不经历风雨怎么见彩虹——“等差数列前n项的和”三次教学设计有感，本文主要内容关键词为：等差数列论文,教学设计论文,风雨论文,见彩虹论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、天高气爽
2007年3月13日参加市新课程培训刚回来，要准备明天的课——《等差数列前n项的和》。据以往的教法，大多是从高斯求和引入，此课题在2003年浙江省优质课评比中，有的教师还自创实际问题引入，且不说情境复杂学生理解费劲、费时，还让人觉得“实际问题不实际”，为“问题”而问题。可能是再次充了“新理念的电”吧，觉得以上的设计都不尽满意，有创一下“新”的冲动。
首先，我觉得从高斯求和引入，趣味性强、富有启发性，且学生通俗易懂，容易把学生注意力和思维引入到“首末凑配”上。但也有缺陷，例如体现不出等差数列求和的必要性（为什么要研究等差数列求和）、启发性过强（不“启”也能“发”，不利于思维训练）、学生易在配对上纠缠（往往分奇偶性讨论）、不利于数学方法本质的揭示（倒序求和法揭示不自然、充分）。基于以上的考虑，认为还是从现实需要出发创造问题情境，这样体现研究等差数列求和的必要性，继而引出探究一般等差数列求和规律，给出一般式
。研读教材，刚好教材中有现成的实际问题（
例1“校校通”），所以就得到如下的设计。
以为如此设计弥补了用高斯求和引入的不足，体现了创造性地使用教材，心里美滋滋的。说实在的，对于新教材的使用，自以为还是得心应手的，在新课程实施以前，有很多东西我所想的和所做的就与新课标相符合，沐浴在新课改的春风里真是天高气爽，借课改的风我真想飞得更高更远。
二、风云骤变
上课了，我胸有成竹地步入课堂，出示“校校通”问题：
2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》。某市据此提出了实施“校校通”工程总指标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网。据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元。为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元。那么从2001年起的未来10年内。该市在“校校通”工程中的总投入是多少？
创设实际问题情境让学生思考，学生写出前几年的经费，抽象出等差数列模型（达到我如期目标），然后让学生探究求和。突然一向害怕数学的生W立即说出了答案，我马上叫他说出原因，他说由高斯求和的方法，首末相加…（看来高斯求和已深入人心）。
生W的回答，一下子“摧毁”了我苦心经营的“堡垒”，我的设计显得苍白无力，只好绕回到高斯求和了，不出所料在探究
时学生用的是奇偶讨论，倒序求和法探究失败，只好由我代为介绍。
三、雨一直下
第二节课，我只好临时改变主意，仍然沿用高斯故事引入。我在黑板上写出1+2+3+4+…+100=?
学生马上答出5050，我想讲高斯故事，学生嚷嚷说都已经知道。
师：那你们知道高斯是如何想出这个答案呢？
生：1+100,2+99，…配成50对，50×101=5050。
师：如果是1+2+3+4+…+99=?
生：（稍作思考）1+99，2+98，…共有49对，剩下50单独算。
1+2+3+4+…+99=(1+99)×49+50
（就是不说倒序相加，这一设计达不到预期目标。）
师：稍作推广=1+2+3+4+…+n又该如何求？
生：分成奇、偶讨论。（还是没用倒序相加）
只好让学生先探究结果…
师：结果不随n的奇、偶性改变，是否意味着还有统一的方法，也就是是否有避开分类讨论的方法呢？
生：（探究）……
但是过了很久，探究没有结果，可能认为问题已经解决，解题的愿望削弱，解出的可能性也减少，正如波利亚所说的“除非你有十分强烈的解题愿望，否则解决一道难题的可能性是非常小的”。不得已我只好抛出倒序相加法。
这种方法能避开分类讨论，把求和用统一的方法推导出来。
师：注意到=1+2+3+4+…+n中各项是什么数列？
生：等差数列。
师：对于一般的等差数列前n项和如何求呢？是否也有类似的规律呢？
生：（尝试、探究，得出正确的结论，然后进行公式应用…）
尽管在公式得出过程中，引导的还算自然，实际上探究是失败的，不但结果没有探究成功，倒序相加法也是我自己说出来的，探究过程对训练学生的思维作用也不大，无论从思维广度和深度都不够。表面上是探究，实际上还是灌输，更关键的是花费时间多，课堂效率不高。在遗憾中结束了课，迈着沉重的步伐陷入反思……
四、雨过彩虹现
课后，我深刻地进行反思，难道真的没有两全其美的方法吗？真的没有好的设计方法吗？重新分析课堂中的一幕幕。问自己在课堂引入中要达到什么目的：(1)激起学生兴趣；(2)激发学生思考和探究；(3)在自然情景下探究知识的发生过程；(4)花费时间要少。本课是公式教学，在何处设计探究点？如何探究呢？(1)公式（结论）的形成过程探究，可以用观察、归纳、类比、猜想等思维方法；(2)公式推导方法探究。也就是先确立探究目标，再加上探究方法指导，就可以放手让学生探究了。重新设计后，感觉不错有再上一下的冲动，就借了另外一个班级试验，课堂实录如下：
师：（开门见山，节约时间）前面我们研究了等差数列的概念和一些性质，今天我们再来探究一下等差数列前n项和的规律（板书课题，言简意赅地抛出探究内容）。
师：有了猜想，就有了研究方向。但我们又该选择什么研究起点？研究的方法是什么呢？
生：从特殊地方入手，也就是用特殊到一般的思想方法。（研究方法指导）
师：那好我们就从特殊的项数入手。板书：
生：脸上露出了惊奇，也表现出了欣喜，全班情绪高涨，为探究出规律而感叹、欢呼和惊叹。（设计的初衷得以实现）
生：若n是奇数呢？就不行了。
师：从以上发现过程中看出，利用等差数列性质进行首尾配对，但不管n奇偶，结论的形式统一。是否有统一的方法呢？
师：漂亮！那么就把以上求和的方法取一个名字吧！要根据特征取哟。
生：（议论后达成一致）倒序求和法。
（探究成功，教学和谐有序地进入下一个环节。）
五、美丽的背后
如何探寻适合于学生自己的教学设计，使教学效益最大化是始终萦绕在我心中的问题，课堂教学的实效性是我们一线教师毕生的追求。从以上的改进过程中，我越钻研发现问题越多，课堂中值得思考的问题也越多。
(1)数学应用也要讲究一个“度”。
数学新课程加强了数学应用的必要性，同时在改革试验中也说明加强应用的必要性，但绝不能将应用作为数学课程的唯一目标。因为数学具有两重性，由数学的实践性和抽象模式性衍生出来的数学应用的广泛性，直接决定了数学的应用价值，这种应用价值将数学与人类的社会实践活动联系在一起，随着时代的发展这种联系愈加牢固；另一方面，数学以现实世界为源泉，反映现实世界，并以严格的逻辑思维为手段的研究方式充分发挥了人的心智功能，使数学具备了抽象的心智训练价值。因此数学课程必须是应用价值和理性价值的统一。谈到课堂教学设计似乎运用实际问题情境就是好的设计，现今数学新课程不缺应用性了，我们不能走极端。象本课开始从设计实际问题引入是失败的，后来从数学内在联系出发经观察、归纳、猜想、证明，结论的探究、方法的探求的设计取得了较好的探究效果。
(2)课堂探究要追求务实、有效。
这节课是等差数列前n项和的问题，这个问题如何探究？转化为与n的关系，这个关系如何探求？要么化成
，n，要么转化为
，d，n，如何化呢？不就有等差数列的性质可以用吗？性质又从何入手？这就涉及方法论了，教师在课堂上用得最多的是由特殊到一般方法，这样一步步转化就很自然，充分体现了数学的思想方法和数学精神，使学生学会了“从无到有”的探究方法，体现了探究的实效。如有的教师出示课题（或一道题目），就直接要求学生们进行小组合作学习，课堂气氛顿时活泼起来了，给人的印象十分好，接着便是一个个小组代表（实为优等生）汇报他们的“研究成果”。这样既省却了教师的分析的麻烦，又可冠冕堂皇的谓之“合作探究式”。这样的探究是不务实也是不负责任的。
当前，在数学课堂上，探究教学大行其道，有时也确实取得了显著的成效。从另外的角度看，探究教学需要花费很多时间，再说还受教学进度、教学内容、教师精力、班级人数等等条件制约，真正意义上的探究教学是不容易的。教师应善于根据不同的教学内容、灵活应用不同的教学方法。教师谋求的是不同教学方式之问的平衡与互补，寻求的是不同教学方法的一种最佳的整合状态。该“探究”就探究，宜“接受”就接受，只有多种教学方法取长补短、平衡互补、相辅相成，才能取得相得益彰的教学效果，才能促使学生的最优发展。
(3)“预设”和“生成”要和谐统一。
“预设”——课堂不能没有你，“生成”——课堂因你而精彩。怎样处理好“预设”和“生成”的关系？一方面教学是一个有计划、有目标的活动，因此，课前的准备清晰、周密，并富有理性思考，才能提高课堂教学的效率；另一方面，教学的本身又是一个动态的建构过程，教学双方的智慧显示、碰撞、融合是不能不讲临局变通的，这是师生实现交流和互动的必然，也为学生得到富有个性的发展创造条件。课堂是一个“生态系统”，是动态生成的，有些情况是无法意料的，如开始设计中没有很好地了解学生，实际上学生对高斯的故事早已熟悉，创设的情境低效，尽管顺应学生的思维推进，还是被学生牵着鼻子走。学生意外的发言就摧毁了我原来的设计，只好顺应课堂的生成。在课堂教学中，影响课堂教学的因素是复杂多变的，随机性很强，它要求教师在面对突变的课堂情景时，要针对学生的实际情况，因时因事因人而制宜。
六、数学课堂要落实“思维量”
数学课堂由表演走向对话，由预设走向生成，这是大势所趋，人心所向。这就要求我们每一位教师从心底去克服形式主义，让数学课程洋溢着火热的思考，布构着丰满的数学结构，充盈着朴素的数学原理，流淌着自然的数学技术，呈现出“走向未知”的“后现代教学观”与“对话课堂观”。开始的设计中，学生几乎没有展开思考就得出结论，即使教学顺利进行，知识目标得以实现，也不是好的教学设计。而最后的设计，学生充满了火热的思考，历经观察、归纳、猜想、证明，结论的探究、方法的探求，充分调动学生进行思考和提取储备知识来解决问题，学生的思维品质得以优化，思维方法、策略得以提高。
例如例题教学中，有些教师“在课前准备了大量的练习（多媒体更使得变本加厉），由浅入深，层层推进，定理讲解一结束，练习如潮水般涌来；题目刚展示，教师急着叫‘停’，有学生能做请答之，无人能做则讲之。”这样一节课下来，大容量、高密度，题型丰富，似乎效率高。可结果如何呢？且不说课堂上教师疲惫学生紧张，就拿效果来说，课堂上学生主动参与了吗？有多少学生“主动建构”了？难怪学生课后抄作业成风，社会上各种各样的辅导班、家教大有市场。这样的数学课学生会有兴趣吗？学习能力能提高吗？这实际上是一种错误的教学策略，虽然课堂容量“多”了，但是学生的思维量“少”了，教学效果并不见得好。殊不知做练习的目的是为了促进思考，培养思维能力，所以数学课堂上关键是落实一个“思维量”。