高考解析几何综合题究竟应该怎样命题，本文主要内容关键词为：解析几何论文,命题论文,综合题论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
如今，每一年的高考下来，全国就会出现近40份数学文理科试卷，综合研究这些试卷，基本上呈现标准化样式，各试题总体上符合考试大纲的要求或在课本教学范围之内，唯独圆锥曲线试题，形式五彩缤纷，标准、观点不一，褒贬有之，百家争鸣.
一、对考纲的要求及近年来命题情况综述
考纲阐述：
（1）了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
（2）掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单的几何性质.
（3）了解双曲线的定义.掌握双曲线的几何图形和标准方程，理解它的简单几何性质.
（4）能解决直线与椭圆、抛物线的位置关系等问题.
（5）理解数形结合的思想.
（6）了解圆锥曲线的简单的应用.
根据平面解析几何学科的特点，一个学生学习了该学科后，他们达到的知识层面有三种可能：第一层面（绝大多数学生属于这个层面）就是只会用坐标来表示点，用方程来表示曲线，对该学科规定的常用曲线会阐述它们的几何图形和标准方程，及描述它们的简单几何性质；第二层面，对一般的曲线会用怎样的代数方式来描述，进而会表述各种位置关系和数量关系等内容；第三层面，就是面对陌生的较难的几何问题时，在试用平面几何方法还无法解决后，会想到建立平面直角坐标系，用代数方法来解决，这要求对数学方方面面的知识有着雄厚的基础，解决过程能反映出解析几何知识的掌握已经到了完美的程度.
从考纲来看，满足了前三点要求还只是达到了笔者所说的粗浅层面要求，是一般高考试卷选择填空等圆锥曲线试题所呈现的、或者是综合试题中第一个小题所要解决的；考纲中后三点的要求就有点模糊了，不同的人就有不同的理解，可高可低，空间比较大，高考命题者难以把握，仁者见仁、智者见智，这也成了圆锥曲线命题五彩缤纷的原因.
针对后三点的要求，圆锥曲线命题就形成在不同的年段不同的风格或潮流.2003年前以轨迹探究为主要形式.2004年后，以向量为语言或运算工具的渗透，一股与向量交汇命题之风便盛行起来，这其中便形成了既定的解题套路，将直线与圆锥曲线方程联立，使用韦达定理，将向量式翻译成坐标表示式——代入韦达定理——推理——得出结论——还原几何结论.这一阶段，还有一股曲线特征（性质）探究风潮.如对圆锥曲线的切线（切点弦）的研究；一些省份甚至以经典几何中的定理入题，如蝴蝶定理、彭色列闭形定理、阿波罗尼斯圆等问题等，应该说各具特色，其中的经典定理的翻新考查令人拍案叫绝，特别是江西卷一直在不断变换花样，每一年都在经典几何中披沥着那些饶有兴趣的定理.自2007年开始的新课标地区的命题，对于解析几何的考核进行了积极而有意义的尝试，其中，最核心的思想是更注重考查考生在数形结合思想基础上的图形探究能力，强化自主探究，淡化数值推理运算.形式上严格按照新课标的要求，对圆锥曲线部分突出了定义和图形、几何性质的研究，强调多曲线的综合，显化了直线和圆的位置关系.
由于多数情况下，圆锥曲线的命题格式化，教师对学生的考前辅导也呈现了“格式化”：格式一，由于运算量大、计算繁难、数据处理技巧性强，又是压轴题的身份，绝大多数考生得分低，老师多会善意提醒：真做不了就果断放弃，腾出时间去攻克前面的中档题，以牺牲解析几何换取其他题目的解题时间和分数.格式二，圆锥曲线与直线的结合，总离不开以下固定的解题程序——联立直线和圆锥曲线方程、化简成关于x或y的一元二次方程，Δ＞0或Δ≥0求解参数的取值范围，韦达定理求弦长，一般情况下，正确求解到此，就可以拿得题目的一大半分数了.
对于高考圆锥曲线部分究竟应该怎样命题，杂志上现在讨论的也不多，笔者列举了四个高考不恰当的试题来剖析高考解析几何综合题究竟应该怎样命题.为了能充分表达笔者的观点和内容的系统性，对于每一个例题的常规解答方法都呈上，致使文章偏长，请谅解.
二、一个考查重心偏移的试题
试题评价 （1）说实话粗看起来这个试题还是不错的试题，符合魏本义、黄安成老师提出的“活、宽、易”的三个原则；所谓“活”，就是该试题在处理h的最小值时，“出其不意”地将h的另一个范围用检验方法舍去；所谓“宽”，就是该试题思路常规，解题入口准确，是一般的圆锥曲线试题的样式，一般的学生不会走错，给学生创造了更多的成功机会；所谓“易”，只要达到了第二层面的学生也能拿下大半的分数（大概8分左右）.
（2）作为高考试题，语言的表达应该通俗流畅，不应该使考生理解题意出现困难.很多考生反应“题意的理解很吃力！”.所以笔者认为把题中“当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时”的表达应该改为：对于一定范围内的h，存在点P，使得线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等.这样，所要解决的问题可改为“求h的范围”.
（3）这个试题也是有点“害人的”！因为具有第二层面水平的学生基本上都已经到了标记③步或标记④步，但是，他们是不甘心歇步，因为后面要求的是求h最小值，且h关于t的函数形式是明朗的、常见的，试题的位置又是倒数第二题（倒数第二题对于高水平的学生预期来说是要做出来的），这样又不知不觉花了很多时间，但结论是很不满意的，甚至是错误的.
到这里，这些学生就再也无法（继续）下去了，可他们还是不甘心这样结束，还要再纠缠一下，浪费了很多时间.
所以，h的又一个取值范围是（-
，. ⑥
由④、⑥联合的条件是充要的，所以h的正确取值范围是［1，）；当h=1时，代入方程①可得t=-1.
这样，所求的h最小值是1，且h的取值范围是［1，）.
上面顺其自然的解法，有四个难点要突破，即会解这个四次不等式、知道双曲线函数的性质（尤其是单调性）、会判断两个无理效的大小范围、会进行无理数的正确运算.但这样的解答量实在太大，不是该试题所在的位置能接受的，也不能被高考考纲所欢迎，更不是98%的考生能实现的.
（4）由上分析不难明白，真的要把这个试题做完整（其实对数学高水平的学生来说也是很困难），从时间上来说绝大多数还是花在后半截代数问题的解决上，且大多是无效的花费；这是一个知识点分布、思维难度、解答时间的重心都落在代数部分的试题了，所以是一个很不恰当的试题.不过，本试题如果作为最后一道压轴试题，既照顾了圆锥曲线知识，又照顾了代数等综合知识，是一道很不错的试题.
三、一个过分简单的试题
（Ⅱ）证明：tanα，tanβ，tanγ构成等比数列.
试题评价 （1）董海涛老师对试题做了高度的评价，也指出了该试题在安徽省引起了“解析几何怎么能这样考”的轩然大波；并指出“解答本题要重视方程与函数的思想、数形结合的思想的应用，这才是解析几何教学的本源.”这个“解析几何教学的本源”真的是这样吗？
（2）初读这个试题，总感觉少了一点什么，有点如鲠在喉，没有什么好的味道；细细体会，豁然明白，如果把该试题作为高二椭圆部分新授课后的一个课外练习题或例题，或作为用于毕业会考的试题是很不错的，但作为一份省级理科高考试卷的倒数第二题分量还是有点欠重.
（3）这个试题最多是考查了会对曲线用代数方式来描述，从方程能看出曲线具有怎样的几何关系，怎样来表述各种位置关系和数量关系；试题所反映的考查要求充其量是达到笔者上面所说的第二层面的知识水平；所以这个试题过分简单，是很不恰当的.
四、一个相当繁杂的试题
2007年上海的“果圆”问题耐人寻味，各地模拟试题及各类大型考试相继出现了合成曲线的有关问题，有的学者说是“百花园里的奇葩”，真的吗？这类题设计难度较大，能成为高考试题的凤毛麟角，因此2009和2010年高考解析几何以合成曲线为背景的试题少之甚少，笔者认为这类试题是很不恰当的！
例3 （2009年湖南理20题，共13分）在平面直角坐标系xOy中，点P到点F（3，0）的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和记为d.当点P运动时，d恒等于点P的横坐标与18之和.
（I）求点P的轨迹C；
（Ⅱ）设过点F的直线l与轨迹C相交于M，N两点，求线段MN长度的最大值.
常规解 （I）设点P的坐标为（x，y），则
若直线l的斜率k存在，则直线l的方程为y=k（x-3）.
试题评价 （1）诚然，此题从多个角度来看都是一个优秀的解析几何综合题，通俗精练的试题表述、直观常见的几何条件、清晰平淡的求解目标、娴熟常规的解析几何方法选取与切入、对圆锥曲线主流知识的恰当检查、数形直观帮助的必要介入、基本的代数方法与知识的必然运用等都说明了该试题能出色实现考纲所要求的考查目的，具备了第三层面水平的考生尽管可能没有完整的结果，但还是能获取大多的分数.
（2）固然，对创新意识的考查，主要通过创设新颖的问题情境、构造有一定深度和广度的数学问题来实现；“合成曲线”形式是比较新颖，是近年高考解析几何题的新宠.此题不同于其他试题，曲线是以共焦点的椭圆与抛物线合成得到的，这使得当-2
＜k＜2时求线段MN的长度发生了困难，利用放缩的思想求线段MN的最值是最巧妙的方法，成了本题的难点，有的教师认为也是亮点之一.它真的是亮点吗？
（3）笔者说它是“一个相当繁杂的试题”有三点理由.
其一，一般学生当发现是“合成曲线”的时候，就有畏难情绪，产生放弃念头的不在少数.影响了试题的解答及得分率的提高，无法真实检查考生的实际数学水平.
其二，在-2＜k＜2时，运用放缩思想须要有三点准备：第一，需要画出一个十分准确的直观图象，由图象直观地感觉到此时的MN长度小于AE的长度，这是思维“急转弯”的基础；第二，在k≤-2或k≥2时有
成立，等号成立当且仅当k=±2时，而k=±2时就是AE等两条直线，这里要求考生有刻意的感觉，也就是考生应该有一个预期的判断——目标所求的最大值应该就是它；第三，在以上两点基础上，需要严格放缩的过程.根据我多年的教学经验和对学生的了解，这样的考生是凤毛麟角的.
其三，显然，此题的分类讨论情况复杂.
五、一个平面几何化了的试题
平面解析几何问题毕竟也是平面几何范畴的问题，有许多圆锥曲线试题可以用平面几何方法来解决或者说若用平面几何方法解决更简单一点，这样的试题作为高考试题能行吗？
此试题是典型的抛物线焦点弦问题，一般经验告诉考生，平面几何方法是首选方法.
平面几何方法解 （I）由抛物线的定义得
由（Ⅰ）的结论，得
试题评价 （1）这里的两部分都充分利用了抛物线的定义和平面几何知识，通过两组三个角对应相等，结合平角的意义给出几何证明方法，回避了代数中对应关系寻求和烦琐运算，证得很“优雅”，几乎没有计算量.
（2）这个试题满足了考纲的要求吗？没有的，从直观层面来说，它最多考查了一个考生会阅读这个曲线（抛物线）用代数形式所描述的几何条件、抛物线的定义以及焦点弦有关的性质.由于教学时发散性思维和综合能力的培养需要，数学老师对抛物线的焦点弦相关知识教学或多或少涉及平面几何的方法，这样，考生在解决这个试题时用平面几何方法是无可非议的，问题出在命题老师身上，试卷命题时要回避这个可能；话说回来，一个考生会像上述这样去解答，他（她）的解析几何基础与能力绝对不会很差的，可高考毕竟是最严肃的考试，命题就应该遵循“规规矩矩”的原则；至于用解析几何方法解决的考生，他们的解析几何能力才得到了实实在在的检查.
笔者以上面四个有不恰当成分的试题为例，解读了合理的圆锥曲线试题应该所包含的因素与成分，希望引起读者的共鸣.