对教科书有理数知识体系的探讨，本文主要内容关键词为：有理数论文,教科书论文,体系论文,知识论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
数学家花了1000年才得到负数的概念，又花了另外1000年才接受了负数的概念.但是，人们对于有理数的所谓接受只能算做是使用意义上的一种接受，而不是在认识上的接受.类似于人们当初对微积分的接受.负数的“教学问题”至今还没有得到圆满解决，因为现在的中学数学教科书中的有理数知识体系明显存在某些不能自圆其说之处.
一、符号关系上的自相矛盾
大家知道，正、负数的意义是有理数知识体系的理论基础.正、负数的意义是什么呢？人教版《数学》七年级（上）第3页上写道：“把0以外的数分为正数和负数起源于表示两种具有相反意义的量.”华师版《数学》七年级（上）第17页上写道：“为了表示具有相反意义的量，上面我们引进了负数.”可见，在数学中有一种观点认为“正数和负数起源于表示两种具有相反意义的量”.倘若如此，正、负数就是表示相反意义的量的数.正、负号就是表示相反意义的量的符号.这样，任何能表示相反意义的符号都可以当做正、负号.如果规定把向东走记做“▽”，把向西走记做“△”，则就可以把向东走8米可记做▽8米，向西走5米记做△5米.按照教科书的观点，把▽8与△5其中一个称做正数，则另一个就是负数.从表示与区分具有相反意义的量的目的和作用上看，这也应该认为是可以的.由此看来，正号与加号、负号与减号它们在意义上毫无关系，只是“模样”相同.
大家知道，在同一个数学式子中出现的同一个字母或符号，必须表示同一个意义，只有这样才符合逻辑，也是科学上的一贯做法.而这样看来，正号与加号、负号与减号它们又应该是表示相同意义的符号.
因此，教科书弄得人们说不清楚数学中的正号与加号、负号与减号之间是怎样的一种关系.
笔者认为，如果正号与加号、负号与减号之间没有共同的意义，不存在某种内在联系，就应该避免混淆，采用不同的符号.能用来表示相反意义的符号，也不是除了“+、-”再也找不到别的符号，又何必非要在同一个数学式子中用同一种符号表示两种不同的意义呢？显然，这是无法让人理解和接受的.如果正号与加号、负号与减号之间有关系，就应该让人们清楚它们之间是怎样的一种关系.数学应该是清清楚楚，明明白白的，正号与加号、负号与减号之间的关系应该是清楚的，确定的，毫不含糊的.数学是不能让不确定性有容身之地的.
显然，正、负号是表示相反意义的量的符号的观点，同正号与加号、负号与减号采用相同的符号做法是矛盾的.
二、算术数与正数的性质表述自相矛盾
规定正、负意义表示相反意义的量，就是规定用+、-代表什么.没有符号，规定的正、负意义就无法体现.规定把向东记做“+”，则向东走50米就可记做+50米.当把“+”省略不写时，就被记做50米.显然，如果认为这个50米代表还是向东走50米，那么就应该认为它仍然是有符号的，只不过是符号由明转暗.如果表示相反意义的量的正数的正号省略不写，正号及其意义就不复存在，那么，正号省略不写岂不是对先前所做规定的取消？岂不是把相反意义的量表示成了非相反意义的量？所以，表示具有相反意义的量的正数它有符号，且必须得有符号.通过省略不写的办法是抹杀不掉的.算术数没有符号，就是添上符号，也等于是画蛇添足.某人走50米，你就是硬把它记做+50米，其中的正号也没有什么意义，也等于没有.一个有符号，省略不写掩盖不掉；一个没有符号，添上等于画蛇添足没必要.把“向东走50米”记做“+50米”产生的所谓正数+50，与“走50米”中的算术数50，它们不仅意义不同，而且组成也不一样.这应该是显然的，毫无疑义的，无可争议的.因此，教科书一面讲“正数和负数起源于表示两种具有相反意义的量”，一面又认为表示相反意义的量的所谓正数就是从前不带符号的算术数，这是自相矛盾.
三、绝对值问题上的自相矛盾
关于绝对值的意义，华师版七年级《数学》上册“绝对值”一节中写道：“在一些量的计算中，有时并不注重其方向.例如，为了计算汽车行驶所耗的汽油，起主要作用的是汽车行驶的路程而不是行驶的方向.”“在讨论数轴上的点与原点的距离时，只需要观察它与原点之间相隔多少个单位长度，与位于原点何方无关.”“我们把数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作｜a｜.”教科书这里其实就是在讲正、负数是具有方向意义的数，而正、负数的绝对值是没有方向意义的数.就是在讲正、负数与它们的绝对值是意义不同的数.
问题：某人骑摩托车沿东西方向的道路上巡视，行驶记录如下（规定向东记为正.单位：千米）：+12，-9，+6，-4，+10，-12.求这个人骑摩托车行驶的总路程.
根据教科书所说的绝对值意义，这个问题中这个人骑摩托车行驶的总路程就应该为：｜+12｜+｜-9｜+｜+6｜+｜-4｜+｜+10｜+｜-12｜.在这个问题中，｜+6｜与+6的意义相同吗？显然不同.这就是说，正数与它绝对值意义不同.｜-12｜与+12的意义相同吗？显然不同.这也就是说，负数的绝对值与它的相反数的意义也不同.
在教科书中，一面讲正数与它绝对值意义不同，负数的绝对值与它的相反数的意义也不同，一面又定义正数的绝对值等于它的本身，负数的绝对值等于它的相反数.意义不同的两个数是不能相等的，这也应该是显然的，毫无疑义的.因此，教科书在绝对值问题上又产出了一个自相矛盾的案子.
四、正数大于负数问题上的自相矛盾
教科书讲“正数和负数起源于表示两种具有相反意义的量”.如果规定向东记为“+”，则可把向东走30米记作+30米，向西走50米记作-50米.试问：向东走30米与向西走50米谁“大”？+30大于-50吗？显然，它们无法比较大小.即，它们根本就没有大小.因此，如果正数和负数就是表示这种所谓相反意义的量的数，那么，它们就应该是没有大小的.
在教科书中，一面讲“正数和负数起源于表示两种具有相反意义的量”，一面又定义正数大于一切负数.这显然又是自相矛盾.
五、双重符号化简法则问题上的自相矛盾
对于像+（-2）、-（-5）这样带有双重符号的有理数的化简问题，人教版七（上）在“相反数”一节中写道，“在正数前面添上‘-’号，就得到这个正数的相反数.在任意一个数前面添上‘-’号，新的数就表示原数的相反数.”我们稍加推敲便会发现，这个符号法则与教科书所讲的正、负号意义相矛盾.
在教科书中，正号与负号可以说是为表示具有相反意义的量而引入的两种表示相反意义的符号.把向东走30米与向西走50米，可以分别记作+30米与-50米，也可以分别记作-30米与+50米.正号与负号的意义是相对的，地位是平等的.既然如此，正号与负号就应该遵循完全相同的符号法则.即，如果在正数前面添上“-”号，得到的就是这个正数的相反数，那么在负数前面添上“+”号，得到的就应该是这个负数的相反数；如果在任意一个数前面添上“-”号，新的数是原数的相反数，那么在任意一个数前面添上“+”号，新的数也应该是原数的相反数.也即，如果有-（+2）=-2，那么也应该有+（-2）=+2；如果有-（-2）=+2，那么也应该有+（+2）=-2.
教科书中一面讲正号与负号意义的规定是相对的、地位是平等的，一面又在所规定的双重符号化简法则中体现出正号与负号意义不是相对的、地位不是平等的.这显然还属自相矛盾.
六、有理数加法问题上的自相矛盾
教科书中由解决实际问题的需要来引入有理数加法，并应用有理数加法解决实际问题.华师版《数学》七年级（上）第40页有这样一道有理数加法应用的习题：“某天早晨气温是-3℃，到中午升高了5℃，晚上又降低了3℃，到午夜再降低了4℃.求午夜时的温度.”并在《教师用书》中强调：“要引导学生应用有理数加法，列式求出和.”显然，根据《教师用书》的要求应该做如下解答：
解规定温度升高为“+”，降低为“-”，依题意，得（-3）+（+5）+（-3）+（-4）=-5（℃）.
我们遇到的问题是：算式结果-5（℃）的意义是表示温度降低了5℃，还是表示零下5℃？两者的意义可是完全不同呀！
因为列算式时我们规定温度降低为“-”，所以根据这个规定算式结果-5（℃）的意义就应该表示温度降低了5℃.众所周知这道题的正确答案应该是午夜时的温度是零下5℃.如果说结果中的-5（℃）的意义就是表示零下5℃，那么，就相当于我们一面规定温度降低为负，一面又认为负不是表示温度降低.这显然又是自相矛盾.
七、有理数加法省略加号问题上的自相矛盾
大家知道，教科书中所讲的有理数加法是表示相反意义的量的数的加法，而算术加减法是表示生活中的量的数的加减法，两者意义截然不同.教科书在“有理数”一章中有个内容叫做省略有理数加法的加号.省略有理数加法的加号会混淆这两种不同意义的运算.教科书一面讲它们的意义不同，一面又省略有理数加法的加号来混淆它们，这种做法又是自相矛盾.
像把算式（+5）+（-4）+（-3）化为5-3-4应该属于数学算式变形.数学算式变形一般都是根据一定的算理进行转化，怎么还有“省略”这样一种方法呢？另外，省略有理数加法的加号的目的又是什么呢？
大家知道，教科书在“有理数一章”中所研究的是表示相反意义的量数及其运算.在这一章中，可以说是不规定正、负意义表示相反意义的量，就不会有正、负数及其运算.人们在列代数式、方程、方程组、不等式、不等式组、函数解析式等解决实际问题时，是否先要规定正负意义表示相反意义的量吗？当然是不需要.这些问题中会存在表示相反意义的量正、负号吗？当然是不会存在.这些问题中也不会存在表示相反意义的量正、负数及其运算.表示相反意义的量与这些数学问题可以说是毫无关系，风马牛不相及.这种表示相反意义的量的所谓有理数及其运算，无论从意义上还是从“模样”上都是一种完全另类的东西，在数学中无处可用，更无法用来做为这些后续数学知识的理论基础.该怎么办呢？我们给它来个偷梁换柱、移花接木；把有理数加法的加号省略，变成与算术加减法算式一个模样.这样，人们就会在不知不觉中把算术加减法算式，当成是省略加号的有理数加法算式.这样，人们就会按照有理数加法省略加号后的“模样”去识别正、负数.这样，把表示相反意义量的有理数就成功地“调包”成了非表示相反意义量的有理数.这样，人们就会在不知不觉中把“有理数一章”中所研究的表示相反意义的量的数及其运算，当成了后续数学知识的理论基础，应用到上面我们说的问题中去，应用到各种数学问题中去.这样，就避免了人们发现表示相反意义的量的数在应用上的这一“逻辑弊病”.不管教科书是否出于主观故意，但是，省略表示相反意义的量的数的加法的加号在客观上起到了这种蒙骗的作用，为避免数学与教学发生危机立下了“汗马功劳”.
八、有理数乘法法则问题上的自相矛盾
许多人都对教科书中有理数乘法法则中的“负负得正”不理解.不知道世界上有多少人曾经去探寻过“负负得正”的道理.世界杂交水稻之父袁隆平院士就对这个问题感到困惑.他在中学读书时就曾请教过他的数学老师，老师自然是没能给他一个合理的解释.可能是出于科学家的执著，他后来又向国际著名数学家、国家最高科学奖获得者吴文俊院士请教.吴文俊院士也只是笑而未答.数学教育家张奠宙教授曾说：“至今还没有一个现实的事例，能够清晰地说明‘负负得正’法则的合理性”.不过，现在不少教学参考书甚至是教科书都认为这个问题已经解决.例如，人教版《数学》七年级（上）“有理数的乘除法”一节中认为在教学中可以向下面这样讲有理数乘法法则中的“负负得正”：
问题 一只蜗牛沿直线以每分钟2cm的速度一直向左爬行，3分钟前它在什么位置？
为了区分方向，我们规定把向左记为“-”，向右记为“+”.
为了区分时间，我们规定把现在以前的时间记为“-”，现在以后的时间记为“+”.
因为3分钟前蜗牛位于现在的位置右6cm处，所以有（-2）×（-3）=+6.
由此可得到有理数乘法法则中的“负负得正”.
这样的解释看似很合理，但是，仔细一推敲便会发现完全不成立.大家知道，用正、负数表示相反意义的量时，不同问题中的“-”号代表的意义并不都是相同的，有时甚至是完全相反的.在式子（-2）×（-3）=+6中，-2与-3的符号的意义就不相同.-2的符号代表的是“向左”；-3的符号代表的“现在以前的时间”.教科书在这里区分了方向，也区分了时间，却忘了区分方向与时间.区分方向用的是-、+号，区分时间就应该而且必须是用另外的符号.如果把现在以前的时间记为“△”，现在以后的时间记为“▽”，那么，上面的式子就是（-2）×（△3）=+6.可见，说式子体现的是“异号（意义不同的符号）相乘得正”才更贴切.
代表不同意义的符号不能叫做同号.因此，教科书一面规定-2的符号代表向左，-3的符号代表现在以前的时间，一面又认为（-2）×（-3）=+6之中的-2与-3是同号，显然这又是一个自相矛盾.
九、把多项式定义为“和式”问题上的自相矛盾
若某班一共有a人，其中男生人数为5人，则女生就有（a-5）人.式子a-5无疑是个多项式.若多面体的棱数为a，面数为b，则顶点数为2+a-b.式子2+a-b也是个多项式.根据多项式的定义，它们无疑都是“和式”.这些含减法的算式在学习有理数（表示相反意义的量的数及其运算）之前，是不能将其称之为“和式”的.表示相反意义的量与这些式子应该是毫无关系，怎么会影响到其中的“差”变为“和”呢？不是说“正数和负数起源于表示两种具有相反意义的量”吗？在这些问题中不仅没有表示过相反意义的量，而且根本就不存在所谓的相反意义的量，这些多项式怎么却成了正、负数的代数和了呢？这实在是太离奇了.或许会有人说：根据有理数减法法则就可以把含有减法的多项式化为只含有加法的多项式，因此，这些含有减法的多项式可以称为“和式”.此言差矣，因为有理数减法法则“减去一个数，等于加上这个数的相反数”是把有理数减法转化为有理数加法的法则，是把表示相反意义的量的数的减法转化为表示相反意义的量的数的加法的法则，而不是把小学算术减法转化为有理数加法的法则，不是能把非相反意义的量转化为相反意义的量的法则.教科书中不是把有理数运算讲成了与算术运算是两种意义截然不同的运算了吗？两种意义截然不同的运算岂能相互转化！
教科书一面讲“正数和负数起源于表示两种具有相反意义的量”，一面又把多项式定义为是正、负数的代数和，因此这又是一个自相矛盾.
在数学中，人们之所以把加法交换律与结合律、乘法对加法的分配律广泛应用于含减法的算式，就是因为把多项式一律看做是“和式”，看做是正、负数、零的代数和.可以说，我们的数学体系是建立在多项式为“和式”基础之上的.如果“有理数”一章中所研究的表示相反意义的量的数及其运算不能成为把多项式定义为“和式”的理论基础，那么，我们的数学理论体系可以说就是无源之水、无本之木.
十、教科书所说的正、负数意义与史实矛盾
把向东走5米记做+5米，向西走6米记做-6米，这其实就是用“+”号表示文字“向东走”，用“-”号表示文字“向西走”.在这个过程中产生的应该是表示文字的符号，而不是什么新数.可以说，所谓的规定正、负意义表示相反意义的量，就是规定用正、负号表示两种具有相反意义的文字，是一种与数完全没有关系的事情.教科书说“正数和负数起源于表示两种具有相反意义的量”，就相当于是说正数和负数产生于用符号代替文字，产生于从文字到符号的“翻译”过程用符号表示文字应该不是一种数学行为.正数和负数怎么可能产生于这样一种非数学行为呢？笔者认为，除了自然数以外数学中一切新数的产生均源自于数的运算.在历史上，中外数学家们是认为“正数和负数起源于表示两种具有相反意义的量”的吗？
丢番图把负数解的方程说成是“荒谬的东西”.德国十六世纪代数学家斯蒂费尔把负数称为“荒谬”.1545年卡当著《大衍术》是欧洲第一部论述负数的著作，他承认方程中可以有负根，但又认为负数是“假数”，只有正数才是真数.法国数学家韦达完全不要负数，遇到负数就一律舍去.15世纪的舒开和16世纪的史提非虽然都发现了负数，但又都把负数说成是荒谬的数.卡当给出了方程的负根，但却称它为“假数”.1637年，法国的笛卡儿发明解析几何，创建了坐标观念，负数才得到实际的解释.笛卡儿也只部分地接受了负数，还是把负数当假数.19世纪的摩尔根等人说：负数“十分荒谬”.
可见，在古代数学中，负数常常是在代数方程的求解过程中产生的.这些数学家拒绝接受负数，就是因为发现负数时还没有发现它的实际意义.如果这些数学家们认为“正数和负数起源于表示两种具有相反意义的量”的需要，显然是没有理由拒绝接受的.因此，教科书“正数和负数起源于表示两种具有相反意义的量”的需要的观点与史实矛盾，与常识矛盾.
综上所述，表示相反意义的量的所谓有理数可以说是枉为有理数之名.楚人有卖盾与矛者，誉之曰：“吾盾之坚，物莫能陷也.”又誉其矛曰：“吾矛之利，於物无不陷也.”这是人们最熟悉不过的寓言故事.如果把教科书“正数和负数起源于表示两种具有相反意义的量”的观点比喻为盾，那么关于有理数的其他一系列观点就是矛.教科书中是一边卖矛，一边又卖盾.卖矛时只管卖矛，卖盾时只管卖盾.笔者认为，教科书中有理数知识体系的理论基础——“正数和负数起源于表示两种具有相反意义的量”的观点，与曾经统治化学百年之久的“燃素说”一样，完全不能成立.
我们也注意到，有的小学数学教科书中是由小数减去大数的差来引入负数概念的.但是，它并没有在此基础上建立起一种完整的知识体系.因此，我们有理由认为中小学至今还是没有从理论上彻底解决好对正、负数的认识问题.或许有人会说，有理数的问题本身就是讲不清楚道理的问题.笔者认为，世界上没有讲不清道理的问题，只有尚未认识清楚的问题.数学知识体系本身无论如何不能自相矛盾.希尔伯特曾在《论无限》一文中指出：“人们试想：在数学这个号称可靠性和真理性的模范里，每一个人所学的、教的和应用的那些概念结构和推理方法竟会导致不合理的结果.如果甚至于数学思考也失灵的话，那么应该到哪里去寻找可靠性和真理性呢？”对于有理数的认识绝对不能像盲人摸象似的：一会说负数是表示不够减的差的数；一会说负数是表示相反意义的量的数；一会说负数是古代数学筹算中的黑筹；一会说负数是在多项式定义下产生的数.只有把对有理数的各种认识有机的统一起来的认识，才是对有理数的正确认识.只有把正号与加号、负号与减号统一起来的认识，才是对有理数的正确认识.最后，对本文的错误不当之处，敬请批评指正.