浅谈数学教学中的“聚散”之策，本文主要内容关键词为：浅谈论文,之策论文,数学论文,教学中论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、问题的提出 当我们细细体会数学教学的意义时，会发现数学教学除了给予学生一些适当、有用、必需的数学知识之外，其重要目标在于培养学生的理性精神.而如何展现数学的多面性，如何传递数学的多样美，如何挖掘数学深刻的学科价值，笔者认为数学教学中可融入“聚散”之策.聚是一种凝神屏气的专注，散是一种天马行空的跳跃.“聚”旨在培养学生聚合思维的能力，“散”旨在培养学生发散思维的能力.而“何聚何散”是一个值得我们探讨与思考的问题，下面结合实践谈谈数学教学中的“聚散”之策. 二、聚——聚焦问题本质 1.搭桥铺路，聚焦概念形成 数学是一门抽象学科，其概念、定理、方法等也往往呈现出抽象的特点.因此，教学中，特别是在概念的新课教学中，教师对教学环节的展开需精心设计、搭桥铺垫、环环相扣，使学生对概念的认识能经历直观感知到一般化抽象的过程，通过具体实例、具体模型，达到顺应与同化概念的目标.而在这样一个认识过程中，其重心是聚焦于概念的核心要素，聚焦于概念的辨析. 案例1 数学归纳法概念的形成过程. 数学归纳法作为一种用于证明与自然数n有关的命题的方法，其价值在于能运用有限的步骤证明对无限的自然数n都成立的命题.但也正因为数学归纳法处理的对象涉及自然数的无限性，以及本身思维方式别致、形式变化多样，使很多学生难以理解其深刻意义.因此，数学归纳法教学的重心应是让学生充分感悟方法的精髓——即“假设n=k时命题成立，进而推导出n=k+1时命题成立”. 如何达成这种感悟的目标呢？我们知道数学归纳法的核心是两个步骤：（1）初始值成立问题；（2）假设n=k时命题成立，推导出n=k+1时命题成立.倘若直截了当，给出数学归纳法的证明步骤，那么其抽象性对学生而言很难接受.人类文明花了2000年才认识到“从n=k时命题成立，证明n=k+1时命题成立”这一飞跃性的步骤，在教学中企图一步到位地实现所谓“透彻地理解”是不现实的.所以，多设些铺垫，多给些实例，慢慢地聚焦，有助于学生理解概念.所以，课堂上不管教师使用的是“多米诺骨牌推倒游戏”，或是“烽火戏诸侯的信号传递”，还是“一串鞭炮的燃放”，都可以认为是通过一种写意的方式很好地诠释了数学归纳法的内核. 如“多米诺骨牌效应”中，第一块骨牌不倒，后面的骨牌就不倒，这隐喻了归纳奠基的必要性与重要性.每两块骨牌间的距离要恰当，其中任何一块骨牌倒下时，都正好倒在下一块骨牌上，并使之跟着倒下，这隐喻了归纳假设推理的重要性.数学归纳法的原理对学生而言具有抽象性、深刻性，运用这样一种实例模型使学生对其有了感性认识，也即“淡化形式，关注本质，注重思想”.所以说，概念教学要适度的慢，在慢中搭桥铺路，在慢中聚焦概念核心，在慢中加深概念理解. 2.开门见山，聚焦问题核心 当然，概念并非都需要通过具体事例引出.高中数学教学更加关注学生理性精神的培养，更加重视学科的思维价值，主张在思维操练中培养学生.所以，有时教学导入更应从理性问题入手，在理性问题的思考中达成“以问引思、以问促疑、以问导学”的教学目标.故开门见山、直截了当、直面问题也是一种教学手段和方法. 案例2 直线与圆的位置关系引入. 关于这一堂课的引入，笔者在第一个班教学时，是按照这样的思路展开的： （1）师生共同回顾直线与圆的位置关系：相交、相切、相离； （2）让学生思考如何判断直线与圆的位置关系，学生大概地说说几何法（即比较圆心到直线的距离和圆半径的大小关系），或是代数法（联立方程，判断“Δ”与“0”的大小关系）； （3）抛出例题，展开例题教学. 这样的一堂课，似乎是按部就班，但在讲解这两种方法时有种空洞的感觉，缺少具体思考的素材，并且有了方法之后再解决问题似乎减少了学生的求知欲，削弱了学生的思考力和创造力. 因此在第二堂课中笔者调整了策略.在第二个班教学时，笔者先是具体给出一条直线和一个圆的方程，让学生思考直线和圆的位置关系.因为学生在初中对直线与圆的位置关系已经从几何的角度进行了研究，故本节课的重点应当是利用坐标法判断直线与圆的位置关系，并在关键点上适当拨动学生思维.经过这样处理之后，课堂灵动了，学生讨论活跃、积极参与，达到了思维碰撞的目的. 所以，有时简简单单、开门见山，直接聚焦需着手解决的问题，从而将知识与方法的探索融入到问题情境中去，更易激发学生进行理性思考，培养学生思维的深刻性；更易激发学生的求知欲，培养学生学习数学的兴趣；更易激活课堂，增强学生的课堂参与度；更易有效整合知识与方法，优化学生思维. 3.淡化技巧，聚焦概念本质 数学学习过程中，在学习新的概念、知识与方法之后，往往需要精选一些例题、习题来巩固新学知识，加深对新知识的理解与应用.在此笔者想说的是，新课教学中例习题台阶的设置要低，切莫在新课教学中选择一些复杂、综合、与新知识本质不相关的高难知识点，更应从简洁干练的例题出发，理解知识的本质. 例如，前段时间，笔者听过一节“圆的普通方程”（第一课时）的公开课，在师生学习完圆的一般方程形式后，教师选择例题：“已知圆C方程为
，试求t的取值范围”让学生解决.此题设计的本意是想加深学生对圆的一般方程中系数应满足条件的理解，但此题的最大问题是计算难度大，淡化了本质，脱离了圆的一般方程系数需满足一定条件这一知识本质点. 又如，在“复数四则运算”（第一课时）的一节公开课中，开课教师为了引出复数的乘法运算，首先用了向量数量积定义类比提问学生复数相乘是否为实部之积与虚部之积之和；其次是提问无理数相乘（如（1+
）（2+
））是怎么计算的？但即使不考虑向量数量积与复数相乘是具有质的区别的两种运算，也不考虑无理数相乘到底对类比复数相乘有多少迁移价值，笔者觉得，复数运算是自然的，复数本身作为一种数，其相乘定义是依据实数因式相乘类比得到的，故类比向量运算等反而脱离了其应有本质.倒不如将问题抛给学生，即让学生思考如何定义“（a+bi）·（c+di）”比较合理，让学生来尝试定义.事实上，复数作为数的一种，它依旧遵循了数的四则运算与相应运算律，通过一种自然的方式引入反而不失其本质. 三、散——发散学生思维 “散”更侧重于培养学生的发散思维能力，所谓发散性思维，即是从某一点出发，运用全部信息进行发散性联想，从而产生数量较多的输出分支，具有多向性、探索性、运动性等特征，即思考问题时注重多途径、多方案，解决问题时注重触类旁通、举一反三. 课堂教学中要解决两个问题.其一，什么时候散，该散在什么地方？当呈现的知识内涵比较丰富，能引发学生产生不同思考，培养学生多视角分析解决问题时，正是发散良机.其二，如何散，该采取怎样的方式散？散从形式来看有自我探究、小组合作、师生合作等形式，从内容来看有“一题多解”、“引申推广”、“变式探究”等. 1.一题多解，散出视角 数学知识体系中，由于其内在的整体性、相通性与关联性，故一个问题往往有多种解法.“一题多解”能培养学生的求异思维，能引导学生多方位、多角度、多层次地思考问题，对培养思维的发散性大有裨益.特别是在不同知识空间、不同知识维度、不同视角下的“一题多解”，更能开阔学生视野，对数学学习更有启发. 案例3 2012年高考浙江卷理科第15题的例题教学.
④特殊视角：一般性地，动态值往往可用特殊的静态值来研究猜想.可将△ABC特殊化为AB=AC的等腰三角形，从而猜想结果.尽管略失严谨，但也不失为一种智慧的体现. （2）教学思考. ①一题多解展现了数学知识的整体性、多角度性，在教学中开展一题多解，有助于开阔学生思路、活跃学生思维、增强数学趣味性.如案例3即很好地沟通了向量、三角、几何等，使知识在不同的维度空间跳跃. ②一题多解应立足学生基础，千万不可为多解而多解.案例3如果放在高一新课教学中，笔者觉得学生能掌握向量法足以，因为向量间的相互转化是基本方法.倘若新课教学中便一题多解，有时反而会混乱学生思维.但若是在高三的一、二轮复习中，那么就有必要让学生掌握以上4种解法.因为，首先，通过此题展现了这些知识的内在联系性；其次，通过此题有助于启迪学生思维.向量的转化、几何的分析、解析的探究、特殊值的猜想都为解题者开启了思维之门. ③一题多解与解法的技巧性相比，能从各知识维度思考解决问题更显重要.所以，一题多解的“散”要散在引导学生学会如何在不同的知识维度之间进行跳跃，进而更好地把握知识间的内在联系. 案例3中学生用向量法解决问题应该不难，而使用其他解法可能有困难.此时，教师就需要引导学生去思考：在一般的向量问题中，还有什么其他解法？教师在讲解完之后，必须要让学生有效总结，包括：解法有哪些？为什么可以这样解？解法间的联系是什么？等等.只有不断让学生总结与反思，方能将知识内化，从而在下一次遇到类似问题时进行类比迁移. 2.拓展引申，散出推广 数学的发散，自然离不开对问题的拓展引申，即对已有问题、现有结论通过归纳类比等猜想方式进行拓展、引申、并进行论证. 教学中，教师要创设学习契机引导学生进行发散性思考，培养学生勇于猜想、推理，通过观察、分析、比较、联想等方式，实现对已有事实与结论的推广.
（1）求数列｛
｝的通项公式； （2）略.
【评析】这样的问题在数列学习中经常会遇到，教师需要引导学生更深层次地看待问题.如此题中应当引导学生思考条件中
与
在满足什么条件下可使数列｛
｝为等差数列.从案例4到引申1是从“具体”到“抽象”的跳跃：从“6”抽象出实数“2k”；而从引申1到引申2则是“特殊”到“一般”的跳跃：从“2（k-2）”跳跃到更一般的情形“m”.在这样的过程中，让学生从解题规律中归纳出其中的缘由，必然会大大激发学生的学习兴趣，同时有利于培养学生在简单数学问题中寻找真理. 3.开放条件，散出变式 实际教学中，发散有时也可以是开放问题的条件，由学生自己来创设问题条件，从而发散学生思维，使学生能更好地体会问题的发生发展、异化迁移，更好地把握问题的通解通法、“异质异解”等. 教师可以在一些适当的问题中，指导学生从某一题型、某一知识点联想开拓，开放条件，进行变式训练，有效地将知识深化，达到举一反三、提高学生发散思维能力的目的，从而或把握一类问题的通解通法、或把握形同质异问题的不同处理方式.
【评析】以上各变式，正是在课堂教学中，学生通过自我探究、集体讨论、完善整合得到的条件与结论.通过这种填空式的编题方式将学生的已有知识汇总起来，不仅冲击学生原有的视野，易于激发学生的学习激情，更能使学生在丰富多样的几何条件下找到问题的共性，做到“一叶知秋”. 同时，教师要在预设的框架下对学生新生成的问题作出说明、补充、肯定和鼓励.如笔者在上课过程中，有学生就提出了这样的条件：椭圆上存在两点关于直线l对称，求k的值.这就是有关对称性的一个很好的问题，当然问题应修正为“求k的取值范围”.关于中点问题，也有学生一开始直接提出以焦点F（1，0）为中点，教师可以对此问题作一个引导性思考，使问题更具有一般性.在这一来一去的交流中，更能让学生体会问题的产生与解决过程. 四、教学启示 从前文所述来看，“聚”之策略更宜应用在新课教学中.特别是概念教学，它从问题情境的创设，到概念的引出，再到概念的辨析，是一个逐渐理解概念本质、概念核心的过程.而“散”之策略更宜应用在复习教学与例题教学中，特别是在学生拥有适宜的基础与能力之时，再进行适宜的发散，诸如引申推广、变式探究、一题多解等，是一个培养学生多视角看问题、综合处理问题的过程. “聚”更多地专注于知识块内部系统的学习，而“散”更多地专注于知识块之间的联系.如在案例4的教学中，向量法即是向量知识系统里的基本方法.而在复习教学中，我们主张将更多知识系统地联结起来，形成一种更广的视角.但并不是说“聚”与“散”两者是孤立的，事实上，“聚”是“散”的基础，只有基本方法、基本概念、基本思想理解透了，才有可能实现知识的发散；同时，“散”是“聚”的发展，我们总是强调要发展学生的思维，在学生基础能力得到巩固之后，自然希望得到更大的发展.引申推广、变式探究、一题多解，其目的都是进一步完善学生的知识结构、优化学生的思维方式、发展学生的思维能力. “聚”与“散”作为教学的两个方面，其最终目的都在于激发学生的学习兴趣、提高学生的参与度、发展学生的思维能力.而要实现这些，需要教师立足学生基础、精心设计教学、优化课堂结构，更重要的是需要将数学的学术形态有效转化为教育教学形态.
标签：数学论文; 思考方法论文;
