物理学中的叠加原理及其应用，本文主要内容关键词为：及其应用论文,学中论文,原理论文,物理论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
所谓叠加，狭义地说就是合成。中学生比较熟悉的如力的合成和电场、磁场的合成等即为典型的实例。当然还包括十分熟悉的在研究一个复杂运动时，将它看作是由几个简单分运动的合成等情形。但广义来说，叠加应该比合成更能正确反映物理问题的本质，如不带电的部分可以看作是带等量正电荷和等量负电荷叠加的结果，这时如果硬要说这就是合成，理解起来就有点困难。还有像导体处于静电平衡状态实际上就是由于外加电场和导体上的感应电荷在导体内产生的附加电场叠加的结果，另外任何声音都可视为许多简谐运动的叠加，以及很常见的驻波现象都是叠加的结果等等。
总体来说，矢量的叠加遵循平行四边形法则，而标量的叠加则可直接进行代数加减。如求合力或求总功时可分别按这两种原则处理。
实际上，除了以上这些常规的叠加实例外，中学物理中还会有许多方面会用到叠加思想，只是很多时候没有明确提出而已。下面通过对一些实例的具体分析加以详细总结。
一、动生与感生的叠加
磁场不随时间变化，回路或回路的一部分在运动（也包含回路不动，但磁场相对回路运动的情况）由此产生的感应电动势称为动生电动势。
而磁场随时间变化，回路静止不动，由此产生的感应电动势称为感生电动势。
如果一方面回路或回路的一部分相对磁场运动，同时磁场本身也在随时间发生变化，我们即认为回路中同时存在动生电动势和感生电动势，因而可以先分别确定相应动生电动势和感生电动势的值及方向，再利用叠加知识求出总的电动势。当然，无论是动生电动势还是感生电动势，其本质都是由于回路中磁通量发生变化造成的，故也可以利用法拉第电磁感应定律求解，而不必区分动生电动势与感生电动势在产生机理上的有所不同了。
例1 如图1所示，两根平行金属导轨固定在水平桌面上，每根导轨的电阻为r0=0.10Ω/m，导轨的端点P、Q用电阻可忽略的导线相连，两导轨间的距离l=0.20m。有随时间变化的匀强磁场垂直于桌面，已知磁感应强度B与时间t的关系为B=kt，比例系数k=0.020T/s。一电阻不计的金属杆可在导轨上无摩擦地滑动，在滑动过程中保持与导轨垂直。在t=0时刻，金属杆紧靠在P、Q端，在外力作用下，杆以恒定的加速度从静止开始向导轨的另一端滑动，求在t=6.0 s时金属杆所受的安培力。
二、场的叠加
引力场（重力场）、电场等虽然产生的物理本质各有不同，但它们的内在属性却有很多的共同点，如虽然看不见，摸不着，但都是客观存在的。中学物理中带电粒子在匀强电场中运动时既受重力，同时又受到电场力的作用，而这两个力由于大小、方向都不变，所以在处理这类问题时常常会把带电粒子受到的重力和电场力先叠加为一个和复合场对应的力，这样就可使问题变得十分简洁明了。
同时在计算场的强度问题时一般要求产生场的物体（如地球或带电球体）要有较好的对称性，但实际问题中也会碰到产生场的物体没有一定的对称性，这时如果不用高等数学知识则一般只有通过巧妙利用叠加原理才能顺利求解。如求在球体内挖去一个偏心球体的铅球对球外质点的万有引力问题时，会遇到所用公式只适用于求质点之间或质量均匀分布的球体之间的万有引力的尴尬，这时如果将挖去部分先重新补全，同时又引入负质量（负质量的球体对球外质点的万有引力仍适用万有引力定律公式，只是此时不是引力而是斥力）概念，便可顺利求得结果。
例2 有一均匀带电球体，半径为R，球心为P，单位体积内带电荷量为ρ，现在球体内挖一球形空腔，空腔的球心为S，半径为R/2，且有PS=R/2，如图2所示。今有一带电荷量为q、质量为m的质点自L点（LS⊥PS）由静止开始沿空腔内壁滑动，不计摩擦和质点的重力，求质点滑动中速度的最大值。
解析：先将本题等效为一个球心在P点、半径为R、电荷体密度为+ρ的均匀带电球体和一个球心在S点、半径r=R/2、电荷体密度为-ρ的均匀带电球体的叠加，其结果正好在空腔球体部分电荷的体密度为零。
空腔内任意一点R的场强，可以看成大球单独存在时在此点产生的场强E+和小球单独存在时在此点产生的场强E_的矢量叠加，其中
这表明空腔球内的任意点的场强方向都一样，恒指向PS方向，大小都相等，因为PS=R/2，故
所以质点自C点静止释放以后运动至PS的延长线与球体的交点处速度最大，即
三、电流的叠加
电流的叠加则源于电工学中的电流叠加原理。该原理指出：在线性电路中，如果有多个线性独立电源同时存在，则每一元件中的电压或电流等于每个电源单独存在时产生的电压或电流的代数和。
在对称网络中应用电流叠加法大体按如下模式：设原网络通过AB两点与电流源连接（如图3），将图3作等价变换如图4所示，再依据叠加原理将图分解为两种模式的叠加，如图5所示。
例3 半径为R的薄壁导电球由连在A、B两点上的（AO⊥BO，O点是球心）两根细导线接到直流电源上（下页图6）。通过电源电流为
。问在球面上C点处（OC⊥OA，OC⊥OB）电荷朝什么方向运动？若在C点附近球面上作两个小标志，使它们相距为R/1000，其连线垂直电荷运动方向。问总电流中有多大部分通过这两标志之连线。
解析：首先研究电源与球非常简单的连接，接在球的“两极”上（图7）。显然，通过“中纬线”上相距△l很小的两标志间的电流为
现在将两个这样的电源接在球上（图8）：一个接在“两极”上，另一个接在“中纬线”的两个端点上。因而在C点电流等于沿两个互相垂直方向流动的电流的矢量和。但是这个电流等于2倍所求的电流。
最后得到，球面上已给定的两个标志之间的电流
方向与“中纬线”成45°。
本题通过引入另外一路电流，使本来不对称的问题变得十分对称。
四、运动的叠加
运动的叠加是因为物体在某一方向上的分运动不会受其他方向上分运动的影响，即可以将一个复杂的运动先分解为几个比较简单的分运动，确定相应的物理量之间的关系后再进行叠加，如不计重力的带电粒子斜射入匀强磁场中，可将速度分解为平行于磁场方向的
和垂直磁场方向的
，由于粒子只受垂直纸面方向洛伦兹力的作用，故粒子的实际运动可以认为是垂直磁场方向的速度大小的匀速圆周运动和沿磁场方向以作匀速直线运动的叠加，结果是粒子的运动轨迹为等距螺旋线。
例4 如图9所示，在空间有一个方向与水平面平行（且垂直纸面向里）的足够大的匀强磁场B的区域。在磁场区域中有a、b两点，相距为s，ab连线在水平面上且与B垂直，一质量为m、电量为q（q＞0）的粒子以
的初速度对着b点射出，为了使粒子能经过b点，试问可取什么值？
五、微元叠加
从数学上来说，微元叠加实际上就是积分，但涉及微元叠加的许多物理问题可以不借助积分公式，通过让某些微元的适当叠加达到将变量变恒量的目的，从而方便求得最终结果。
例5 如下页图10所示，质量为m的小车以恒定速率v沿半径为R的竖直圆环轨道运动，已知动摩擦因数为μ，试求小车从轨道最低点运动到最高点过程中，摩擦力做的功。
解析：建立图示坐标系，先讨论小车经过关于x轴对称的A、B两点处的情况。在这两位置受力如图11所示，根据牛顿定律有
再讨论相对于点A、B有微小位移△l（对应圆心角为△α）时克服摩擦力做的功，因为△l=R△α，故
本题中的微元叠加，使变量α消失了，从而达到顺利求解的作用。
六、结构叠加
物体的结构形状如果不对称，有时就不能直接利用相关的物理定理或物理公式解题，这时如果通过一定的结构叠加，可起到柳暗花明又一村的特殊作用。
例6 求两个非导体半球之间的相互作用力。它们的半径分别为R和r，带电量分别为Q和q（均匀分布在半球面上）。两半球的球心及最大横截面重合（如图12所示）。
解析：如图13所示表示对于带同种电荷两半球受力的方向。如果对系统补加半径为R、带电量为Q的半球，如图14所示，那么小半球所受力将变为零，因为均匀带电球体内部没有电场。由此可见，大球左、右两半部分对小半球作用力F的大小相等，而方向相反。
现在对小半球补加半径为r、带电量为q的半球（图15）。从上述推导可知，带电量为q的两个半球对带电量为Q的半球的作用力大小和方向相同，于是带电量为2q、半径为r的球对大半球的作用力等于2F。小球电场在大半球面处电场强度（图16）等于
下面再看一个例题，它综合运用了结构叠加，电流叠加和力的叠加等相关知识。
解析：网络中电流分布可标明如图19所示，它等效为图20中两个网络电流的叠加，因此，图19网络电流所受的安培力就等于图20中两个网络电流所受安培力之和。图20中小网络，即闭合电流cdef在匀强磁场中所受安培力为零，图20中大网络所受安培力则等于该网络中电流为
的虚直线ad所受的安培力，其中
。
故
。
从以上几例可以看出，巧用叠加原理，有时可使难度较大的问题大大地被简化，或者解出利用高中数学知识所不能求出的问题。但必须注意，只有符合独立作用原理的，才能进行叠加处理，如果拆开来与合起来的情况不同，则不能应用叠加原理。