解读以高等数学知识为背景的高考数学试题，本文主要内容关键词为：高等数学论文,数学试题论文,背景论文,知识论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
随着新课程改革的不断推进和高考制度改革的不断深化，以及各省（直辖市）、市自主命制的高考试题不断创新的需要，参加命题的大学教授和中学数学教育专家受自身学术和研究方向的影响，非常重视初、高等数学知识的衔接.这主要体现在两个方面：一方面，中学数学许多具体化的知识为高等数学的抽象化提供了实际背景，把高等数学的有关知识用初等数学语言或新定义的语言描述出来改编成为高考数学试题，就成了新情境下以高等数学知识为背景的高考数学试题，体现了考纲对高考试题命制的创新要求.另一方面，这类题目命题立意新，情境新，思维价值高，拓宽了考生的视野，能很好地考查考生的阅读理解能力、知识迁移能力、分析问题、解决问题的能力和考生的创新意识，以及进入高校学习的潜能.因此，这类试题成为了高考创新试题中的一道亮丽的风景线，备受命题专家青睐.下面笔者以近几年来有高等数学背景的高考数学试题为蓝本，对其涉及高等数学知识的背景及相关知识作一个解读，供参考.
一、以高等数学基本概念为背景的高考题
1.以群的概念为背景编制的高考题
例1 （2006四川，理16）非空集合G关于运算
满足：（1）对任意的a，b∈G，都有ab∈G，（2）存在e∈G，使得对一切a∈G，都有ae=ea=a，则称G关于运算为“融洽集”.现给出下列集合和运算：
①G=｛非负整数｝，为整数的加法；
②G=｛偶数｝，为整数的乘法；
③G=｛平面向量｝，为平面向量的加法；
④G=｛二次三项式｝，为多项式的加法；
⑤G=｛虚数｝，为复数的乘法.其中G关于运算为“融洽集”的是____（写出所有“融洽集”的序号）
高数背景解读：本例是以《高等代数》[1]中群的定义为背景编制的高考试题.群的定义是：假定G是一个有代数运算“”的非空集合.如果满足下面条件，那么我们就说G对于代数运算“”构成群：
1）结合律成立，即对于任意a，b，c ∈ G，都有（ab）c=a（bc）；
2）在G中存在一个元素e，叫做G的单位元，对于任意a∈G，都有ae=ea=a；
3）对于任意a∈G，在G中存在一个元素a'，叫做a的逆元，使得a'a=aa'=e，这里e是一个固定的单位元.
利用群的定义及相关知识验证：给定集合只有①③对给定运算为“融洽集”.例1的答案为：①③.
2.以数域的概念为背景编制的高考题
例2（2006辽宁，理5）设是R上的一个运算，A是R的非空子集，若对任意a，b∈A有ab∈A，则称A对运算封闭，下列数集对加法、减法、乘法和除法（除数不等于零）四则运算都封闭的是（ ）
（A）自然数集（B）整数集
（C）有理数集（D）无理数集
例3 （2008福建，理16）没P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a，b∈P，都有a+b，ab，
∈P（除数b≠0），则称P是一个数域.例如有理数集Q是数域；数集
也是数域.有下列命题：
①整数集是数域；
②若有理数集Q
M，则数集M必为数域；
③数域必为无限集；
④存在无穷多个数域.
其中正确的命题的序号是____.（把你认为正确的命题的序号都填上）
高数背景解读：以上两道例题都是以《高等代数》[1]中数域的定义为背景编制的高考试题.数域的定义是：假定F是复数集C的非空子集，如果F中任意两个数a与b的和a+b，差a-b，积ab，商（b≠0）仍在F中，那么F就叫数域.即数域是对加、减、乘、除运算的一个封闭的数集.由定义易知相关知识：①任何数域必含有数0，1；②有理数对和、差、积、商封闭，所以有理数是数域；③有理数是最小的数域，任何数域都包含有理数数域.
利用上述相关知识可解得：例2答案为：（C）；例3答案为：
.
3.以环的概念为背景编制的高考题
例4 （2010四川，理16）设S为复数集C的非空子集.若对任意x，y∈S，都有x+y，x-y，xy∈S，则称S为封闭集.下列命题：
①集合S=｛a+bi]a，b为整数，i为虚数单位｝为封闭集；
②若S为封闭集，则一定有0∈S；
③封闭集一定是无限集；
④若S为封闭集，则满足STC的任意集合T也是封闭集.
其中真命题是____（写出所有真命题的序号）.
高数背景解读：本例是以《近世代数基础》[2]中数环的定义为背景编制的高考试题.题设中其实给出了数环的初等定义，其定义是：假定S是全体复数集C的非空的子集，如果S中任意两个数a与b的和a+b，差a-b，积ab仍在S中，那么S就叫数环.即数环是对加、减、乘运算的一个封闭的数集.由定义易知相关知识：①任何数环必含有数0；②｛0｝是唯一的单元素环；③若数环中含有一个非零数，则此数环必含有无穷多个数.
二、以高等数学基本运算为背景的高考题
以高等代数线性运算为背景编制的高考题
例7 （2009四川，理16）设V是已知平面M上所有向量的集合，对于映射f：V→V,a ∈ V，记a的像为f（a）.若映射f：V→V满足：对所有a，b∈V及任意实数λ，μ都有f（λa+μa）=λf（a）+μ（b），则f称为平面M上的线性变换.现有下列命题：
①设f是平面M上的线性变换，则f（0）=0；
②对a∈V，设f（a）=2a，则f是平面M上的线性变换；
③若e是平面M上的单位向量，对a∈V，设f（a）=a-e，则f是平面M上的线性变换；
④设f是平面M上的线性变换，a，b∈V，若a，b共线，则f（a），f（b）也共线.其中真命题是____.（写出所有真命题的序号）
高数背景解读：本例是以《高等代数》[1]中线性变换的定义为背景编制的高考试题.题目题设中给出了线性变换的概念，结合概念进行线性运算验证知：①②④合乎题意.故本例正确答案应填：
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以高等数学基本运算为背景的高考题还有一些，在此不一一列举.事实上，前面的例1～例4也可视为此类题型.
三、以高等数学基本定理、原理为背景的高考题
1.以零点定理为背景编制的高考题
例8 （2004广东，理21）设函数f（x）=x-ln（x+m），其中常数m为整数.
（Ⅰ）当m为何值时，f（x）≥0；
（Ⅱ）定理：若函数g（x）在[a，b]上连续，且g（a）与g（b）异号，则至少存在一点
∈（a，b），使得g（）=0.
试用上述定理证明：当整数m＞1时，方程f（x）=0在
内有两个实根.
高数背景解读：本例的（Ⅱ）定理源于《数学分析》[3]闭区间上连续函数的整体性质中根的存在性定理：若函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，且f（a）与f（b）异号（即f（a）f（b）＜0），则在（a，b）内至少存在一点，使得f（）=0，即方程f（x）=0在（a，b）内至少存在一个实根.对第（Ⅱ）问的解答则体现了运用该定理解决初等数学中方程（超越方程或高次方程）根的存在性问题以及用此定理判断方程在给定区间的根的个数问题.
2.以拉格朗日中值定理为背景编制的高考题
高数背景解读：本例的第（2）问就具有《数学分析》[3]中的“拉格朗日中值定理”的背景.拉格朗日中值定理的内容是：若函数f（x）满足如下条件：
1）f（x）在闭区间[a，b]上连续，2）f（x）在开区间（a，b）上可导.
从而有
＞-1由此可见，运用拉格朗日中值定理求证此小问，比高考参考答案的解答求证此小问简便了许多.
此外，还有2006年的四川理22的第（Ⅱ）问也可以用《数学分析》中的“拉格朗日中值定理”方便解决.
3.以压缩映照原理为背景编制的高考题
高数背景解读：本例是以《实变函数与泛函分析基础》[4]中压缩映照原理及其应用编制的高考题.该题的第（Ⅰ）小问从初等数学的角度揭示了实变函数与泛函分析中度量空间（又叫Banach空间）的一个重要的概念：压缩映照（Contract mapping）：设X是度量空间，T为X→X的映射，如果存在一个数a（0＜a＜1），使得对一切x，y∈X，有d（Tx，Ty）≤ad（x，y）都成立，则称T为X上的压缩映照.
其几何意义是：点x和点y经过T映照后，它们的像的距离缩短了，不超过d（x，y）的a（0＜a＜1）倍.
该题的第（Ⅱ）小问从初等数学的角度揭示了压缩映照原理（又叫Banach不动点原理）：设X是完备的度量空间，T是X上的压缩映照，那么T有且只有一个不动点（即方程Tx=x有且只有一个解）.
该题的第（Ⅲ）小问是压缩映照在解决初等数学问题中的运用.
压缩映照及其原理的具体运用详见文[5].
4.以不动点原理[6]为背景编制的高考题
（1）当a=1，b=-2时，求函数f（x）的不动点.
（2）若对任意实数b，函数f（x）恒有两个相异的不动点，求a的取值范围.
（Ⅰ）求
的通项公式；（Ⅱ）、（Ⅲ）（略）.
高数背景解读：例11是直接以不动点原理为背景编制的高考题.例12则体现不动点原理在由递推关系求数列通项公式中的应用.不动点的定义是：设函数f（x）的定义域为I，若存在∈I，使得f（）=成立，则称为f（x）的不动点.不动点原理自1912年荷兰数学家布劳威尔（Brouwer）首先提出，至今数学家们已找到并证明了上百条不动点原理.寻找一种变换，把数、向量、矩阵、行列式、几何图形等作为元素，使得该元素在该变换下仍变为自己，便得到了不动点.不动点是一个有趣的概念，现代数学的不少分支从不同的角度研究与不动点有关的问题.近年来的高考试题中，以不动点原理为背景的试题频繁出现，值得引起读者的足够重视.