陕西省汉中市汉台中学 723000
周期函数在历年高考试题中频繁出现，若考生不能正确辨认，则会导致解题失误。这里给出周期函数的几种表现形式。周期函数有下列几种表现形式：
一、表达式导致周期性
1.若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)，则函数f(x)的周期T=2|a|。
证明：∵f(x+a)=-f(x)，
∴f(x+2a)=-f((x+a)+a)=-f(x+a)=-[-f(x)]=f(x)，
∴f(x)的周期T=2|a|。
2.若函数y=f(x)满足f(x+a)=，f(x)≠0，则函数f(x)的周期T=2|a|。
证明：∵f(x+a)=，
∴f(x+2a)=f((x+a)+a)= ==f(x)，
∴f(x)的周期T=2|a|。
3.若函数y=f(x)满足f(x+a)=-，f(x)≠0，则函数f(x)的周期T=2|a|。
证明：∵f（x+a）=-，
∴f（x+2a)=f((x+a)+a)=- =- =f(x)，
∴f(x)的周期T=2|a|。
4.若函数y=f(x)满足f(x+a)= ，f(x)≠0，f(x)≠±1，则函数y=f(x)的周期T=2|a|。
证明：∵f（x+a）= ，
∴f（x+2a)=f((x+a)+a)==＝ =f(x)。
∴f(x)的周期T=2|a|。
5.若函数y=f(x)满足f(x+a)= ，f(x)≠0，f(x)≠±1，则函数y=f(x)的周期T=2|a|。
证明：∵f（x+a）= ，
∴f（x+2a)=f((x+a)+a)==＝ =-，
∴f(x+4a)=f((x+2a)+2a)= =- =f(x)，
∴f(x)的周期T=2|a|。
二、对称性导致周期性
1.若函数y=f(x)有两条对称轴x=a和x=b(a≠b)，则函数y=f(x)的周期T=2|a-b|。
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证明：∵函数y=f(x)有两条对称轴x=a和x=b(a≠b)，
∴f(a+x)=f(a-x)，f(b+x)=f(b-x)，
∴f(x+2(a-b))=f(a+(a+x-2b))=f(a-(a+x-2b)) =f(2b-x)=f(b+(b-x))=f(b-(b-x))=f(x)。
∴f(x)的周期T=2|a-b|。
2.若函数y=f(x)有两个对称中心(a,c)和(b,c)(a≠b)，则函数y=f(x)的周期T=2|a-b|。
证明：设(x,y)是函数y=f(x)的图像上任意一点，则点(x,y)关于点(a,c)的对称点(2a-x,2c-y)仍在函数的图像上。
∴2c-y=f(2a-x)，即2c-f(x)=f(2a-x)，
∴f(x)+f(2a-x)=2c，同理，有f(x)+f(2b-x)=2c，
故f(x)+f(2a-x)=f(x)+f(2b-x)，得f(2a-x)=f(2b-x)，
∴f(x+2(a-b))=f(2a-(2b-x))=f(2b-(2b-x))=f(x)，
∴f(x)的周期T=2|a-b|。
3.若函数f(x)有一条对称轴x=a和一个对称中心(b,c)(a≠b)，则函数y=f(x)的周期T=4|a-b|。
证明：∵函数y=f(x)函数有一条对称轴x=a，
∴f(a+x)=f(a-x)，
又∵函数y=f(x)有一个对称中心(b,c)，
∴f(x)+f(2b-x)=2c，即f(2b-x)=2c-f(x)，
∴f(x+2(a-b))=f(a+(a+x-2b))=f(a-(a+x-2b)) =f(2b-x)=2c-f(x)，
∴f(x+4(a-b))=f((x+2(a-b))+2(a-b))=2c-f(x+2(a-b))=2c-[2c-f(x)]=f(x)，
∴f(x)的周期T=4|a-b|。
请注意：
（1）既要记结论，用于解小题；又要记推证过程，用于解大题。
（2）要注意区分函数的对称性与函数的周期性：
①若f(x)满足f(a+x)=f(a-x)f(x)=f(2a-x) ，则x=a是f(x)对称轴。
②若f(x)满足f(x+a)=f(x-a)f(x)=f(x+2a)f(x)=f(x-2a)，则T=2|a|是f(x)的周期。
具体判断方法是：
A.在f(a+x)=f(a-x)中，(a+x)+(a-x)=2a；在f(x)=f(2a-x)中，x+(2a-x)=2a。即“和”为常数2a，则x＝ =a为f(x)的对称轴。
B.在f(a+x)=f(a-x)中，(x+a)-(x-a)=2a；在f(x)=f(x+2a)中，(x+2a)-x=2a；在f(x)=f(x+2a)中，x-(x-2a)=2a。即“差”为常数2a，则T=2|a|为f(x)的周期。
论文作者:胡忠新
论文发表刊物:《素质教育》2017年6月总第237期
论文发表时间:2017/7/21
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