数学归纳法教学的困难、对策与价值，本文主要内容关键词为：归纳法论文,对策论文,困难论文,数学论文,价值论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
数学归纳法是一种特殊的数学演绎证明方法.我国著名数学家华罗庚指出：“数学归纳法这个方法很重要，对学好高等数学有帮助，对认识数学的性质也有裨益，同时可以帮助我们深思.”[1]法国数学家H.Poincare同样十分推崇数学归纳法，称它是“数学中全部优点的根源”，并认为这个有限到无限的飞跃，既超越了经验的归纳，也超越了纯粹的演绎. 数学归纳法有许多形式，比如第一数学归纳法、第二数学归纳法、倒推数学归纳法，等等.在基础教育阶段，只要求学生学习第一数学归纳法.一直以来，世界各国的课程都将数学归纳法列为重要的学习内容： 2003年，我国高中数学课程标准要求学生：“了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.”[2] 1989年，全美数学教师协会（NCTM）要求学生更加关注数学归纳法，因为它是离散数学中很重要的一种证明方法[3].2000年，NCTM在其修订的标准中，要求学生学习应用数学归纳法原理去证明一些特定类型的题目，因为反复演算和递推方法的应用很广泛[4]. 2009年，日本高等学校学习指导要领要求学生理解数学归纳法，用其来证明简单的命题，并活用于事物现象的考察[5]. Bourbaki指出，单是验证了一个数学证明的逐步逻辑推导，却没有试图洞察获取这一连串推导的背后意念，并不算理解了那个数学证明. 数学归纳法从萌芽到以归纳公理的形式最终确定下来，共经历了两千多年的时间.与数学归纳法漫长的发展过程相比，学生对于数学归纳法的运用似乎显得驾轻就熟.这背后，学生究竟是只知道“两步一结论”的程式化操作，还是真正理解和掌握了原理呢？ 二、数学归纳法难在何处 数学归纳法的教学是一个世界难题，中外的研究[6-8]表明，学生在理解数学归纳法时面临着许多心理困难，主要表现在以下几个方面： （1）分不清数学归纳法与归纳法； （2）难以认同把无限步的三段论推理转化为有限步的验证； （3）不理解“假设结论成立，然后再去证明结论成立”； （4）不理解两个步骤的必要性； （5）“奠基”的初值与归纳假设要求的初值脱节； （6）递推关系证明的数学困难. 其中，尤以（3）为甚，学生面临的心理困难是：第二步的证明过程整个建立在一个命题p（k）上，而它本身未被预先证明，并且在推理过程中不加以证明.实际上，该心理困难与理解“蕴含关系”存在密切的关系，其本质在于：证明所关注的不是p（k）和p（k+1）是否分别成立，而是它们之间是否存有蕴含关系，即该蕴含关系的真值是否为真与p（k）和p（k+1）是否成立没有关系. 三、理解困难的原因 （一）演绎证明思维方式的负迁移 学生在学习数学归纳法之前所进行的论证，其证明思路和表达方式都类似于日常生活中的推理，即：①从某个事实出发，去证明另一个事实；②从某个假设出发，通过与实际情况的比较去证明它.而数学归纳法是一种全新的、与以往完全不同的演绎证明方式，许多学生也许从来没有想过可以这样来说明一件事情的真实性，这也叫证明吗？[9] （二）数学归纳法的教学无“法”可依 无“法”可依体现在两个方面：①数学归纳法事实上是基于自然数的归纳公理，然而中学教材中并没有皮亚诺公理或最小数原理作前提；②数学归纳法的认知图式涉及函数图式与逻辑图式（图1），而学生的原有认知结构对于同化数学归纳法无论是数学知识还是逻辑知识都不够充分.
（三）“考教悖论”的影响 面对高考，一方面，一线教师的态度是“考什么就教什么”；另一方面，命题专家的态度是“教什么就考什么”.这两种矛盾的现象就构成了所谓的“考教悖论”.我国2003年的高中数学课程标准将数学归纳法安排在数学选修2-2中，但这一模块要学习导数及其应用（24学时）、推理与证明（8学时）、数系的扩充与复数的引入（4学时）.数学归纳法放在推理与证明中，由于只要求达到了解数学归纳法的原理，加上高考主要以导数及其应用为重头戏，许多省份很少考数学归纳法（广东省除外），导致许多学校只讲数学归纳法的操作步骤甚至不讲数学归纳法的内容. （四）教材的编排不合理 Bell对证明进行了以下分类：①个人的经验；②权威的认可；③观察到的实例；④举不出反例；⑤结论的有效性；⑥数学的逻辑演绎推理[10].也就是说，数学证明只是众多证明方式中的一种.证明学习，除了学习形式推理之外，更重要的是理解数学证明的必要性与合理性.然而，教材的呈现太过突然，学生不知道为什么要学习数学归纳法，而且他们也缺少递推的过程性经验. （五）教学法的颠倒 数学归纳法诞生的历史发展过程是先水平数学化，然后再垂直数学化，但教师们的教学却跳过了水平数学化，直奔垂直数学化，而且教师的教学采取了公理演绎式的教学方式，这恰恰是Freudenthal所反对的“教学法的颠倒”. （六）教育文化的影响 受教育文化的影响，我国学生不喜欢质疑与提出问题，宁愿懵懵懂懂一知半解，也不会把心中的问题搞得水落石出. 四、教学对策 教学设计成果是设计者教育思想的结晶，反映着一定的教育价值取向.本设计体现了追求理解的数学教育价值取向，其设计理念为：“既要教操作步骤，更要教原理的理解；既要提供‘公理’的背景，更要借助日常情境模型把重点放在对蕴含关系p→q的理解上.” （一）相识：创设情境，使其一见钟情 回顾：在前面学习归纳推理的时候，我们遇到过这样的一个问题：
问题1 大家还记得当时我们是怎样解决的吗？ 学生是在学习了合情推理与演绎推理基础上学习数学归纳法的，该问题起到了先行组织者的作用. 问题2 我们当时的猜想真的正确吗？能证明吗？ 引发矛盾：正整数无限，即使穷尽一生，也无法一一验证. 问题3 怎样才能进行无限的验证呢？必须找到新的方法！ 正所谓“不愤不启，不悱不发”，为了解决有限与无限的矛盾，学生便会面向生活与实践，为解决问题而学习. 评注 Freudenthal指出，学习数学归纳法的正确途径是，向学生提出一些必须用数学归纳法才能解决的问题，迫使他们直观地去用这个方法，从而发现这个方法.该例存在明显的递推关系，符合数学归纳法的本质；同时制造认知冲突，使学生产生“饥饿”之感. （二）勾魂：问题驱动，使其欲罢不能 问题4 在以前的数学学习中，我们有遇到过类似的问题吗？ 以立体几何中证明“线面垂直”为例. ①按定义证：即证明直线与平面内的“任意一条”直线都垂直——“无限”的验证！ ②按判定定理证：证明直线与平面内的“两条”相交直线垂直——“有限”的验证！ 问题5 由这个例子，你们可以得到什么启发？ 思考的方向：能不能找到一种方法，只要通过对有限个步骤的验证，就能确保对无限个步骤也能成立？ 评注 数学归纳法的认知难点之一是“把无限步的验证转化为对有限步的验证”，通过类比立体几何中线面垂直的定义中的无限性与判定定理的有限性之间的转化，可以克服这一难点. （三）相知：解决问题，使其豁然开朗 教师指出：究竟该通过“怎样的有限步”才能确保无限步成立呢？为解决这个问题，引入多米诺骨牌的三次实验！ 实验一：如图2，课件展示动画，老师用手推倒第1块骨牌，然后第2块骨牌、第3块骨牌……紧跟着全部倒下，实验成功.
问题6 思考为什么会出现这样的结果？ 实验二：如图3，课件展示动画，在该实验中，骨牌的间距和实验1相同，老师用手推第1块骨牌，没有推倒，自然第2块骨牌、第3块骨牌……也就没有倒下，实验失败.
问题7 对比实验一和实验二，讨论实验失败的原因？ 结论：实验成功所需具备的第一个条件是：第1块骨牌必须倒下.……① 实验三：如图4，课件展示动画，在该实验中，骨牌的间距出现分化，将其中两块骨牌的间距拉开足够大，而其他间距保持不变.老师用手推倒第1块骨牌，还是没有全部倒下，实验失败.
问题8 对比实验一和实验三，讨论实验失败的原因？ 结论：实验成功所需具备的第二个条件是：任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下. 问题9 如何用数学语言描述上述结论？ 改写结论：若第k块倒下，则第k+1块也倒下.……② 评注 数学归纳法的认知难点之二是“理解两步骤的必要性”，通过多米诺骨牌实验一、二、三的对比操作分析展示：有1没2不行；有2没1也不行；有1且有2才行，直观地化解了这一难点.数学归纳法的认知难点之三是“对蕴含关系p（k）→p（k+1）的不理解”，我们的作法是通过“摆好的”多米诺骨牌来搭建理解的脚手架，为此要做两件事：一是通过一些没摆好的骨牌作为反例来强化什么叫摆好；二是通过“摆好的”骨牌说明这一关系与第k块倒没倒下没有关系. （四）动情：欣赏数学，使其念念不忘 教师指出：多米诺骨牌实验使我们看到方法的影子，但毕竟不能用来证明数学问题，需要抽出蕴含的原理，迁移到数学问题. 迁移一：将骨牌实验换成数学问题，回到最初的例子.
问题10 类比多米诺骨牌实验的思维过程，概括证明该猜想的步骤. 迁移二：让学生就该数学问题进行具体尝试. 问题11 能否做到这两步？
事实告诉我们，这样的方法是可行的！我们并没有对所有情况进行一一验证，而是利用递推思想，完美实现了无限到有限的转化. 最后，概括提炼，得出数学归纳法的形式化模型（略）. 评注 从多米诺骨牌实验到数学归纳法原理，清晰地反映了生活问题——数学问题——数学形式化的发展轨迹.学生经历了将生活中蕴含的原理逐级抽象为数学原理的水平数学化全过程. 五、数学归纳法的教学价值 （一）方法论的价值 数学归纳法是数学中一种独特的证明方法，它是解决求数列通项公式、数列求和、二项式定理、整除问题等问题的新方法.它充分体现了有限与无限的辩证关系与转化思想，是沟通有限与无限的桥梁，为学生增添了一种有力的工具. （二）思维品质的训练 我们认为，学习数学归纳法，最有价值、最精彩的就是要学习一种思维方式，也就是说，要先从个别样例中的观察、思考中去探索规律，再从一般性上来进行逻辑证明，实现由简到繁，由有限到无限的突破.同时，让学生借助具体问题与直观模型，经历数学归纳法的“再创造”过程，培养数学探究的意识.但我国的高中课程标准把数学归纳法的学习要求仅仅列为“了解”层次，造成了舍本求末的现状，建议在修订的高中数学课程标准中将其调整为“理解”层次. （三）情感领域目标的落实 三维目标包括知识与技能、过程与方法、情感态度价值观，然而情感领域的目标最容易被广大一线教师所忽视，原因有三：（1）情感目标没有数学特色；（2）情感目标难以落实；（3）情感目标是课程目标，不必作为课堂教学目标.殊不知，在新浪网的一项调查中，70%以上的网友坦承求学期间被数学“伤害”过，希望数学“滚出高考”，而这恰恰是因为情感目标的缺失.数学归纳法具有丰富的生活模型，可以寓教于乐，改变数学枯燥的印象；教师以情施教，带领学生由相识—勾魂—相知—动情，体会数学归纳法以有限驾驭无限，以静制动的威力.更重要的是通过“既教操作步骤，更教原理理解”，使学生相信数学结论，获得数学自信.
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