在转化探究中发展数学思维——“图形的测量”教学整体设计的思考与实践，本文主要内容关键词为：测量论文,图形论文,思维论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
小学数学教材中“空间与图形”的内容部分分四条线索展开：一是图形的认识，二是图形的测量，三是图形与变换，四是图形与位置。其中，图形的测量主要包括长度、面积、体积的度量概念生成和图形周长、面积、体积的计算公式推导两大部分。因此，图形测量的课可以分为两大类型（简称“课型”），一是度量概念的生成课型，二是计算公式的推导课型。本文主要以“平面图形的面积计算”为例，对计算公式推导中的以“转化探究”为主的课型的整体教学设计进行具体阐述。
一、教材特征
尽管图形周长、面积和体积的计算有各自的一般方法和特殊方法，但其解决问题的思路具有一致性。教学中都是先从规则图形入手，使学生掌握规则图形测量计算的一般方法，再把不规则图形转化为规则图形，从而运用规则图形测量计算的一般方法解决不规则图形的计算问题，最后进行图形测量问题的估测与估算。
分析“平面图形面积计算”这一部分知识，不难发现，长方形、正方形的面积计算是一般方法，平行四边形的面积计算过程是学生第一次接触转化的思想方法，学会通过一定的途径将未知转化为已知；到三角形面积的计算就可以让学生直接运用这一思路和方法，适当拓展；到梯形面积的计算，教学目标可定位在学生独立运用学过的方法解决新的问题。这一过程是学生习得知识与方法并将其转化为自身素养的过程，也是数学思想的体验和感悟的过程。学生通过自主探索和逐步抽象归纳，对于平面图形面积的结构会有一定的认识，对图形之间的内在联系和相互之间的转化会有更深刻的体会。
二、基本结构
作为以“转化探究”为主的课型，必然与直观猜想、实验操作、概括结论等基本要素相关。通过实践，我确立了如下的课程实施流程。
三、教学策略
1.以整体的方式建构学习模型
教学，是“让新知之舟泊在旧知的锚上”，为新知的学习提供最佳关系和固定点。图形面积计算从纵向来看，是以转化的形式把新图形的面积计算这一新知顺应于原有的认知结构（即已知图形的面积计算）之中；从横向来看，又可以以类比的形式把一个个“点”状的新知同化建构成一个完整的认知结构。在起始课中，可以有意识地引导学生归纳梳理学习的过程，建立清晰的探索学习的方法结构；到了后续的学习中，从半扶半放到逐步放手，指导学生调用学习经验，自主展开探索过程，“猜想—转化—推导—应用”的过程也就逐步成为学生内化并能自觉调用的学习经验，真正转化为学生的学习能力。
2.以转化的策略强化直观猜想
学生生活在万千信息的社会里，生活中无处不见的数学现象无时无刻不进入他们的认知领域，成为他们数学活动的经验基础，并构成进一步学习新知的“现实数学”。当拿到一个新图形、面对一个新问题时，学生根据各自不同的生活经验和理解，自主尝试，有的学生会试图画格子，数面积单位的个数；有的学生会折，即使是无意识的折也会发现能转化成其他图形；有的学生会剪、拼，使其成为比较好说、好用的长方形。这一过程，学生自己动起手来了，可以看到身边同学的操作，相互启发；可以看到转化的结果，体验转化的过程，体悟新旧转化的数学策略无处不在。
3.以方法的体悟增强数学敏感
当学生通过直观猜想和偶然尝试，发现转化的方法后，兴奋点会始终停留在具体拼折的方法上，此时学生的思维是点状的。如果对“为什么有些方法能转化成功”、“在这些活动中如何使图形之间的联系更加清晰”等问题没有及时追问，那么再到下个内容的学习时，学生的水平将依然停留在自己摸索到的几种偶然成功的方法上，而没有体悟到转化成功的必然性和转化背后的道理。如何将方法通过点拨、提炼得以清晰并加以推广呢？教学过程中教师可以将有意识的追问和学生相互启发后的再次操作、体悟紧密结合，帮助学生发现和总结：都是通过特殊的线（高）和点（中点）才能转化成功。这个过程演绎，是师生、生生思维的相互激发，是学生思维由直观描述走向抽象关联，并最终建立数学敏感的必经之路。
4.以互动的推导发展逻辑思维
众所周知，直觉思维与逻辑思维是数学思维的两种互补形式，直觉思维的培养应与逻辑思维培养结合起来进行。在经历一系列操作探究后，有必要使学生的思维走向抽象概括，因为不同的转化办法，最后都可以归纳成同一个公式。学生的能力有差异：有的学生比较敏感，知识基础较扎实，发现就比较快，对公式的记忆也是建立在形象的理解上；但还会有部分学生只看到某个图形面积计算的具体结果，难以理解公式。因此，虽然教材不要求学生亲自推导生成公式，但我们对公式的处理也不能简单化。可以通过师生、生生互动的方式，请学生找一找、比一比、写一写、记一记，经历公式符号化的过程，从而为后续的几何学习乃至数学逻辑思维能力的发展进行积极的渗透。
四、实施建议
在实施教学的过程中，教师不仅要根据学生的起点进行有针对性的教学，还要根据课堂当下的状态不断作出方案的动态调整；不仅要关注学生当堂课的目标达成，还要关注前节课的目标要求是否能够在学生身上自觉地加以体现。因此，教学中，教师要注意以下几个方面。
1.重建目标，拓展价值
掌握图形的面积、体积公式，是图形测量内容的重要教学目标，但教学时不能将主要精力放在套用公式进行计算上，以至于将这部分内容简单地处理为计算问题。因为从平行四边形的面积到三角形的面积、梯形的面积，在知识运用和思维方法上具有类同关系，可以通过教结构、用结构的方式有序展开。对于规则图形面积和体积公式的探索和应用，不仅有利于学生解决实际问题，并且对于学生认识图形的特征和图形之间的相互关系、体会重要的数学思想、发展空间观念也是大有益处的。
因此，我把“图形面积转化”教学的育人价值定位为：在探索图形面积的过程中，感受转化的数学思想方法，感受渗透其中的关系分析思维方式，并对图形特征和内在关系建立基本的敏感。这一系列课的总目标和每一课的递进目标见下页表。
2.明晰关系，层次推进
为了在教学中体现和落实以上育人价值，教师要清晰地把握和推进三个层次的关系，一是知识结构的内在关联，二是探究过程的层次递进，三是知识递进与学生能力发展之间的互动关系。
要对平面图形面积计算问题进行内在的知识结构分析，必须透过各图形表面的不同去寻找它们之间共有的内在本质联系。平行四边形转化成长方形的前提是要找到直角，直角三角形转化成长方形的前提也是要找到直角或斜边上的中点，而三角形转化成平行四边形的前提是要找到平行线。同理，从梯形腰上的中点，或既从高又从中点出发，都可以将梯形转化成长方形、平行四边形或三角形。这实际上就是将图形之间的内在关系结构教给学生，学生把握了这个关系结构，就为他们解决其他平面图形面积问题提供了转化的基本方法。
根据知识之间的结构关联性，可以循序渐进地教给学生平面图形面积计算的学习方法结构，也就是探究学习的三个具体步骤。第一步，掌握把未知转化成已知的方法，也就是从关键的点或线出发实现转化。这些经验的积累可以为学生实现转化提供具体的方法支撑。第二步，找到转化前后的关系，教师帮助学生明确“变”不是盲目随意的变，不是为了变而“变”，而是在“变”的基础上能找到变化前后的关系。这是很关键的一步。教师要努力引导学生发现图形转化前后线段之间的对应关系和面积的相等关系、加倍关系、减半关系，为学生获得结论提供有力的“桥梁”。第三步，利用转化前后的关系推出结论。前两步的最终目的是要获得未知图形面积计算的结论，根据转化前后的关系，可以用字母或文字的符号形式来表达从已知推理未知的过程。这是发展学生逻辑思维的重要资源和手段。学生掌握了这样的学习方法和步骤，就有可能主动探究其他图形的面积计算。
综上所述，整个单元的知识结构是一个大的整体，每一堂课也是一个完整的探索、学习的过程。教师在教学中要充分关注学生的能力发展：一是让学生自己尝试探究方法，充分发挥学生的自主探究能力；二是通过小组交流各种方法，畅通学生之间的交流和合作；三是在交流和反馈中发现问题，将疑虑放下去让学生再次动手操作、再次感悟。在此基础上寻找每种方法之间的联系，有意识地引导学生整体思考问题，探寻各种转化方法的异同，体会转化背后的道理。从而帮助学生整体地把握和感知方法，加深对平面图形特征的认识，也加深对平面图形之间关系的理解，有效培养学生的空间观念。
3.灵活结构，自主创造
根据知识结构的整体规划和学生能力发展的现实状态，整个教学阶段并不是一成不变的程式化教学。每节课都应追求目标的递进和对学生当下状态的把握，体现灵活性。这种灵活性表现在以下两个方面。
一是教学目标递进的设计决定了每节课各有其培养的侧重点。长方形、正方形的面积计算教学重在引导学生整体感悟图形最基本的度量单位和方法，区分一维周长计算和二维面积计算之间的差异；平行四边形的面积计算重在转化策略和方法的体悟；三角形面积计算的教学重在引导学生发现图形转化前后的关系和用符号表示推理的结论；梯形面积计算重在巩固方法结构，梳理思维策略；圆的面积计算重在引导学生感悟化曲为直和无限逼近的数学思想。
二是每节课学生的起点存在差异。在平行四边形教学时，学生的差异是对转化方法和把握转化关键的差异，因此教学重在“实践——体悟——再实践”。在三角形的学习中，学生运用平行四边形的方法结构和转化途径，有很多的方法出来，但由于所选材料（三角形的类型）的不同，又会发现许多不同的转化途径。在此基础上，教师可以引导学生相互模仿，实践同学的思路，并进一步反思自己的操作结果：用这种方法一定能转化成功吗？对所有的三角形都适用吗？受上节课的影响，学生还是局限在用一个三角形上。教师可以有意识地追问，把学生的思维从上节课的转化方式中拓展出来。因此，教师不仅要根据学生的起点状态进行有针对性的教学，还要根据学生的现实状态不断做出方案上的动态调整；不仅要关注本堂课的目标达成情况，还要关注上节课的目标要求能否在学生身上自觉地加以体现。教学的灵活性也就体现在如何处理这些差异和变化中。