出现变化时，其可转债持有人才享有依次回售的权利。从某种意义上说，这样的回售条款形同虚设。因此，在LSM的定价过程中，本文不考虑中行转债的回售条款。