让复习课留下一串串生长节——“幂的运算”的小结与思考教学实录与反思，本文主要内容关键词为：小结论文,生长论文,教学实录论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、基本情况
1.授课对象
本节内容授课对象为江苏省示范性初中特色班的初一学生.
2.教材分析
所用教材为《义务教育教科书·数学（七年级下册）》（教育部审定2012年版），教学内容为第8章“幂的运算”中的“小结与思考”.在本章里，学生已学习了同底数幂的乘法和除法、幂的乘方和积的乘方的运算性质.在规定了零指数幂、负整数指数幂的意义后，这些运算性质扩展为
（其中n是整数）.这些内容不仅是代数运算的算理基础，也是代数运算的行为准则，还是后续学习整式运算乃至整个代数运算的知识技能和方法基础，更是学生积累进一步探索公式、法则、性质等活动经验的宝贵资源.
3.学情分析
在学习本章之前，学生已学习了幂的意义、有理数的乘方等基础知识，已经基本具备借助符号语言对相应的概念、性质进行描述的基础技能.通过本章的学习，学生也对幂的运算性质以及零指数幂、负整数指数幂的意义有了一个较全面的认识.当然，也有一部分学生学习这部分内容时，不是从算法、算理上去认识幂的运算本质，而是靠简单的机械记忆去死记硬背，套用幂的运算性质，从而算理不清、算法不对、算式不简的现象时有发生.还有一部分学生过分热衷于以幂的运算性质为主的唯技巧化的解题训练，忽视了对人具有可持续发展宝贵的学习平台，白白流失了此学习内容中的自主探究、相互合作、自我发现的资源宝藏.基于上述的教材观、学生观、教学观，可确定下列教学目标及教学重点、难点.
4.目标要求
教学目标：（1）了解幂的运算性质、零指数幂和负整数指数幂的意义，会借助符号语言进行正确的描述；能用科学记数法表示较小的正数；
（2）厘清幂的运算的算理，会运用幂的运算性质进行计算，并能说出每一步运算的依据；
（3）通过具体的例子，体会本章学习中体现的从具体到抽象、从特殊到一般以及“控制变量法”的科学思考问题、研究问题的方法，进一步渗透转化、归纳的数学思想方法，发展合情推理和演绎推理的能力；
（4）回顾本章所学的知识与方法，对本章知识进行梳理，使所学知识系统化、结构化，进一步积累探索公式、法则、性质的数学活动经验.
教学重点：结构化幂的运算的相关知识，能比较熟练进行幂的运算.
教学难点：建构本章知识体系，初步感受“控制变量法”研究问题的一般科学研究方法.
二、教学过程
1.建构知识网络
师：我们学完了第8章“幂的运算”.今天这节课，老师就和大家复习一下“幂的运算”的相关内容（板书课题：幂的运算）.请同学们思考下列问题：
问题1 从课题上看，本章要研究什么问题？研究的对象是什么？研究的内容又是什么？
生1：我想研究的问题应该是“幂的运算”，研究的对象是“幂”，研究的内容应该是“运算”.
师：回答得很好！那么什么是幂？
生2：“幂”与理解和、差、积、商的意义一样，是一种运算的结果，是几个相同因式相乘（乘方）的结果.
师：生2回答得很准确.谁能上黑板写出几个“幂”来吗？
生3上黑板书写，底数、指数的几种形式都写全了.
师：知道了什么叫幂，那么对幂进行运算，会有哪些运算呢？
生4：我想幂的运算应该有幂的加法、减法、乘法、除法和乘方这五种运算.
师：生4说出了幂的5种运算，在以后的学习中，我们还会学习幂的“开方”运算.下面就来分别研究幂的这5种运算.我们先来研究“幂的加法”.（师板书：幂的加法）
问题2 怎样进行幂的加法运算？我们先来研究
生5：
.
生6：生5的结果有问题，我用数值代入是不正确的.
师：生5对
运算结果作了美好的预期，但是其结果是错误的，看来美好的东西不一定是正确的，就像“罂粟花”，它虽然很美丽，但它是“大毒品”（学生笑）.同学们在自己的学习及生活中一定要用理性的眼光看问题、下结论.
生7：我想，从道理上讲，计算时，只能是先分别把两个幂分别算出来，再将两个幂相加，否则不可能有其他方法求出结果的.
师：生7思考问题的角度很特别.他从“算理”的角度来认识问题，给我们解决问题提供了一个新的视角，我们要珍惜这种思维方式.很显然，这种类型的幂的加法，即底数、指数都不相同的幂的加法，我们只能用生7的思路去解决问题了.
师：既然底数、指数都不相同的幂的加法，没有更好的计算方法，那么我们可以对中的字母作特殊化处理.我们先来控制“底数”，使其底数相同，指数不同，问题就转化成了
=？
生8：
.
生9：生8的结果一定是不对的.他所犯的错误与生5的错误如出一辙！
生10：对于也只能用生7的方法来解决.
师：既然计算没有更好的方法，我们再来控制另一个字母，即让其指数相同，底数不同，解决“
=？”这样一个问题.
生11：这个问题，显然是生7、生10解决的问题.
师：看样子，同学们已进入了探究问题的状态了，下面我提一个具有挑战性的问题，看大家能否解决.对于幂的加法，我们分别研究了“底数、指数都不相同”、“底数相同，指数不同”、“指数相同，底数不同”这三种类型的幂的加法，下面你认为我们该如何继续研究幂的加法呢？
生12：下面我们可以把幂的底数、指数都控制一下，使其都相同，即研究
型的幂的加法.
师：生12同学，你能沿着老师研究的思路，用准确的语言提出问题，很了不起，看来你具备研究“大学问”的潜质.
生13：这不就是一个简单的合并同类项的问题吗！
师：对！这是个合并同类项的问题，解决它不就小菜一碟！那么，谁能说出老师为什么要不断地将作为加数的两个幂的底数、指数不断地控制成相同呢？
生14:将两个幂的底数、指数不断地控制成相同，就是要使这两个幂不断地长得相同，甚至变成一样，成为同类项，这样就可以合并了，可使计算来得简单！
师：对！同类项的价值，就是能够合并；合并同类项的价值，就是“生活中同类的东西才能相加减”的真实写照！
师：到目前为止，对于幂的加法还有要研究的吗？
（众生摇头）
师：既然幂的加法我们已经研究完了，谁能对研究幂的加法的过程与结果作一个小结？
生15：我们研究了四种类型的幂的加法，通过对这四种类型幂的加法的研究，知道了“幂的加法不一定有简便的计算方法，只有底数、指数都分别相同的两个幂相加，才可以用合并同类的方法来简便计算”.
师：生15对研究结果作了一个很好的小结，谁能对上述研究的过程、方法作一个小结？
生16：今天运用的方法对我好像很有趣，但是我又说不清，反正这个方法我认为对研究问题很管用！
生17：这个方法，就是将一些不相同的数量，逐步控制成相同的数量，使问题逐渐变得简单，我也觉得特别有趣！
生18：……
师：同学们说的都有道理！这种方法在科学研究上叫做“控制变量法”.现在同学们说不清、道不明，没关系，将来我们还要继续用这种方法去研究问题.顺便告诉大家，不但数学要继续用这种方法研究其他问题，而且将来学习物理、化学、生物等学科时，老师也会用这种方法和同学们研究物理、化学、生物中的问题，将来同学们走向社会，若有可能从事科学研究工作，那么这种方法将是你战胜困难的法宝噢！
师：好了，我们该继续前行，研究幂的其他运算了，下面来研究“幂的减法”.
问题3 怎样进行幂的减法运算？
生19：老师，我认为可仿照研究幂的加法的方法，用控制变量的方法来研究幂的减法.
师：生19的想法很好！有没有其他的想法？
生20：老师，我想没有必要再用生19所说的方法了，我们可以直接应用研究幂的加法的结论，得到“幂的减法不一定有简便的计算方法，只有底数、指数都分别相同的两个幂相减，才可以用合并同类的方法来简便计算”这个结论，而且我坚信这个结论是正确的！
师：生20回答问题很霸气唷！谁能说说他的底气何在？
生21：我想，他是将减法运算转化成加法运算，为此他可以那么说！
师：到这里，看来同学们对数学的理解又更深一层了，我想生21也是用转化的思想方法来解决幂的减法运算的.（生21点头示意）
师：转化与化归是数学中重要的思想方法，在这里我们又一次感受到了数学思想的魅力所在！同学们要善于用数学思想方法来解决问题唷！
师：下面我们该研究幂的何种运算了？
众生：幂的乘法运算.
问题4 怎样进行幂的乘法运算？
生22：我们仍然可模仿研究幂的加法的方法来研究幂的乘法.即先研究
=？的问题，再用控制变量法先控制底数，使底数相同，研究
型的幂的乘法，需要指出的是这种类型，就是我们本章学习的同底数幂的乘法，即“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”；再来控制指数，使指数相同，即研究
=？这种类型的幂的运算，也就是本章所学的积的乘方，即“积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”；最后将底数、指数都控制住，即研究
=？这种类型的幂的运算，我想这种类型的运算，事实上就是“同底数幂的乘法”，在这里已没有研究的价值了！
师：漂亮！好一个生22！好一个一气呵成！好一个“在这里已没有研究的价值了”！好一个“数学帝”！你把老师惊呆了，不过同学们能听懂他说什么意思吗？
众生：能！
师：通过研究幂的乘法，我们得到了“同底数幂的乘法”、“积的乘法”的运算性质，谁能说出这两个运算性质的应用价值吗？
生23：其价值在于改变了运算顺序，能使计算简便！
师：下面该研究幂的除法了吧！
问题5 怎样进行幂的除法运算？
生24：我认为按照生19、生20所说的研究方法都可以.我想了一下，在这个研究过程中，会出现一个本章学习的同底数幂除法的问题，即“
”这种类型的运算.对于同底数的幂相除，其结果应是“底数不变，指数相减”，不过，在这里又遇到了指数相减的结果是正整数、零、负整数的问题，对于指数为正整数的问题，我们自然不需要研究了，而对于指数为零、负整数的问题，我们就有必要对“零指数幂”、“负整数指数幂”作个规定，其结论是这样的：
.
师：又一个“数学帝”！不过在进行零指数幂、负指数幂运算过程中要注意条件，特别是负整数指数的运算中，要注意运算过程的书写，切不可马虎大意，否则容易出错！为了能够把负整数指数的幂算准确，我建议同学们按照
这个过程进行计算.别小看这个小小的方法，它蕴含着“负负得正”的大道理唷！
师：在进行变化中，要注意“两变”，一是将“底数”变为“它的倒数”，二是将“指数”变为“它的相反数”.如果一次改变，我们可以理解为“改变一次符号”，那么两次改变，便可以理解为“改变两次符号”，于是便有“负负”的文化背景.在上述运算性质中，只有坚持“两变”，才能保证在数系中作“和谐恒等变形（换）”.根据常规思维可以作“和谐恒等变形（换）”，则能理解为“正方向思维”；不可以作“和谐恒等变形（换）”，则可理解为“负方向思维”.如果将“正方向思维”记为正的话，那么负指数幂的运算性质便有“负负得正”.即在负指数幂的运算中，出现了“负负得正”的内涵和文化.对于上述观点，欢迎同学们“吐槽”！
师：好了，现在应该研究“幂的乘方”了.
问题6 怎样进行幂的乘方运算？
生25：老师，我梳理了一下，不需要用控制变量法来研究这个问题.这个问题，就是简单的“
=？”，解决它我们可根据幂的定义来获得结论.
师：幂的乘方价值何在？
生26：价值在于改变了运算顺序，能使计算简便.
2.典型例题讲解
（1）填空：常见的“幂的运算”有：①同底数幂的乘法，②同底数幂的除法，③幂的乘方，④积的乘方.在“
”的运算过程中，运用了上述幂的运算中的________（填序号）.
3.全课小结、布置作业（略）
三、回顾与反思
如果说新授课是数学教学的“画龙”之作，那么复习课则是“点睛”之笔.而在实际教学中，复习课往往上成了新授课的再现，时有“炒冷饭”之嫌，影响了复习课的效益，阻碍了学生的进一步发展.本教学设计立意主要凸显“让学生又一次发展”的教学理念，主要表现在以下几个方面：
1.坚持系统性原则，构建知识网络
复习课必须对知识加以系统整理，只有将知识系统化，才能让学生形成能力.在对“幂的运算”这一内容系统结构化时，不是简单地将本章学习过的幂的四个运算性质罗列成图1中的知识网络，而是将幂的运算放在“数学运算”这个大系统下，让学生亲身经历“同底数幂的乘法”、“同底数幂的除法”、“幂的乘方”、“积的乘方”这四种幂的运算自然生长、闪亮登场的过程，不仅让学生感受这四种幂的运算性质的来龙去脉，而且还让学生再次感受研究这四种幂的运算的必要性.这种必要性超越了课本中新授课时呈现的时间、空间资源，创造性地开发了让学生在新授的基础上又一次发展的复习教学资源，并在这个资源上，让学生“螺旋发展”、让学生别有心意、让学生兴趣盎然、让学生站在数学学科的肩上“一览众山小”.
2.运用“控制变量”方法，激发探究欲望
打开章节通道，贯通前后内容，泛化所要复习的核心知识，让复习课以新授课的结构形式出现，是本教学设计的鲜明特征.复习课既然是对所学知识的复现，那势必会存在一定的重复，学生会感到索然无味，失去学习兴趣.既然复习课上学习内容的重复是不可避免的，那我们就应该尽量减少在教学方式上的重复，让复习课不仅要“温故”，而且要能“知新”.这“新”不仅仅包括学生的知识、技能的深化与熟练，还包括学生是否学会合作探索、学会复习、学会反思、学会知识的运用和创新以及思维有没有深度与广度、实际生活的经验和能力有没有提高.
为了达到上述复习要求，本设计将“控制变量”的科学研究方法巧妙地运用到数学教学过程中，在这个新的视角上，不仅激发了学生学习的积极性，而且还让学生感受到这种科学方法在解决问题时的杠杆作用，真正体现了“教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程.有效的教学活动是学生学与教师教的统一，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者”的课程理念.
控制变量法是一种科学的研究方法，对于七年级学生来说，可能有所涉猎，但是让他完整地感受这种科学方法，在数学上可是第一次（还是教师个性化的创新成果），也可能是他人生中第一次这么清楚地认识控制变量的思想方法.这种科学研究的方法，在他们将要学习的物理、化学、生物等学科中有所要求，而此时将它创造性地引入、前置到七年级数学课程中，不仅可以激发学习兴趣、帮助他们认清幂的运算性质的数学本质，而且还能整合多学科的资源、减少不同学科间的内耗、使控制变量法在学生学习文化知识、研究学科问题中发挥正能量，真正达到“数学教学活动，特别是课堂教学应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维；要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法”的目的.
3.把握复习切入点，形成一串串“生长节”
有价值的、高效的学习活动应当是“一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程”，是一个思维层层递进、论证步步为营、收获粒粒归仓的学习场，并在这独具魅力的场景中生长出一个个明晰的“生长节”，形成一个个充满个性的“知识络印”.
基于上述价值取向，“教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，引导学生独立思考、主动探索、合作交流，使学生理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得基本的数学活动经验”.本设计找准“数学运算”这个复习的切入点，让学生在异于新授课的教学起点上，展开最具价值的数学思考、科学思考、方法论的思考.这种思考，不是新授课的机械重复，而是复习课的思维提升；不是复习课的平面增长，而是活动课的理性探究；不是活动课的单一探究，而是数学课的光芒万丈.具体地说，从数学运算切入所要探究的问题，然后将七年级上册学习过的有理数运算、合并同类项等数式运算紧紧结合在一起，在这样的一个混合体中，运用控制变量的科学方法，运用从抽象到具体、从特殊到一般的数学方法，由浅入深，层层推进，一气呵成地凸显出本章学习的幂的四种运算性质，让学生形成新的知识生长节.
从课堂教学的实际效果看，教学活动各环节衔接流畅，紧密相扣，知识点之间过渡自然，紧紧吸引住学生，让学生在不知不觉中完成知识的转换与结网，大大提高了课堂效率.
4.练习设计精准，课堂练习的效度要加强
复习课要针对复习内容采集或原创出精准的、高质量的习题.在习题设计上要充分考虑问题的层次性，既有深度，又有广度.本设计中的第1、2道习题是基本题，做到了覆盖课本中最基本和最重要的知识；第3道题是一道探究性问题，它要具有较强的探索性，可培养学生的独立见解和创新精神.我们只有既关注基础与技能，又关注探索与创新，才能培养出时代的栋梁.
由于本设计在建构知识网络上花了一定的时间与精力，那么留给学生自主练习的时空就显得捉襟见肘，更没有时间对复习的结果进行检测、评价与反馈.如何处理和解决好上述问题，期待着有更好更多的成果涌现！