高中数学不等式教学研究，本文主要内容关键词为：不等式论文,教学研究论文,高中数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、不等式教学的地位、意义和价值 不等式历来是中学数学教学内容的重要组成部分，因此很有必要思考该内容的地位、意义和价值. 文献[1]中对于“不等式与不等式组”教学提出以下要求：（1）结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质.（2）能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集；会用数轴确定由2个一元一次不等式组成的不等式组的解集.（3）能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的问题. 《普通高中数学课程标准（实验）》在必修模块5中的不等式内容和要求指出：不等关系与相等关系都是客观事物的基本数量关系，是数学研究的重要内容.建立不等观念、处理不等关系与处理等量问题是同样重要的.并指出教学要求：在本模块中，学生将通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值；掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解决一些实际问题；能用二元一次不等式组表示平面区域，并尝试解决一些简单的二元线性规划问题；认识基本不等式及其简单应用；体会不等式、方程及函数之间的联系. 文献[2]在选修4-5“不等式选讲”中指出：在自然界中存在着大量的不等量关系和等量关系，不等关系和相等关系是基本的数学关系.它们在数学研究和数学应用中起着重要的作用.对于教学要求，指出：本专题将介绍一些重要的不等式和它们的证明、数学归纳法以及简单应用.本专题特别强调不等式及其证明的几何意义与背景，以加深学生对这些不等式的数学本质的理解，提高学生的逻辑思维能力和分析解决问题的能力. 文献[3]“不等式选讲”的引言指出：在自然界中，等量关系和不等量关系是普遍存在的，描述等量关系可以用等式，描述不等量关系可以用不等式.与等量关系一样，不等关系也是数学研究的重要内容之一.因此，研究不等关系和不等式，既是数学研究的重要方面，也是我们认识世界的重要途径.“第1章”章前言：现实中，人们常用长与短、多与少、高与矮、轻与重……来描述客观事物在数量上存在的不等关系；数学中，人们常用不等式表示这样的不等关系，不等式是数学研究的重要内容. 文献[4]中提出教学要求：通过不等式在各方面的广泛应用，使学生理解现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的，从而对学生进行辩证唯物主义教育. 在不等式的实际应用方面，不等式理论在极值问题中非常重要，是不等式应用的一个重要方面.一个变量，在一定的限制下，何时能够达到最大值或最小值，这是有重要价值的一类问题，也是学生很感兴趣的问题.不等式（定理）的证明当然有价值，但同样有价值的是研究现实中的一些极值问题. 在研究不等关系时，把不等关系和相等关系的研究作比较是必要的.任何2个实数间都必然有相等或不等的关系，相等和不等是对立统一的2个概念，是普遍存在的关系.相等关系和不等关系组成互相处于矛盾关系中的一个统一体.确定了相等关系，也就否定了不等关系，反之亦然.由相等关系就可以得到一系列的不等关系，因此，可以通过研究相等关系来达到研究不等关系的目的.从一个确定的相等关系式出发，就可以得到一系列的不等关系式.当然，从任何不等式定理出发，自然也可以写出一系列相关的不等式结论，有时可以进一步研究加强了的不等式结论和减弱了的不等式结论. 另一方面，不等式之中必然蕴含相等关系.举例说明：在
中，左、右两边都涉及两个变量，但两边的两个变量是完全一样的一对变量a和b，而不是分别不同的两对变量（即不是
），左、右两对变量的变化是互相有约束的、互相影响的，实际上是互相分别相等.这可以说是一种非常典型的在一个不等式中存在的紧密联系着的相等关系.在应用这个不等式解决极值问题时，往往说和为定值，或者积为定值，这也是说在变量的变化过程中存在和或积的相等关系下，存在积的极值或者和的极值.因此，以上不等式是在一定的相等关系中的不等关系，而这个不等关系是变化中的不变关系.这里，不等和相等是紧密联系着的两类数量关系. 从任何两个量之间的关系来说，不等关系是比相等关系更加普遍的关系，不等关系的研究具有更多的复杂性. 在实数范围内的基本不等式共有5类，与等式存在如下的关系式：
这些关系式说明：任意一个不等式，都可以改写为等价的等式形式.反过来，由f=0
｜f｜≤0，可知任意一个等式都存在与其等价的一个不等式.综上所述，任意一个不等式（或等式）都可以改写为等价的等式（或不等式）形式[5]. 不等关系的研究是非常普遍的问题，正式冠名的不等式数量众多，课程标准中的有关不等式内容是基本而且有广泛应用价值的.这些基本的不等式定理所涉及的运算是最常见的运算（加、减、乘、倒数、绝对值、低次数幂、向量内积、顺序变化、距离等），因此是基础知识.无论是从纵向的历史比较，还是从横向的国际比较来看，目前不等式的教学要求都已经达到较高的要求，不宜再增加难度、分量.高中新课程增加的柯西不等式和排序不等式的价值目前得到大家的认同，建议教学要求保持不变. 当然，多引入一个基本的不等式定理，就意味着学生多知道一个可以用的工具.从数量的角度来看，多了一个工具，学生的能力就增强了，举例说明这一点：已知α＞0，β＞0，
求证：α+β≤2.如果应用幂平均不等式，就非常容易证明，但用其他方法就需要一定的技巧.但这也不是绝对的，当不等式定理的数量多到不恰当的时候，学生对于选择哪个不等式定理作为工具，就需要用更多的时间进行检索、比较和选择，这增加了学生的认知负荷.另外，在学生知道较少的工具时，学生熟练工具的时间也可以相应减少，对于这些工具的训练时间就可以增加，就可以更得心应手、熟能生巧.因此不等式定理的引入数量多少合适的问题，应根据高中学生的情况来决定，应该适度. 二、高等数学中的不等式教学意义 不等关系是客观世界中广泛存在的一个基本关系，各种类型的不等式（定理）在现代数学的各个分支及实际应用中起着十分重要的作用.例如，张奠宙等翻译、上海科技出版社出版的数学名著《数学分析中的问题和定理》就有一章“不等式”（第2篇“积分”中的第2章）.在文献[6]中，第3章“不等式”以较大篇幅讲基本的不等式和数学分析中的不等式，此书包括了在以前中学数学杂志中讨论的一些给人以深刻印象的不等式问题，该章包括以下内容： （1）若干简单的有穷不等式； （2）平均值与有穷不等式； （3）积分不等式、无穷不等式及函数的凸性； （4）关于不等式的补充命题及杂题； （5）关于常用函数的若干不等式. 他们指出，不等式涉及数量之间大小的比较，而通过比较常能显示出变量变化之间相互制约的关系.因此，从某种意义上说，不等式的探讨在数学分析中甚至比等式的推演更为重要.这是很明显的，当我们在数学分析中研究和估计变量变化的状态或趋势时，时常要用简单熟知的变量与之比较，这样，它们之间可以用等号来联系的可能性往往是很小的，而不等关系的存在却反而是常见的.举例来说：
从此不等式可以得到启发：以结构较为简单的函数代替一个超越函数而能保存该超越函数的许多特征，并且损失不多.以上论述说明了在数学分析学科中研究不等式的意义. 三、近期国内对于不等式教学的部分研究 文献[7]以Cauchy不等式为案例，研究了Cauchy不等式的多种有趣证明、推广、变形及其应用，探讨了Cauchy不等式在数学教育教学中的价值取向，进一步体悟到数学问题研究的基本方法和基本思想的内在魅力. 文献[8]论述了“不等式选讲”构成的背景及其定位、新增内容的特点及其设置意向，并提出了一些教学建议. 文献[9]针对高中数学新教材人教A版普通高中课程标准实验教科书选修不等式内容的教学，结合高中数学教学实际，提出了关于不等式内容教学的几点建议，以期对本部分内容的具体教学提供一定的参考. 文献[10]对“不等式选讲”的教学进行了调查研究，针对教学现状和存在的问题，提出了选学建议和教学建议，对于某些重点内容的教学进行了深入研究，并提出了探究式教学的教学设计.他认为这个选修专题很有选学的价值，但对于内容应该有所选择，并提出了一些教学建议.调查发现，大部分教师和学生认为此“不等式选讲”专题的学习有很大必要，大多数学校把此专题的学习安排在高二下学期或者高三年级学习，专题教学安排18课时比较合适，有些省份要求文理科学生都学习此专题，有的省份则只要求理科学生学习，大部分教师认为需要一些教学辅导材料. 文献[11]指出：贝努利不等式具有简单的结构、深刻的内涵，在高等数学中有广泛的应用.比如利用贝努利不等式能简洁明快地证明重要极限、算术几何平均值不等式、权方和不等式，也是证明幂平均不等式的工具.鉴于贝努利不等式在数学中的地位与作用，《普通高中数学课程标准（实验）》将贝努利不等式列入选修4第5专题“不等式选讲”中.又由于近年来一些高考试题含有贝努利不等式的背景，因此，对贝努利不等式的探究是有价值的.此文利用贝努利不等式和它的2个推论，巧妙地解答了几道高考数学试题. 文献[12]指出：在苏教版的教学中发现，函数内容比较简单，不等式的有关教学内容比较滞后，特别是一元二次不等式的有关教学在必修5中才进行，显得较靠后.论文通过调查问卷及对人教版和苏教版教材中不等式内容的比较研究，最后得出结论，应该把解不等式的内容和其他内容分开进行教学，即在高一函数教学前安排大约5个课时先进行解不等式的教学，再到必修5进行线性规划和简单不等式证明的教学. 文献[13]指出：在《普通高中数学课程标准（实验）》的“基本理念”与“课程目标”中，都提到数学的美学价值，即“数学课程应当反映数学科学的思想体系、数学的美学价值、数学家的创新精神和帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用，逐步形成正确的数学观”，“高中数学课程的具体目标之一是使学生认识数学的科学价值、应用价值和文化价值，崇尚数学的理性精神，体会数学的美学意义”.因此，新数学课程理念下的数学教学既要重视数学知识的传授，又要关注对数学内容的美学属性的揭示，使学生在了解和感受数学美的同时，培养起对数学的良好情感及运用数学美的能力，从而提高对数学的直觉能力及创造思维能力. 文献[13]结合不等式教学实际论述如何让学生感受和运用数学美： （1）利用对称美证明不等式，对称美是数学中最普遍的一种美，对称图形、对偶数、对称式、对称方程组都给人以匀称的美感.用对称的观点去处理问题，往往可以从问题的一部分自然联想起与此对称的另一部分，于是通过构造，使问题补充为完美的对称问题；或者用解决问题某一部分的方法去解决与此对称的另一部分问题.用对称美的思想指导解题可找到简洁、漂亮的解法. （2）在解不等式中追求简单美，探索解题捷径，在解题过程中，应当引导学生认真观察问题，分析问题，找到问题的本质特征，寻求简单解法. （3）在不等式中灌输统一美的思想. （4）利用相似性，推广不等式，感受数学的奇异美，让学生在推广过程中深切感受到数学的和谐美、奇异美，激发他们对数学的好奇心和求知欲，让他们能主动去学习，去研究，并培养他们的发散思维能力和创造思维能力. 数学的美无处不在.一题多解的广阔美、一题多变的扩散美、数学趣题的娱乐美，数学的美犹如浩瀚的大海广阔而且深邃.作为数学教师应该善于从数学中挖掘美、发现美，将这些内容适当穿插于教学过程中，有意识地培养学生健康、高尚的审美情趣，提高学生的审美水准.只有这样，才能激发学生求知的愿望与热情，增强他们的创造发明能力. 四、一元二次不等式及解不等式教学 一元二次不等式及其解法是不等式内容中的基础知识，应该把这个内容安排在比较靠前的位置，曾有高中数学教科书把“一元二次不等式的解法”安排在全套教科书的第1章，而目前新课程教学中，一些高中把这个内容作为初高中的衔接内容；修订后的高中数学课程标准也宜参考以上的安排，提前安排此内容. 另外，从中学数学教学内容的整体来看，初中学生学习该内容没有困难，建议今后考虑移回初中，作为初中教学内容，充实初中数学教学，减轻高中过重的教学压力.实际上，现在初中已经有求解相应二次方程的内容，又有二次函数的内容，从教学内容的联系性和整体性出发，都应该考虑在初中增加一元二次不等式的教学内容. 目前，在高中数学必修5中，该内容只安排了3个课时；在文献[14]中，该内容只安排了一个“读一读”的内容，就基本说明问题了，如果正式安排教学内容应该也不必花多少时间.在文献[15]中，一元二次不等式是安排在第14章“函数及其图象”的第6节“一元一次不等式组和一元二次不等式”中，此书开本为32开，在这一章前几节分别讲了正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数的图象和性质，在最后一节讲一元二次不等式的解法，在共4页半的范围内，借助函数图象的方法，用了2页半就把一元二次不等式的解法讲得非常清楚了，再用了2页讲了6个例题.当时安排的课时是2～3个课时. 从纵向比较看，大纲教材有解不等式的内容，现在基本删去，而证明不等式的要求则有所提高.实际上，解不等式的基本知识有广泛的应用，目前，对于解不等式的教学内容，在“不等式选讲”中只安排了解含绝对值的不等式，份量较少，略显欠缺，建议是否可以增加部分解不等式的内容，可以考虑再安排若干课时用于“解不等式”，如解无理不等式和分式不等式.
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