一题多解是指对同一数学问题的结论可以由多种途径获得，从不同角度、不同思路，运用不同的方法和不同的运算过程，解答同一道数学问题。教学实践告诉我们，一题多解有利于加强学生的思维训练，教学中，积极、适宜地进行一题多解的训练，有利于充分调动学生思维的积极性，提高学生综合运用已学知识解答数学问题的技能和技巧；有利于锻炼学生思维的灵活性，促进学生知识与智慧的增长；有利于开拓学生的思路，引导学生灵活地掌握知识之间的联系，培养和发挥学生的创造性，是培养学生思维的敏捷性，提高学生的变通能力与综合运用数学知识的行之有效的方法, 对促进学生智能和思维的发展，能起到意想不到的教学效果。然而，许多的时候，我们在完成了一题多解的的教学过程后，往往就嘎然而止，缺少对问题更多的深入发掘和数学思想的提炼，从而使教学效果大打折扣。下面谈谈我对数学思想提炼的一些想法。
例如，某体通过教师的启发引导，得到了四种不同的解法.完成了一题多解后甲、乙两位教师的后续部分是这样的：
教师甲：这道题目我们的同学用了多种不同的解法，非常好，许多的几何题目都可以用多种方法来解，希望同学们能养成一题多解的解题习惯，这对我们提高数学解题能力很有帮助。
教师乙：这道题目我们的同学用了多种不同的解法，非常好。那么同学们想一想，这些不同的解法背后，有没有什么共同的地方呢？请思考后，谈谈你的想法。
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两个星期后的测试：
甲教师所教班级：正确率32℅，其中用三种及以上方法解答的学生占11℅，两种方法的占12.5℅，一种方法的占8.5℅；
乙教师所教学班级：正确率92℅，其中用三种及以上方法解答的学生占30.5℅，两种方法的占28℅，一种方法的占43.5℅；
解题的方法中，乙教师所教学班级学生，方法明显多于甲所教学班级。
结果分析：
教师乙所教学班级进行了数学本质——“化归思想”的显化提炼；化归即转化的意思，是指将有待解决或未解决的问题，通过转化过程，归结为一类已经解决或较易解决的问题中去，以求得解决。客观事物是不断发展变化的，事物之间的相互联系和转化，是现实世界的普遍规律。数学中充满了矛盾，如已知和未知、复杂和简单、熟悉和陌生、困难和容易等，实现这些矛盾的转化，化未知为已知，化复杂为简单，化陌生为熟悉，化困难为容易，是化归的思想实质。任何数学问题的解决过程，都是一个未知向已知转化的过程，是一个等价转化的过程。化归是基本而典型的数学思想。教师乙在一题多解之后，进行了更为重要的数学思想的提炼，这才是一题多解教学的真正目的和意义所在。通过总结归纳，思想提炼，使外在的数学方法，转化成为内隐的数学能力，从而达到对数学知识的融会贯通，问题解决的触类旁通。而甲教师缺少了这一环节，仅停留在“一题多解”的操作层面和“化归”的渗透阶段，学生对知识和方法的理解掌握仅仅停留在表面形式，方法如果没有思想作为灵魂，就只能是一种机械的“操作手册”，当问题的形式发生改变的时候，就很难进行应用与创新。
在这一问题中，前25%左右的学生摆脱了对“弧相等得角相等”情境的依赖，对化归思想的灵魂——把未知问题转化成已知问题有了更深的认识（内隐学习）；但65%左右的学生对当初化归为“弧相等得角相等”有直接的依赖，停留在原来的水平上，没有表现出认知水平的提升（外显学习）。后10%左右的情况表明思想方法的提炼需要知识基础；而思想方法的提炼可以提高中等学生的数学能力，关键在于教师要提供设计“从内隐到外显”的逻辑通道的机会。
启示：数学学习离不开解题，一题多解、变式教学是对数学知识理解、掌握和应用的一种很有效的教学手段，但是这些都只是一种操作手段，真正的本质是通过这一手段，提炼数学思想，把对知识的理解从简单的记忆、表面的形式，转化成为内在的能力。什么是有效教学？它应该包含三重意涵：有效果、有效率、有效益；而最终的目的是有效益；一题多解、变式教学只是有效果、有效率，数学思想才是真正的有效益。作为教师，在解题后经常引导学生反思、归纳和整理数学知识，提炼数学思想方法，才能使学生更扎实、更透彻、更灵活地掌握知识，更为有效地对数学知识进行应用和创新，也才能理性地学习数学，培养学生的理性思维能力；才能真正的实现引领学生从愿学到乐学再到会学的飞跃，为学生终身的发展打好坚实的基础。
论文作者:吴叶
论文发表刊物:《少年智力开发报》2014-2015学年第9期供稿
论文发表时间:2015-6-17
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