华南师范大学 广东 广州 510631
摘 要：由于数学归纳法的理论性强、内容抽象等原因，中学生在学习时会有一定的障碍，本文简要论述了学生在应用数学归纳法解题时容易发生的错误。
关键词：数学归纳法 障碍 归纳
数学归纳法是一种非常重要的数学思想方法，在数学归纳法中，包含了归纳、证明、猜想，它的内容既是具体的又是抽象的，蕴含着非常深刻的数学思想。数学归纳法的形式多种多样，常见的有两种基本形式，分别为第一数学归纳法和第二数学归纳法，高中所学习的是第一数学归纳法，本文中涉及的数学归纳法均是指第一数学归纳法。
第一数学归纳法的解题步骤。设P(n)是关于正整数n的一个命题，如果下面两个条件成立：1.（归纳基础）当n=1时，P(n)成立；2.（归纳假设）假设当n=k(k∈N*)时, P(n)成立，可以推出P(n+1)成立，那么对于n∈N*, P(n)都成立。数学归纳法在高中数学学习中是一个较为重要的内容，同时也是一个学生学习的一个难点，高中学生在学习数学归纳法的过程中会遇到一些障碍，容易犯一些错误。下面将从四个方面简单分析一下学生在学习数学归纳法过程中产生的主要障碍。
一、混淆数学归纳法与归纳法
数学归纳法是一种科学的数学演绎证明方法，它是由前一步根据严格的证明推出下一步，用数学归纳法所证明出来的命题都是正确的。归纳法是从一些特殊的例子中发现共同的规律并从中提取出一般的规律的过程。归纳法可以说是以部分来代替整体，用归纳法得出的结论是一种猜想，不一定是正确的。例如，我们所熟知的费马猜想就是由费马通过观察一系列特例，归纳得到的，但是欧拉计算得出第五个费马数并不是质数，从而推翻了费马猜想。
二、忽视第一步的归纳基础
数学归纳法的解题步骤有两步，第一步是归纳基础，第二步是归纳假设，在证明命题成立时，归纳假设这部分是一个难点，学生往往比较重视第二步的证明，却对忽视了归纳基础。常见的错误有：
1.没有写第一步，而是直接假设成立，进行第二步归纳假设的证明。
2.有写第一步，但是只是形式上写一下归纳基础，并没有进行验证是否成立，容易发生第一步是不成立的情况。
因为第一步往往是正确的，而且是比较显然的，所以学生容易忽视它，但是就像玩多米诺骨牌游戏一样，如果第一块骨牌没有办法倒下，那么就算后面的骨牌排得多么整齐都不会倒下。
期刊文章分类查询,尽在期刊图书馆
三、套用数学归纳法的解题步骤
数学归纳法的解题步骤比较具体，因此会出现学生不理解数学归纳法的本质含义，直接机械套用解题步骤的现象，主要错误有以下两种：
1.归纳基础从n=1开始证明：例如证明凸多边形的对角线的条数为 n(n-3)，因为n=1、2时是不能形成凸多边形的，所以要从n=3开始证明。
2.归纳假设中，认为n=k+1时，P(n+1)就是比P(n)多一项。
例1：求证：++……+ >1 (n∈N*)。
错证：（1）当n=1时，左边= + + = >1=右边，成立；（2）假设n=k (k≥1)时，++……+ >1成立。当n=k+1时，有++……+ + >1+ >1,成立。
由（1）、（2）可得，对n≥1（n∈N*），原等式成立。
在上述错误证明中，从n=k到n=k+1，左边只增加了一项，这是错误的，n=k时分母为3k+1，n=k+1时分母为3(k+1)+1=3k+4，应该增加3项。
四、没有利用归纳假设
在数学归纳法中，最重要的步骤是，假设n=k时命题成立，利用假设推出n=k+1时，命题仍成立。学生最常出现的错误是利用其他方法证明n=k+1成立，但没有使用n=k，即归纳假设的条件，那么这就不是数学归纳法了。
例2：证明下列式子成立：
+++……+＝ 。
错证：1.当n=1时，左边=＝ = =右边，等式成立。2.假设n=k (k≥1)时，＋＋＋……＋＝ 成立。当n＝k+1时，有+++……++ = [(1- )+( - )+……+( + )+( + )]= (1- )= ·＝ =，成立。
由1、2可得，对n≥1（n∈N*），原等式成立。在上述错误证明中，第二步n=k+1的证明是利用裂项相消的方法证明出来的，与n=k 时的归纳假设无关，不符合数学归纳法的要求。正确证明：当n=k+1时，有＋＋＋……++ = ＋
= =＝。
参考文献
[1]徐志军 张青山 数学归纳法证题过程中出现错误的成因分析[J].四川职业技术学院学报，2002，12，(1)，49-50。
[2]郎芳芳 高中生对数学归纳法的理解:结构特征和证明建构的过程[D].华东师范大学，2014。
论文作者:蔡丹颖
论文发表刊物:《教育学文摘》2017年8月总第237期
论文发表时间:2017/7/24
标签：归纳法论文; 数学论文; 归纳论文; 错误论文; 命题论文; 步骤论文; 基础论文; 《教育学文摘》2017年8月总第237期论文;