张伶伶[1]2007年在《几类发展方程的有限差分方法》文中进行了进一步梳理本文研究了实际问题中遇到的几类发展型偏微分方程的数值方法。根据方程的特点分别运用特征差分法，二阶迎风交替方向法，高精度交替方向法等进行了求解，并对每一种逼近格式做了理论上的分析。分析结果表明本文提出的几种差分格式是收敛的，实际计算是可行的。本文取得的主要结果如下：1．第二章研究了叁次采油过程中二维可压缩可混溶流体驱动模型的两种差分格式。该模型主要是由压力方程和饱和度方程组成。尤其对其中的饱和度方程，由于其对流扩散的特性，首先，本文引入特征差分方法和双线性插值方法解决，该方法能有效避免产生数值弥散和非物理力学特性的数值振荡。压力方程是一非线性抛物型方程，采用五点隐格式求解，然后对这两种差分格式采用最大模证明其收敛性。其次，在解决对流扩散方程时特征差分法虽具有优势，但在处理边界条件时带来了计算的复杂性，为克服此困难可以采用迎风格式，普通的迎风格式只有一阶精度，本文提出二阶迎风交替方向格式，该格式不仅可以把空间的计算精度提高至二阶，而且结合了交替方向法的优势，使得在保证计算精确度的前提下，实际计算效率也大大提高。同时对压力方程采用稳定化校正交替方向格式，通过严谨的数值分析，得到这两种交替方向格式的最佳阶L~2模误差估计。2．第叁章构造了抛物型方程的一种高精度交替方向格式，并用能量估计方法证明了该格式的收敛性，其收敛阶为Δt~2+h~4。传统的交替方向格式精度仅为Δt~α+h~β其中α，β≤2。通过数值算例与传统的几种格式进行比较，结果表明，本文所提出的格式和已有的格式相比，计算精度有了较大的提高。3．第四章研究了日本血吸虫病的Barbour双宿主模型，该模型由两个非线性偏微分方程组成非线性方程组，对此我们构造交替方向差分格式求解，并用能量估计方法证明了其收敛性。
公敬[2]2001年在《几类发展方程的数值方法》文中研究指明本论文讨论了几类发展方程的数值方法的误差估计。 第一章考虑线性双曲型积分微分方程混合问题的半离散有限元方法的超收敛估计，所给出的新的初值近似U_0和U_1，使我们得到了（1.1.1）的有限元解与精确解的Ritz-Volterra投影的W~(s,p)(Ω)模的如下超收敛估计：k＞1，s=0，2≤p≤∞时，超收敛1阶；k＞1，s=1，2≤p＜∞时，超收敛2阶；k＞1，s=1，p=∞时，几乎超收敛2阶；k=1，s=1，2≤p≤∞时，超收敛1阶。 第二章考虑非线性抛物型积分微分方程的非协调Wilson元逼近的收敛阶估计。在[10]中给出的网格剖分上的特定条件下，给出了（2.1.1）的Wilson元近似解与真解的L_2模与S_h模误差估计。 第叁章考虑两点边值问题和一维二次抛物型问题的一阶广义差分格式，并得到了其最优L_p和W~(1,p)（2≤p≤∞）模误差估计以及一些W~(1,p)（2≤p≤∞）模超收敛估计。
谢建强[3]2017年在《几类发展方程的紧致差分法研究》文中研究指明本文主要研究几类发展方程的紧致差分法,并对设计的相应数值格式进行理论分析,通过一些数值算例来验证数值算法的准确性和有效性。本文共五章,具体的研究工作如下:第二章主要致力于一维Burgers方程的两种高阶数值求解方法的发展和应用,这两种方法在时空方向均有四阶精度。其中,方法一在时间方向使用Crank-Nicolson格式和Richardson外推法,在空间方向用四阶紧致差分法逼近;方法二采取基于padé逼近的时间步方法和空间四阶的紧致差分法。另外,我们运用矩阵分析法分别研究了这两种方法的稳定性。数值实验证实了新算法的合理性和高效性。第叁章研究了一维非线性常延迟反应扩散方程的紧致差分法,并运用能量法证明差分解在最大范数意义下具有O(t~2+h~4)的收敛阶。接着,在时间方向运用Richardson外推法,获得了O(t~4+h~4)外推解。然后,将该数值方法推广到其它复杂的延迟问题。最后,数值算例验证了算法的计算精度和有效性。第四章对一维粘性波动方程,构造一个叁层紧致差分格式,并运用能量法进行误差分析,证明差分格式在最大范数意义下有O(t~2+h~4)的收敛阶。利用Richardson外推法,得到O(t~4+h~4)的外推解。最后,给出一个数值算例,证实该差分格式的收敛阶和有效性。第五章对全文进行了总结、展望。
唐致娣[4]2013年在《谱方法解几类发展方程》文中认为谱方法越来越广泛的应用于许多领域，如流体力学、海洋工程、量子力学、大气科学、电磁技术、水利水电等科学和工程。经过几十年的发展，谱方法不仅在理论分析上日渐完善，在数值模拟上也取得了一些重要成果。谱方法之所以在近几年来发展迅速，最吸引人的地方是它的“谱精度”，它的收敛性只与所逼近问题的光滑性质有关，只要所求问题的解越光滑，收敛率就越高，如果所求问题的解是无穷光滑的，那么它的收敛率则是指数阶的，另外，很多研究中也提出将有限元法和谱方法相结合，以减弱谱方法对区域的限制。所以，使用谱方法针对具体问题建立谱格式后，对格式的误差分析就显的尤为重要，特别是对非线性的问题，好的结果并不多。本文致力于讨论叁种非线性方程的谱格式及其收敛性和稳定性。首先，本文讨论了数值求解具有Dirichlet边界条件的分数阶BBM-Burgers方程。BBM-Burgers方程是1972年T.B.Benjamin，J.LBona和J.J.Mahony在研究非线性色散长波传播的情况时提出的，而分数阶的BBM-Burgers方程更适合刻画非线性色散长波的传播，分数阶微分方程描述更为清晰和准确，本文在Caputo导数的定义下，使用谱方法进行数值计算，先建立该分数阶方程的Legendre-Chebyshev谱方法,即数值格式在整体上采取Legendre-Galerkin形式,对非线性项采用配点法，证明其半离散问题解的存在性、稳定性及收敛性，给出近似解在H1意义下的误差估计.从理论结果和数值实验上说明了谱方法的优越性。其次在本文第四章中讨论了零边界条件的广义正则化长波方程，该方程描写了弱非线性作用下空间变换的等离子声波的传播数值，采用同上一章相同的数值方法，建立该方程的Legendre-Galerkin半离散格式，推导格式的稳定性和收敛性，得到最优收敛解估计，同时对时间层也进行离散，构造该方程的全离散格式，选取适当的基函数以化简运算，然后证明了其稳定性、收敛性，最后对此方程进行数值模拟，得到的结果与实际情况相吻合。最后，在本文第五章中讨论了使用谱方法解决非零边界的RLW问题，首先选取一个变换，将非零的边界条件转换为零边界条件，通过变换原方程转化为变系数的微分方程，建立此变系数微分方程的Legendre-Galerkin方法，对时间层使用Laplace修正，得到向后Euler和C-N两种格式，对非线性项采用在Chebyshev-Gauss-Lobatto点上插值，选取Legendre多项式作为基函数，使离散方程组的系数矩阵分解为两个叁对角阵的子系统，最后给出近似解在H1意义下的收敛速率。在误差分析上本文使用的方法是传统的能量估计法，而文中使用的稳定性则是由郭本瑜提出的广义稳定性。
蒋丰泽[5]2016年在《几类随机发展方程的数值方法研究》文中研究说明本论文考虑几类随机发展方程的数值方法,全文由两个部分组成。第一部分研究随机偏微分方程的数值方法,包括受乘性噪声驱动的随机弹性方程的随机指数积分子方法,非线性随机抛物方程的Parareal算法以及受无穷维分数阶Brown运动驱动的随机偏微分方程的Galerkin谱方法。第二部分研究随机常微分方程Milstein型方法的构造,并研究了方法的强收敛性和保指数均方稳定性。论文由以下六章组成：第一章介绍随机偏微分方程和随机常微分方程数值方法研究的发展历史与现状,并给出本文的主要内容和结构安排。第二章简要介绍无穷维维纳过程和可分Hilbert空间中无穷维随机积分的基础知识。第叁章对于受乘性噪声驱动的随机弹性方程,我们在时间上采用随机指数积分子方法,空间上采用有限元方法。通过分别分析空间和时间的半离散误差获得全离散格式的误差估计,并证明了时间上的强收敛阶与方程解析解的时间正则性是一致的。第四章,我们将Parareal算法应用到一类非线性随机抛物方程。我们发现,当在粗网格上使用随机积分子、细网格上使用精确解算子时,对于受加性时空噪声驱动的随机抛物方程,Parareal算法的收敛速率是超线性的,而且收敛因子与噪声的正则性无关。进一步的数值试验还表明对于受乘性噪声驱动的随机抛物方程以及含有非全局Lipschitz漂移项的随机抛物方程,Parareal算法依然有效。第五章,对于受无穷维分数阶Brown运动驱动的随机偏微分方程,我们在空间上采用Galerkin谱方法,时间上采用线性隐式Euler方法,并利用方程解析解的正则性结果分析了数值方法的强收敛性。我们的结论表明数值方法的时空强收敛阶与解析解的时空正则性是一致的。第六章对于一类Ito型自治随机常微分方程,我们提出了两类两步Milstein方法,并分析了方法的护误差。我们证明了这两类格式都具有1阶强收敛阶,并且在步长满足一定限制的条件下,这两类格式都可以保持随机微分方程的指数均方稳定性,而且数值解的衰减速率会收敛到解析解的衰减速率。
蔡加祥[6]2015年在《偏微分方程保结构算法构造及分析》文中研究表明随着科学的快速发展,越来越多的物理、化学和生物过程可以用非线性发展方程或者电磁场方程来描述.在许多情况下这些系统是保守的,因此如何为这些系统设计高效且能保持系统守恒量的算法一直是计算科学的研究热点.本博士学位论文致力于几类非线性发展方程的局部保结构算法(多辛算法,局部能量、动量守恒算法)和叁维Maxwell方程高效保结构算法的研究及其数值分析.主要研究成果包括：1)辛算法以及全局保能量、动量等传统保结构算法在处理偏微分方程时,除了要考察方程是否是保守系统外,还必须考虑边界条件是否适当,只有在适当的边界条件下才可以使用这些保结构算法.为了增加保结构算法的适用范围,我们以耦合非线性Schrodinger系统、Boussinesq系统和Klein-Gordon-Schrodinger系统为研究对象,为其构造了一系列的局部保结构算法,包括多辛算法,局部能量、动量守恒算法.这些局部保结构算法能在任何时、空区域上保持离散的局部守恒律.当边界条件适当时,这些局部保结构算法自然就是全局保结构算法,反之不然.除此之外,我们还分析了其中一些局部保结构算法的非线性稳定性和收敛性.数值实验表明局部保结构算法不但能得到较好的数值解,而且确实能保持系统的局部守恒律和全局守恒律.通过与文献中已有的数值算法比较,展现了本文算法的优点.2)叁维Maxwell方程具有双哈密尔顿结构.应用谱方法离散哈密尔顿函数和哈密尔顿算子,再对所得到的有限维哈密尔顿系统用平均向量场方法求积,从而我们得到求解叁维Maxwell方程的两个格式(下称“AVF(2)”和"AVF(4)"). AVF(2)和AVF(4)自动保持系统的两个哈密尔顿.我们证明了AVF(2)和AVF(4)保持离散的能量、动量和散度.数值色散分析表明它们是无条件稳定的且无耗散的.严格的误差分析表明AVF(2)和AVF(4)分别在时问方向具有二阶和四阶收敛性,在空间方向都具有谱精度.数值实验很好地证实了理论分析结果.3)AVF(2)和AVF(4)是通过直接离散Maxwell方程得到的,计算时编程实现比较复杂.为了设计更高效的保能量算法,我们利用指数算子分裂和组合的技巧分别得到逼近Maxwell方程的时间二阶和四阶分裂方法.这些分裂模型的每个子问题都是哈密尔顿系统且和原问题具有相同的哈密尔顿函数.对每个子问题,分别应用谱方法离散哈密尔顿函数及哈密尔顿算子,进而应用平均向量场方法求积所得的有限维哈密尔顿系统,从而得到时间二阶和四阶分裂格式(下称"S-AVF(2)"和"S-AVF(4)").我们证明了S-AVF(2)和S-AVF(4)能同时保持4个离散能量且是无条件稳定的.此外,利用离散的傅里叶变换,我们还可以将所得格式写成显式形式.借助于能量分析方法,我们得到了S-AVF(2)和S-AVF(4)的误差估计.数值实验证实了理论分析结果.
洪宝剑[7]2006年在《几类重要非线性发展方程的精确解》文中认为本文沿着非线性科学发展的轨迹，对非线性发展方程的精确解理论进行了全面考察，重点研究了到目前为止人们所掌握的构造精确解的方法，分析和总结了各种方法的优缺点，对Riccati方程法进行了改进，简化、丰富和发展了已有的结果，这对于发现新的孤立子解，研究孤子的长期动力学行为，研究解的结构都有着积极的意义。同时还对孤子的结构进行了分类，介绍了相关理论的研究，包括高维系统的局域激发模式。第一章介绍了研究工作的历史、现状、未来和本文的主要工作。第二章介绍了与本文相关的一些基本概念，符号，给出了孤立子的定义和发生机理，探讨了孤立波和孤立子的异同，对目前所知道的孤立子按空间维数的高低进行了分类，对易于混淆的精确解、近似解和相似解做了必要的说明，同时还给出了孤子方程与可积系统的定义与识别。第叁章介绍了至今为止人们所掌握的寻求精确解的方法，分析了各种方法的优缺点，对未来的发展方向做了展望。第四章用几种不同方法研究了几类重要非线性发展方程的精确解。除了得到许多已有结果外，还发现了许多有意义的新解。第五章将传统的Riccati方程法进行了改进，并应用该方法研究了几类常系数和变系数非线性发展方程的精确解。第六章研究了几类重要非线性发展方程的局域激发模式。第七章对非线性发展方程精确解理论的未来进行了展望。
任玉杰[8]2007年在《非线性发展方程求解法的研究与数学机械化实现》文中研究指明本文根据数学机械化思想，以计算机符号和数值计算软件为工具，研究了孤立子理论中若干重要的非线性发展方程的求解方法及其相关问题，提出和发展了一系列求非线性发展方程解的方法，并在计算系统Maple或MATLAB上予以机械化实现。将数学机械化方法应用于相关学科，开发了数学机械化软件平台。主要的工作如下：第一章介绍了孤立子理论和非线性发展方程求解理论及其数学机械化研究的历史发展和现状。同时介绍了一些关于这些学科的国内外学者所取得的成果。第二章介绍了构造非线性发展方程精确解的“AC=BD”模式和构造“C-D”对的算法，利用Maple和“AC=BD+R”带余除法构造精确解的具体算法。第叁章基于将非线性发展方程求解统一化，算法化，机械化的思想，运用吴方法和符号计算的工具，建立了广义双曲函数的理论，提出了求非线性发展方程的广义双曲函数解和研究解的长时间行态及其相关问题的一系列方法。主要内容如下：(1)给出广义双曲函数的定义和代数与微分性质及其证明，构造非线性发展方程解的广义双曲函数变换的定义和一些具体形式。(2)提出了广义双曲函数-B(?)cklund变换方法，将其应用于解非线性发展方程组，求出了许多新的更一般的精确解。用计算机数值模拟方法研究了一些解的长时间的行态，结果表明这些新解具有良好的长时间的稳定性。(3)提出了划分非线性发展方程的广义双曲函数解的长时间行态的叁段法，并将其应用于研究一些非线性发展方程的广义双曲函数解的长时间稳定性，检验该方法的有效性。另外，还分别提出了修正广义双曲函数解和变系数解的长时间行态的方法。(4)根据WTC方法和齐次平衡法构造B(?)cklund变换的方法的思想，提出了一种构造B(?)cklund变换的方法及其机械化算法，并将该方法应用于构造一些高阶高维的非线性发展方程的B(?)cklund变换，检验了有效性和可靠性。另外，还提出了与该方法相关的定理，并给出了证明。(5)利用计算机数值模拟方法，广泛地研究了非线性发展方程的广义双曲函数解中的叁个参数的不同取值对该解的局部性质和长时间行态的影响，一个非线性发展方程在同一种自-B(?)cklund变换下，取不同类型的种子解对该发展方程解的个数和解的形式的影响，不同类型的种子解对解的主部的影响，各种类型的广义双曲函数解的长时间行态，不同类型的非行波解和行波解的长时间行态的比较等问题，有一些新的发现，提出四个猜测。第四章以符号计算软件Maple为工具，发展了构造非线性发展方程精确解的改进的F-展开法和推广的射影-Riccati方程法，提出了如下方法及其定理：(1)构造了广义双曲函数-Riccati方程，提出了有关广义双曲函数-Riccati方程具有新的更一般的广义双曲函数解的定理、广义的射影Riccati方程和射影Riccati方程是广义双曲函数-Riccati方程的特例的定理，并且用Maple机械化方法给出了这两个定理的证明。(2)利用广义双曲函数-Riccati方程，提出了广义双曲函数-Riccati方法，并用该方法求出了非线性发展方程的新的更一般形式的解。(3)通过构造两类更一般的变换，提出了广义F-展开法和扩展的广义F-展开法。并将这些方法分别应用到一些非线性发展方程，结果成功地获得了这些方程的许多新的更一般的精确解。第五章构造更一般的变换，给出类N孤子解的定义和猜测5，发展了Exp-函数方法，提出了Exp-B(?)cklund变换方法和Exp-类N孤子方法。利用这两种新方法获得了一些非线性发展方程的包含行波解和非行波解的更一般形式的精确解，并用计算机数值模拟方法研究了这类解的长时间行态。第六章发展了求非线性发展方程的行波解的代数方法，提出了如下方法及其相关的定理：(1)提出了一般形式的变换和相关定理，然后用Maple机械化方法证明了该定理。(2)提出了求一阶任意次非线性常微分方程的精确解的机械化算法及其Maple程序，通过求六、八、十、十二次非线性常微分方程的某些一般形式的新的精确解，验证了该方法的有效性和可靠性。(3)利用一阶任意次非线性常微分方程及其新的精确解，提出了广义的代数方法和扩展的广义的代数方法，并将它们分别应用到一些非线性发展方程，结果得到许多新的行波解和非行波解。第七章改进了一些数值算法，提出了一类求非线性发展方程解的数值与解析混合运算的方法，求解常微分方程初值问题的改进的亚当斯方法等，提高了数值计算精度，并算法实现了机械化。另外，还提出了数值解、符号解、误差估计、输出结果图形可视化或表格化并举的设计数值计算机软件的新策略，开发了大量的数学计算机软件程序，建立了数值分析和高等数学的机械化软件MATLAB平台，使同类问题自动求解。
李义军[9]2008年在《抛物型方程反问题的数值解法研究》文中进行了进一步梳理在自然科学与工程技术领域中有许多问题都可以用偏微分方程来描述,研究偏微分方程的数值解是解决上述问题的有力工具。而偏微分方程的数值解的研究己成为一门专门的学科,国内外有很多学者在这个领域进行研究,并利用各种数值方法和最新的研究结果来解决工程中的实际问题。当偏微分方程中的算子、右端项、边界条件、初始条件从过去的已知变成未知,而原方程的解仍然未知时,就构成了偏微分方程的反问题。由于反问题的不适定性与非线性性,使得它的理论研究与数值求解都比正问题困难的多,而且涉及面广。所以如何解决这些问题,成为广大数学工作者、自然科学工作者及工程技术人员努力开拓的一个崭新的学科领域。本文应用有限差分方法,研究了第二边值条件下抛物型偏微分方程反问题的数值解法,在第二边值条件的基础上,假设其中一个边界条件也是未知的,然后利用附加条件同时确定抛物型偏微分方程中的多个未知参数的数值解法做了进一步的研究,并进行了相应的数值实验。数值结果表明,在解决形式复杂的抛物型反问题中,本文的处理方法具有精度高、稳定性好等优点。另外本文还讨论了一类抛物型偏微分方程反问题的一种差分解法—向前差分格式,利用极值原理证明了该差分格式的稳定性和收敛性,并给出了在离散L~∞模意义下收敛阶数为O (τ+ h~2),数值例子验证了理论分析结果。
李灿[10]2012年在《几类分数阶反常扩散方程的数值分析》文中认为反常扩散现象在自然界中普遍存在,尤其在某些复杂系统的扩散过程中该现象更为常见.为了更好地解释这一现象,不同的学者提出了不同的工具和理论.过去的二十年,许多研究人员发现分数阶微积分可以更为精确地描述这一现象,并且建立了大量的描述复杂系统中反常扩散输运过程的分数阶反常扩散方程.尽管这些分数阶反常扩散方程更精确地解释了所研究的实际问题,但求得这些方程的解析解是比较困难的.因此,寻求此类方程的数值解是十分有意义的.本文主要研究了描述反常扩散的时间分数阶(径向)扩散方程、分数阶Klein-Kramers方程、分数阶守恒律的数值求解问题,设计了这几类方程的稳定、有效的数值格式,建立了所给格式的误差估计,研究了这些方程的动力学行为.本文的主要工作包括以下叁部分：第一部分考虑了描述次扩散的两类时间分数阶扩散方程的数值求解问题.首先,设计了时间分数阶扩散方程的两种高阶、容易实施、无条件稳定的正交样条配置格式.然后,给出了求解时间分数阶径向扩散方程的两种隐式差分格式,利用数学归纳法和离散极值原理证明了所给数值格式均为无条件稳定的.并用数值结果和数值模拟验证了理论分析的收敛阶和所给格式的有效性.第二部分讨论了两类分数阶Klein-Kramers方程的数值解.首先,给出了求解时间分数阶Klein-Kramers方程的有限差分格式,给出了数值格式的稳定性和收敛性的严格证明,随后的数值结果验证了理论分析的正确性.进一步,讨论了Levy分数阶Klein-Kramers方程的数值解,建立了Levy分数阶Klein-Kramers方程的隐式和显式的有限差分格式,借助广义的离散极值原理分析了数值格式的稳定性和收敛性,同时给出了几种提高精度的技巧,且数值结果表明所给方法是有效的.第叁部分讨论了分数阶守恒律的数值算法.首先,给出了具有光滑解的周期分数阶非线性守恒律的半离散Fourier谱方法,详细讨论了半离散格式的误差分析,并利用四阶的积分因子-Runge-Kutta方法来求解半离散后的方程组.数值结果表明该方法空间上可以达到谱精度且时间上为四阶收敛的.接着,对于分数阶守恒律的非光滑初值问题,设计了该方程的分数步方法,数值结果表明所给数值算法对于光滑和间断的初值均是有效的.
参考文献：
[1]. 几类发展方程的有限差分方法[D]. 张伶伶. 青岛科技大学. 2007
[2]. 几类发展方程的数值方法[D]. 公敬. 山东师范大学. 2001
[3]. 几类发展方程的紧致差分法研究[D]. 谢建强. 南昌航空大学. 2017
[4]. 谱方法解几类发展方程[D]. 唐致娣. 兰州交通大学. 2013
[5]. 几类随机发展方程的数值方法研究[D]. 蒋丰泽. 华中科技大学. 2016
[6]. 偏微分方程保结构算法构造及分析[D]. 蔡加祥. 南京师范大学. 2015
[7]. 几类重要非线性发展方程的精确解[D]. 洪宝剑. 江苏大学. 2006
[8]. 非线性发展方程求解法的研究与数学机械化实现[D]. 任玉杰. 大连理工大学. 2007
[9]. 抛物型方程反问题的数值解法研究[D]. 李义军. 长沙理工大学. 2008
[10]. 几类分数阶反常扩散方程的数值分析[D]. 李灿. 兰州大学. 2012