双曲线背景压轴题的命制及思考，本文主要内容关键词为：双曲线论文,背景论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
数学课程标准在课程总体目标中明确提出了“四基”：基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验.在继承我国数学教育注重“双基”传统的同时，突出了培养学生创新精神和实践能力的改革方向，这也是中考命题必须遵循的准则.近年来，各地中考试题的压轴题普遍设置以运动变化为背景，利用函数刻画动态几何图形的综合问题，具有较好的区分度.动点问题集代数、几何知识于一体，综合考查学生利用函数模型解决图形变化问题的能力.
一、试题呈现
题目 （2012年江苏省徐州卷第28题）如图1，直线y=x+b（b＞4）与x轴、y轴分别相交于点A、B，与反比例函数y=-
的图象相交于点C、D（点C在点D的左侧），⊙O是以CD长为半径的圆.CE//Ox，DE//Oy，CE与DE相交于点E.
（1）△CED是________三角形，点C的坐标为________，点D的坐标为________（用含有b的代数式表示）.
（2）b为何值时，点E在⊙O上？
（3）随着b取值的逐渐增大，直线y=x+b与⊙O有哪些位置关系？求出相应b的取值范围.
二、命题过程
1.题干研究
双曲线命制试题主要在于双曲线一点可定，如果仅由此来设计压轴题显得很单薄，如果结合二次函数的图象即抛物线，图形的组合显乱，所以一次函数的图象（直线）便进入了笔者的思考范围，直线命制试题主要是两点可定.根据反比例函数图象——双曲线，结合动一次函数的图象——直线的构想，在《几何画板》中不断调试，发现反比例函数y=-的图象从各个方面都比较符合笔者的意图，直线如何选取呢？双曲线是轴对称图形，双曲线的对称轴有两条：直线y=x和直线y=-x，而且这两条直线是学生最熟悉的两条正比例函数图象.由于反比例函数y=-的比例系数为负，显然一次函数直线y=kx+b的比例系数取正，这样图形组合比较美观，结合反比例函数图象的对称轴，比例系数取1，得一次函数y=x+b.在《几何画板》中，笔者绘制了反比例函数y=-的图象，然后绘制了一次函数y=x的图象，在x轴上取了一个动点B，度量其横坐标，把横坐标的标签修改为b，过点B绘制一次函数y=x的图象的平行线，得到一次函数y=x+b的图象，即直线y=x+b.拖动点B，随着b的取值的改变，得到一组平行线.以静止的双曲线y=-结合运动的直线y=x+b的位置关系探索，是此题设计的出发点.但是仅仅由平移的直线和静止的双曲线来命题显得有些单薄，命制的过程中，拖动直线，观察图象的变化，观察到当b=4和b=-4时直线y=x+b与双曲线y=-只有一个交点；当-4＜b＜4时，两个图象没有交点；当b＞4或b＜-4时，直线y=x+b与双曲线y=-有两个交点.当b＞4时，即图中显示的点C与点D.笔者把目光锁定在线段CD上，看着变化的线段CD，笔者又把目光落在了坐标原点O处，希望两者能够建立一个关系，思考了一段时间，在《几何画板》软件中拖动直线，窗口左侧的工具栏中符号“⊙”给笔者带来了灵感：以原点O为圆心、线段CD长为半径可以出现动圆（圆心固定、半径随着b的取值的改变而改变），这是第一阶段设计.
2.第（1）小题研究
第（1）小题参考解答
3.第（2）小题研究
在第（3）小题之前设置了第（2）小题：b为何值时，点E在⊙O上？这样设置的目的是凸显点E的重要性.点E承上启下，必须解决点E的坐标.而点E的坐标可以由点C的坐标和点D的坐标顺延得到，此题精妙之处在于点E的横坐标与纵坐标互为相反数，也就是说点E到∠AOB两边的距离相等，也就是说点E在∠AOB的平分线上，进而得到两个45°角，再进而得到两个全等的等腰梯形，使问题得以顺畅解决.与第（1）小题中求两点的纵坐标相同，如何确定点E在⊙O上，有的学生会利用点E的坐标结合勾股定理求出线段OE的长，此时OE的长就是半径r，结合图形得到
，然后得到一个关于b的3次方程.但这样求解非常麻烦.少数初三教师喜欢把高中的一些方法教给学生，以为这样可以很好地解决中考压轴题.这种做法对少数接受能力强的学生可以讲，但是同时最好要教给学生探索的过程，不能直接教给他们结论，一定要教给学生方法，即推导的过程，数学化的过程，教师的任务是引导和帮助学生去进行再创造的工作，而不是把现成的知识灌输给学生.如果不这么做，最好不要把高中知识教给学生.
当然，如果学生能考虑到利用对称性来解决问题，再结合合情推理，也是非常好的事情.在平时的教学中，教师往往比较注重引领学生对几何图形的轴对称性和中心对称性进行研究.而该问题的解决就需要充分利用图形的对称性，再结合相似便可以顺利解决.
第（2）小题参考解答
方法1：当点E在⊙O上时，如图2，连接OE，
则OE=CD.
因为直线y=x+b与x轴、y轴相交于点A（-b,0）、B（0,b）,CE//Ox,DE//Oy,
所以△CED、△AOB是等腰直角三角形.
所以点E在∠AOB的平分线上.
所以OE平分∠AOB，即∠AOE=∠BOE=45°.
因为CE//Ox，DE//Oy，
所以四边形CAOE、OEDB为等腰梯形.
所以OE=AC=BD.
因为OE=CD，
所以OE=AC=BD=CD.
过点C作CF⊥Ox，垂足为点F，
方法2：当点E在⊙O上时，如图3，连接OE.
可知OE=CD.
易知△AOB是等腰直角三角形.
从而∠BAO=∠ABO=45°.
所以点E在∠AOB的平分线上，即AOE=∠BOE=45°.
因为CE//Ox，DE//Oy，
所以四边形CAOE、EOBD为等腰梯形.
则OE=AC，OE=BD.
又因为OE=CD，
所以AB=3AC=30E.
作高EF，在△EFO中，EF=OE·sin45°.
方法3：当点E在⊙O上时，如图4，连接OE.
则OE=CD.
因为直线y=x+b与x轴、y轴相交于点A（-b，0），B（0，b），CE//Ox，DE//Oy，
所以△CED、△AOB是等腰直角三角形.
4.第（3）小题研究
此题命题的特点在于结合了直线与双曲线，则构成了三动点变化，使题目具有较大的变化性.另外双曲线、直线、圆也使三个图形增加了图形位置的变化.第（2）小题考查了点和圆的位置关系，在圆知识部分的教学时，师生们都曾深入学习直线和圆的位置关系.当然，在教学时，师生们研究了定直线和动圆的位置关系，也研究了定圆和动直线的位置关系，此题考查了动直线和动圆的位置关系.不论如何，研究直线和圆的位置关系只需比较圆心到直线的距离和半径的大小.第（3）小题首先要处理解决问题的主要矛盾是判断直线和圆的位置关系，应该立即想到圆心到直线的距离和半径的大小关系进行比较，所以求出半径和圆心到直线的距离是必需的.应该说方向很明确，图中的三角形已经有两个了，而且都是等腰直角三角形，根据其特殊的性质，特别是其中等腰Rt△CED的斜边就是半径，在已知里已经明确给出，利用三角函数或者勾股定理可以求出，圆心到直线的距离是等腰Rt△AOB斜边上的高或者说中线，很自然的也和b建立了联系，当然这需要学生具备较强的综合能力.
第（3）小题的参考解答
方法1：如图6，过点O作等腰Rt△AOB的高OG，
则△BGO为等腰直角三角形.
方法2：当⊙O与直线y=x+b相切于点G时，如图7，连接OG.
则直线y=-x是函数y=-、直线y=x+b、等腰Rt△CED、等腰Rt△AOB及⊙O的公共对称轴.
所以点O、G、E在对称轴直线y=-x上.
方法3：当⊙O与直线y=x+b相切于点G时，如图7，连接OG.
直线y=-x是函数y=-、直线y=x+b、等腰Rt△CED、等腰Rt△AOB及⊙O的公共对称轴.
所以点O、G、E在对称轴直线y=-x上.
此题命制过程中，命题组力争做到表述简洁、梯度合理、巧设问题串，立意高远，努力将其打造为一道有意义的压轴题.此题涉及的知识点有一次函数、反比例函数、方程组、一元二次方程、等腰三角形、直角三角形、三角函数、勾股定理、角平分线性质定理的逆定理、等腰梯形、圆、点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系的判定、对称性、相似等.既涉及演绎推理，又离不开合情推理，注重“过程”和“数学思想方法”.解决此题的关键是要能敏锐观察到图形的对称性（点E是题目中的画龙点睛之点，动但又“静”），这也是此题的一大亮点.一静（双曲线），一动（b的取值的改变），多跟随（线段CD、等腰直角三角形、等腰梯形、圆等）.同时，有明有暗，离不开辅助线，此题注重突出图形的形成过程，注重突出图形的性质、判别图形条件的探索过程，在有限的时空内，让学生经历“观察、操作——猜想、探索—说理（有条理地表达）”的认识过程，促进学生对数学知识与方法的真正理解和运用.
中考压轴题命题，设计恰当的考查问题，组成问题串，促成学生对数学知识与方法的真正理解和运用，命题者对试题蕴含的数学本质进行深入挖掘，使得试题既贴近生活又极具“数学味”，具有良好的教育导向功能.
标签：双曲线论文; 图形推理论文; 数学论文; 思考方法论文; 反比例函数论文; 直角三角形论文; 几何画板论文; 一次函数论文;