反例在中学数学中的构造
王 雯
（湖南科技大学 湖南·湘潭 411100）
摘 要 在数学研究中,构造反例研究问题是非常重要的,它在数学研究以及数学教学中有着重要的地位和作用.本文对反例的基本内涵进行了简要介绍,并深入讨论了反例的构造原则、构造方法,希望能将反例的构造方法应用于实际教学中。
关键词 反例 数学教学 构造方法 构造原则
1 介绍
在逻辑学中，反例是相对于某个全称命题的概念。而命题则由条件与结论两部分组成。无论是在生活中还是数学学科以及自然科学中中，反例都有重要的应用。在数学中，反例可以用来说明一个命题是假命题，关键在于这个例子的特征，它必须满足该命题的条件，但是不满足该命题的结论.数学的严谨性、逻辑性与抽象性为这门学科披上了一层神秘的面纱，它大多数时候不会特别简单而直白，所以学生在学习数学这门学科时，很多时候往往不能简单直观地理解它，因此，在数学教学中，教师除了要教给学生基本的、严密的逻辑推理以外，还要引导学生掌握逆向思维的方法，换句话说，就是要让学生在掌握正面论证的同时，学会举反例。
为寻求安全、可靠、施工方便的放水涵管处理方法，磐安县经过多次考察、研讨，最终确定在条件允许的山塘采用非开挖技术，对存在安全隐患的涵管进行报废处理，重新在左右坝头山体合适位置采用非开挖技术新建涵管。磐安县2012年综合整治山塘20座，其中采用倒虹吸建涵管3座，坝头明挖设置埋入式涵管2座，老涵管套管灌浆处理2座，采用非开挖技术处理涵管13座，占到了山塘整治总数的65%。
2 反例的构造原则
反例的构造需要遵循一定的原则，不是每个题目都适用于构造反例，反例也不是多多益善，构造反例需视实际情况，科学合理地来构造。
2.1 正确性原则
数学是一门具有严谨的逻辑体系和缜密的思维特点的学科，数学学科的严谨性要求我们在构造反例时要坚持正确性原则，也即我们在构造反例时要有依有据，不能想当然，凭空捏造，所构造的反例必须有明确的依据，而且构造反例时，也要分析已知题目的性质、特点，找好切入点，“对症下药”。如果所举的例子本身正确性就存在考究的话，那就没有意义了。此外，需明白，举反例不是说让我们举一个错误的例子，而是举出能说明其问题错误的正确例子。
2.2 简单性原则
构造反例的意义本身就是将问题化繁为简，因此，反例的构造应该尽可能简洁明了，让人一目了然。也就是说，只有能够有效地说明问题，所举的反例只有更简单，没有最简单。
例如，要说明命题“若2=2，则 =”是假命题，只需要举例“ =2,= 2”即可说明问题。简单的数字让人一目了然又极具说服力。
2.3 全面性原则
数学要求严谨、客观、全面，构造反例同样如此。找反例时，要考虑全面，把所有可能涉及到的情况考虑进去，学生在构造反例否定结论时，往往因为思维不全导致出错。因此，构造反例一定要坚持全面性原则。
例1用反证法证明：如果2+2=0，那么 ==0。
都是——不都是 都不是——至少一个是
如图1所示，∠1和∠2有公共顶点，但∠1和∠2不是对顶角。
（2）当 =0， 0时，2+2=0+20；
（3）当 0， 0时，2+20。
这都与已知2+2=0矛盾，所以假设不成立，即结论 ==0成立，即得证。
至少个——至多个 至多个——至少个
2.4 经验性原则
在数学中，有一些常用的反面对立词，平时我们可多多积累，形成经验。要善于归纳总结一些常用思想方法，当题目中出现关键词时，能迅速在脑海中定位并找出反设。因此，我们要清楚一些特殊结论的反设。
图形往往带给人最直观的视觉感受，因此，在构造反例时，我们可以利用图形，直观清晰地说明问题。
证明：我们先假设结论的反面成立，此时有三种情况：
新世纪以来，河南更加重视文化建设，充分发挥文化在中原崛起、河南振兴中的巨大作用，戏剧作为河南最“强势”的文化资源，更是受到政府的高度重视。近十多年来，河南戏剧在政府的关注度、政策支持、资金投入、舆论支持、激励机制等方面享受了更加优厚的待遇，河南的戏剧生态环境是“风景这边独好”。而最直接反映现实、作用于现实的现代戏，更是受到格外“青睐”。正是领导的重视，良好的环境，有效的措施，共同谱写了河南现代戏的辉煌篇章。
有无穷多个——只有有限个
笔者选择吉林建筑大学土木14-4班(实验班)和14-9班(对照班)作为研究对象。因为这两个班入学时采取的是随机的编班方式，而且学生们是在同样的人才培养方案的指导下接受大学教育的，所以可以近似地认为它们是两个对等班级。实验班的学生参加了基于创客教育的第二课堂活动，对照班的学生没有参加基于创客教育的第二课堂活动。为了考查基于创客教育的第二课堂的改革效果，笔者分别对实验班和对照班的期末考试成绩和能力测评成绩进行了对比分析，具体情况如下：
糖尿病是胰腺癌发生的独立危险因素[5]，该次研究显示，胰腺癌合并糖尿病患者在经过放疗后的血糖改善率为60.00%，相对较高，说明胰腺癌患者接受有效治疗，可恢复血糖水平至正常范围内，且糖尿病病程越短，胰腺癌合并糖尿病患者的血糖改善率便越高。同时糖尿病病程＜12个月、12～24个月的胰腺癌患者在经过放疗后，血糖改善率同肿瘤标志物水平的降低存在相关性，而其他两组则无相关性，这说明尽早诊断糖尿病并采取有效方法控制血糖水平，有助于预防胰腺癌的发生，或者是早期发现肿瘤并实施根治性手术，从而促进患者预后的改善。
清楚了这些常用反设后，在构造反例时就会顺利很多。
3 反例的构造方法
了解了反例的基本含义，也明确了反例在数学教学中的作用至关重要，但这些还不够，我们需要掌握反例的构造方法，学会自己构造反例。知道反例的作用固然重要，但更重要的是知道如何构造反例。
企业价值共创体系的涌现指由价值情报探测及分析系统、协调控制系统、协同生产系统等构成的企业价值共创体系整体所具有的超越各组成系统的能力。借鉴穆勒提出的判断涌现存在与否的三个判据［21］：可加性判据、新奇性判据和可演绎性判据［22-23］，将企业价值共创体系的涌现分为两个层次：第一个层次是价值共创体系继承与各组成系统的能力，但其能力指标不是系统级能力指标的简单线性叠加，而是非线性的整体价值创造能力的改变值。第二个层次是价值共创体系具备的而单个体系组成系统并不具备的价值创造能力，表现在体系的整体价值创造能力指标上。
3.1 特例法
特例法，顾名思义，就是特殊的例子，通常是符合题设的某个特殊例子，使得命题的结论不成立。所谓特殊例子，可以是某些具体情况，也可以是某些极端情况，并且这些情况的结论是已经被证明为真的。如：判断命题“任何数的平方都大于它本身”的真假，只要举出“0.1”这一例子就可以了；而要推翻命题“如果2=2，那么 =”，只要举出反例： 32=32，但是-3≠3即可。在构造反例时，要特别留意题设中出现的主题词，找到这一主题词包含的特殊情况。如，当题设中出现四边形时，要注意考察平行四边形、矩形等特例；当题设出现非负数时，要注意考察0这一特例；当题设出现三角形时，要注意考察等腰三角形、直角三角形等特例。
3.2 图形直观法
例如：小于——大于等于 大于——小于等于
食用油中黄曲霉素的检验方法。植物油都是从植物中提取出来的，如果植物在收割后没有及时进行科学的处理，就会出现一些黄曲霉毒素，这样制作出来的食用油就会影响人们的身体健康。所以我们应该从根源上入手，严格按照相关要求检测粮油植物中的毒素含量。我们可以选择近红外光谱检测技术，随机选取一些样品进行检测，然后收集食用油的光谱，进行相关毒素的样本检测。这种检测方法不需要进行提前处理，检测结果的准确度比较高，且所需的成本较低，给周围环境带来的影响较小，被广泛运用到黄曲霉毒素的检测工作中。
例2判断命题“有公共顶点的两个角是对顶角”的真假，并说明理由。
解：该命题是假命题。
我们根据对顶角的定义，一个角的两边分别为另一个角的两边的反向延长线时，这两个角是对顶角，有公共顶点的两个角的两边不一定互为反向延长线，所以该命题为假命题。
（1）当 0，=0时，2+2=2+0 0；
此例根据所构造的图形可以给人直观真切的感受，从而更便捷地说明了问题。
图1
3.3 逆否命题法
在学习命题时，我们知道，原命题与它的逆否命题具有同真同假性，因此，对于有些数学问题，我们可从它的逆否命题出发，进行真假性的讨论。我们可先写出原命题逆否命题，后从逆否命题的条件出发构造反例，如果推出逆否命题正确，则说明原命题正确，反例错误，并从使得逆否命题错误的角度出发寻找条件构造反例。
例3若2是合数，则一定是合数。
分析：原命题的逆否命题为“ 若 不是合数，则 2一定不是合数”
领会(Understanding)：第二学年设置医院见习、模拟药房实训Ⅰ和医院药学部临床药学室见习，增强药师与其他医疗工作者的团队合作意识，提升医患沟通能力，提高学生的人文素质，加深学生对临床药师职业的感性认识，进一步明确学习目的，提高学习兴趣。
存在唯一的——不存在或至少存在两个
先从逆否命题的条件出发，假设 不是合数，那么 可能为质数或为1。
当 =1时，2=1不是合数，逆否命题正确，反设错误。
国内上述市场乱象和激烈竞争的局面，必然导致“劣币驱逐良币”现象的出现，即依法纳税企业将经营艰难，而规避监管企业大把盈利，导致进一步的扩能冲动，整个产业链将进入恶性循环；没有零售网络或者零售能力小于产能的实体企业将因批发导致亏损。从行业看，整个行业的利润集中体现在门槛低的零售环节，加油站成了社会资本的提款机。长此以往，整个炼油行业将受到严重的冲击。
547 Effect of hydrogen-rich water on oxidative stress of in vitro orbital fibroblasts from patients with thyroid associated ophthalmopathy
唐飞霄道：“好事赖事，还在大师的一念之间。小生斗胆，请问大师，近日云浮天葬院中，可曾收留了一位中州女子？该女子十六七的年岁，白肤黑发，着绿丝裙，持竹叶刀。”
因此当排除出现矛盾的这一条件“ =1”时，反设正确。
反例：取 为质数。
当 为质数时，显然 2为合数，逆否命题不真，因此原命题为假命题。
3.4 定义法
运用定义法构造反例，首先需要对数学中的定义、定理、法则较为熟悉，在构造反例时，抓住定义中容易被忽视的条件来构造。
例4举反例说明命题“两条直线被第三条直线所截，同位角相等”是假命题。
分析：对照同位角相等的定义“两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等”，不难发现，题设中少了“两直线平行”这一条件，因此，我们可以抓住这一条件，再结合上文提到的图形直观法，构造出反例：
反例：如图2所示，当直线 不平行于直线 时，同位角∠1和∠2不相等。
类似地，在说明“同旁内角互补”是假命题时，根据定义“两直线平行，同旁内角互补”，可知在同一平面内，只有当两直线平行时，同旁内角互补才成立，因此可以此切入构造反例。
运用定义法构造反例时，需要格外注意定义、定理、法则的限定条件，尤其当出现“仅仅”、“平行”、“垂直”时，要更加注意对照分析。
驱车进入市区的路上，已是华灯初上。一路的车灯和霓虹妆点夜的多彩和迷蒙。两人虽是第二次会面，但熟识度亦如多年老友。伍亦苒带着他去了新区的一家专营海鲜生意的高档酒楼，一桌生猛，艳丽奢华，两箸生辉，相谈甚欢。
图2
4 结语
数学作为一门内涵丰富的基本学科，其教学既要让学生获得知识，丰富文化内涵，又要发展学生自主质疑与纠错的能力，而反例常常以它自身的魅力引导学生对问题探究到底，成为引发学生深入思考的催化剂。反例的构造方法多种多样，文中只是选取部分典型例题进行说明。需要注意的是，引入反例要根据学生的认知特点、思维发展程度来进行，要有针对性的层层深入，要将反例妙用而不是滥用。
参考文献
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[2] 彭光焰.例谈反例的教学功能[J].数学通报,2002(8)：16-18.
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[5] John Mason,Sergiy Klymchuk.Using Counter-examples In Calculus[M].Imperial College Press,2009.
The Construction of Counterexamples in Middle School Mathematics
WANG Wen
(Hunan University of Science and Technology,Xiangtan,Hunan 411100)
Abstract In mathematics research,it is very important to construct counterexample research problems.It has an important position and role in mathematics research and mathematics teaching.This paper briefly introduces the basic connotation of counterexamples,and deeply discusses the construction principles and construction methods of counterexamples；hope that the construction method of the counterexample can be applied to the actual teaching.
Keywords counterexamples；mathematics teaching；construction methods；construction principles
中图分类号： G424
文献标识码： A DOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2019.10.082