培养学生主体意识和创新精神的课堂尝试——正切、余切函数的图象和性质一课的课堂实录节选，本文主要内容关键词为：余切论文,正切论文,培养学生论文,图象论文,创新精神论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
课堂是素质教育的主渠道，怎样在课堂教学中培养学生的实践能力和创新精神？我想做为教学第一线的教师，首先要思考的几个问题是：
第1 什么是学生的创造？
作为中学生，他们的“创造”，从总体上看主要是一种尽可能生动、自主地发展自己的知识体系的工作，因此相对于数学家的创造来说，学生的创造大体是一种相对于他们的已知世界和旧有知识体系的自主地延拓、开掘和再创造的工作。但它应该或尽量由学生相对独立地去完成。创新能力的培养应该是有层次的，它应该包括：独立思考、自主地参与学习过程，求新求异，创新，创造的渐进的过程。教师的教学创造性则可表现在能机智、高效、充分地利用课堂（内外）环境，激发学生的探索欲和创造欲。
第2 教师在教学过程中应是什么角色？
编剧、导演、主演、裁判、正确的化身？……是不是还应考虑当学生的参谋、学生成果的欣赏者、学生思维活动的参与者，学生学术批判的靶子、……不要教师自己总当“导游”，而应该把“导游路线”设计的“天机”有意识的泄露给学生，使他们能体验出“导游”是怎么回事，从而自己也能尽早成为导游。
下面的课案和教学过程，试图表现教学活动中学生能动参与的目标。
1 引题
教师：对比上一节的习题，请同学们看一看自己的作业本，对正弦和余弦函数，在作业中，我们已涉及了多少类型的问题？生众：P159（11）正弦，余弦函数的定义域
P158（3）正弦，余弦函数的最值（值域）
P158（6）正弦，余弦函数的奇偶性
P159（8）正弦，余弦函数的单调性
P159（7）正弦，余弦函数的应用——比大小
P158（4）正弦，余弦函数的周期（最小正周期）
P159（12）正弦，余弦函数的图象
P160（16、17）正弦，余弦函数性质的应用
教师在黑板上书写（1）定义域（2）值域（3）奇偶性（4）单调性（5）比大小（6）求最小正周期（7）作图（8）应用。
教师：今天我们来学习正切、余切函数的图象和性质，想一想，我们应当解决什么问题？
【评述】：这里是通过作业小结的方式引入问题。学生常常是很盲目的做作业，很少观察作业所涉及的问题类型和范围。教师有意识地引导学生作这种观察，即培养了学生看课本的习惯，又自然引出了今天的课题和要探索解决的问题。
2 学生自己互相设问 互相做答
5分钟以后：学生阅读完毕，教师指导第一组学生（7人）为相邻的同桌的同学（第二组学生）就前面七个方向提一个有关正、余切函数性质的问题，要求是后面的同学不要提前面已经提到过的问题，并请同桌同学（起立）对着大家回答。做完后，问、答的两组学生角色交换。其它组的同学一边听，一边作判断，对的放过，不对时请同一行的同学予以更正：
生1：正切函数的定义域是什么？，邻生答：除了
外的全体实数。
生2：正切函数的值域是整个y轴吗？邻生改正：应说成是全体实数。
生10：学过的四种三角函数都是奇函数吗？都是增函数吗？邻生答：不对，反例是余弦函数。
生11：正切函数是它定义域上的增函数吗？（好问题？）邻生答：是，其它学生更正：不是。教师追问理由……
生12：正切函数是一个周期为2π的函数吗？ 邻生回答：准确地说正切函数是最小正周期为π的周期函数。
生13：余切函数也是一个以2π为周期的周期函数， 这个说法对吗？邻生：不对，另外的学生答：对，……学生即席讨论……。
生14：怎样由y＝tgx的图象得到y＝ctgx的图象？（好问题）， 邻生答：可以先把y＝tgx的图象以x轴为轴，翻转180度，再向右平称π/2。另一个邻座同学：也可以先把y＝tgx的图象以y轴为轴，翻转180 度，再向右平称π/2。教师插话：我怎么不懂了？为什么把y＝tgx 的图象以x轴为轴，翻转180度和把y＝tgx的图象以y轴为轴，翻转180度的效果一样？……学生讨论得到：因为y＝tgx是奇函数，f（－x）＝－f（x）。教师又插话：非要先翻转后平移吗？……学生讨论略。
【评述】学生自己设计问题，可以在一定程度上调动学生学习的主动性。但问题的难易控制有一定难度，先问的人设计问题相对容易些，可以用往复问答的方式来解决（第一个提问的学生将回答最后一个问题）。邻座的学生作答，同一横行同学做答的是非判定，这样做目的是让反馈的更快、更广些。从学生问答情况看，基本达到了目的。
3 设计问题 当堂练习 自己作评价
教师：下面请第3组同学为大家设计一组课堂练习（2分钟）。可以讨论，要求是七个方面都要覆盖（七人上黑板，学生之间有交流，组长分配协调一人一个题，不重复，2分钟后题目完成）。 请第四组上黑板解，其它同学在下面解。再请第5组同学“评价”题目好坏和解法的好坏。请第6组同学对应设计课后作业（C组题）。请第7 组同学作全课的小结（谈自己认为感觉最深之处）
三分钟后第3组学生每人一题在黑板设计了如下的练习题目：
【评述】：这里是一个集体协作的场景，组长“派”任务和个人主动抢任务相结合，学困生可以优先，各尽其能，各显所长。教师可以在旁边观察、欣赏、记录。作出鼓励或引导性的“旁白”。第七组的两个代表，上来做了全课的总结：学生17：今天我们学习了正切、余切、函数的性质，我觉得比较重要的是要把握函数的性质，这里面主要是定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性以及由此得到的函数的图象，对于正、余切函数的性质我觉得通过它们的图象去记忆、去理解是最容易的。只要记住函数的基本图象，我们就可以说出相应的性质。简单地说可以从图象直观走向看增减性、是否对称看奇偶性、是否重复看周期性……。学生18：应该补充的是：学习相关、相似知识时应抓住区别。“切”函数相对于与“弦”函数的区别在于：无最值，定义域“断续”，周期“变短”，增减性变“单纯”。从我们解决过的问题看，用到最多的是转化的思想：即把一个对复合函数性质的讨论转化为对最基本的三角函数的性质的应用。
教师：大家谈的都很好，特别是评价组的同学不仅做出题目，还能“品出”出题者的本意，这节课的过程实际上给了我们学习新内容的一种宏观的程序：温故（相关知识准备）→新的学习对象与旧知识的联系→类比提问、差异思考、发现问题和学习目标→找出规律，解决问题→应用成果，练习巩固（发散）→归纳收缩（小结）。这里的程序还没有完，还有一段是：→进一步的发散思考，探索新的问题和规律。这部分内容常常是在课外进行的。记得最后一位同学的小结中提到的“根本”是基本函数的基本性质，这真的很“根本”，因为我们今天所解决的问题都被化归到这个地方。
【评述】：学生的小结和评价不一定很完整、全面，可以一人一点，互相补充。即使有错误，教师也不要急于纠正。最好引导学生自己发现、纠正。也可以让其它学生来补充更正。教师的评价应是激励性的。应引导学生注意学法。
学生提出作业：
A组：P157～158（练习）（不必拘泥过程，可直接勾画在书上）
B组：P161、18、20、21、22、23（要求完整的书面表达的作业）
C组：第六组同学上黑板布置的如下选做题：
在力学考试中，有时常要计算小角度的正弦或正切值，在不让使用计算器和不能查表的情况下，你有什么补救办法？
【评述】：A、B是基本要求，C组作业为选做题或探索题。 学生设计C组题也是为了调动学生自主学习的积极性。 因为学生更乐于解决自己的问题。如C组题的（1）（2）设计得就不错。比如：（1）中y＝tgx－ctgx的最小正周期不是π，而是π/2。这就需要借助于切割化弦把它化成－ctg2x来发现（3）可以看出学生试图将结果一般化，虽有一定困难，但值得鼓励提倡。有时也会出“问题”。如（4 ）的设计意图很好，综合应用的意识特别强。可以看出学生的设计意图是把已学过的几种函数的性质“综合”应用到一起，出这题的学生平时能力强、反应快，但有重难题忽视基本的倾向。我看到这题在没有反三角函数知识的情况下，求解、表达都有困难，已超出学生现有的水平。我先肯定了这位同学的出题意图，同时指出就这道题来说，将来学习了反三角函数知识再解可能更容易一些，另一个办法是用计算机（mathcad）软件。 可以作出图象从而得到近似解。教师的选做题设计意图是通过学生实验活动，自己发现当│x│的值很小时sinx≈x≈tgx这一规律， 可用于物理的近似计算。