山东省栖霞市实验中学 265300
对于三角形的中位线与梯形的中位线定理，学生初学时感觉很容易，但是题型一复杂，就令学生眼花缭乱，应接不暇，至于添加辅助线就更吃力了。与中点有关的几何问题，是初中数学的重要题型，除了线段的中点的定义，我们又学过很多与中点有关的重要结论，当问题中出现中点的条件时，除了用等量代换或倍长中线法构造全等三角形以外，还要从以下两个大方面寻找突破口。
一、粗定位中点线段的大身份
分析中点线段是在三角形中还是在梯形中，若在三角形中就要考虑到三角形的中位线与中线；若在梯形中就要考虑到梯形的中位线与三角形的中位线。
二、细定位中点线段的小身份
1.中点线段在三角形中要识别好三角形的身份
（1）当中点线段是等腰三角形的底时首要考虑的是等腰三角形的三线合一。
（2）当中点线段是直角三角形的斜边时，首要考虑斜边上的中线等于斜边的一半。
（3）当中点线段在普通三角形中时，除了用等量代换或倍长中线法构造全等三角形以外，还要考虑取另外一边或两边的中点，利用中位线解决问题。如下图，在△ABC中，AB=AC，M，N分别是AB，AC的中点，D，E为BC上的点，连接DN，EM。若AB=13cm，BC=10cm，DE=5cm，求图中阴影部分的面积。
分析：连接MN，根据中位线定理，可得出MN=DE=5cm；图中阴影部分的面积就是图中三个三角形的面积，由图可知，这三个三角形的底相等都是5cm，这三个三角形的高之和是从A点到BC的垂线段的长，利用勾股定理可求得高的值，据此可求出图中阴影部分的面积。
解答：连接MN。∵M，N分别是AB，AC的中点，∴MN是△ABC的中位线，∴MN∥BC，且MN= BC=5cm；过点A作AF⊥BC于F。则AF⊥MN，AF=12cm（勾股定理）。∵图中阴影部分的三个三角形的底长都是5cm，且高的和为12cm；∴S阴影= ×5×12=30cm2。
点评：本题主要考查了中位线定理、等腰三角形的性质等知识，综合性较强。解答此题时，根据三角形中位线定理推知AF是图中阴影部分的三个三角形的底长都是5cm，且高的和为12cm是难点。
2.中点线段在梯形中要识别是腰还是底的身份
（1）当中点线段是梯形中腰的中点时考虑梯形的中位线或三角形的中位线。如右上图：在梯形ABCD中，CD∥AB，点F在AB上。CF=BF，且CE⊥BC交AD于E，连接EF。已知EF⊥CE，
①若CF=10，CE=8，求BC的长。
②若点E是AD的中点，求证：AF+DC=BF。
①首先过点F作FH⊥BC于点H，由CE⊥BC，EF⊥CE，可得四边形CEFH是矩形，然后由勾股定理求得EF的长，继而由等腰三角形的性质求得答案。
②首先连接EH，由矩形的性质，易得EG是梯形ADCF的中位线，GH是△BCF的中位线，继而证得结论。
解答：①过点F作FH⊥BC于点H，∵CE⊥BC，EF⊥CE，∴四边形CEFH是矩形，∴CH=EF，在Rt△CEF中，CF=10，CE=8，∴EF=6，∴CH=6，∵CF=BF，∴BC=2CH=12。
②连接EH，交CF于点G，∵四边形CEFH是矩形，∴CG=GF，EG=GH，∴EG是梯形ADCF的中位线，GH是△BCF的中位线，∴EG= （AF+DC），GH= BF，∴AF+DC=BF。
点评：此题考查了梯形中位线的性质、三角形中位线的性质以及矩形的判定与性质。此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用。
（2）当中点线段是梯形中底的中点时考虑梯形的中位线或三角形的中位线。如下图，在梯形ABCD中，AB∥CD，M、N分别为CD、AB中点，且MN⊥AB。梯形ABCD一定为等腰梯形，请说明理由。
分析：连接AM、BM，先证明△AMN≌△BMN，再证明△ADM≌△BCM即可证明。
解答：连接AM、BM，∵N为AB中点，∴AN=BN，
又∵MN⊥AB，∴AM=BM，∠AMN=∠BMN，∵M为CD中点，∴CM=DM，又∵AM=BM，∴∠MAB=∠MBA，
又∵DC∥AB，∴∠MAB=∠AMD，∠MBA=∠BMC，∴∠AMD=∠BMC，
∴△ADM≌△BCM，∴AD=BC，∴梯形ABCD为等腰梯形。
点评：本题考查了等腰梯形的判定及全等三角形的判定与性质，难度一般，关键是连接AM、BM，证明三角形全等。
虽然这部分知识的学习是个难点，但是如果学生能掌握以上方法，仔细理顺，定能发现只要能定位准确中点的身份，就能拨开云雾，柳暗花明。
论文作者:郭英凤
论文发表刊物:《素质教育》2016年1月总第193期供稿
论文发表时间:2016/3/16
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