解题走向积累经验——“折纸中的数学问题”一课的思与行，本文主要内容关键词为：一课论文,走向论文,数学论文,经验论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
【课前思考】
数学基本活动经验其实由来已久，《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》中就有这样的一句话：获得适应社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识（包括数学事实、数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要的应用技能.但是，当时虽然“数学活动经验”一词已写入课标，却只是作为“重要数学知识”的一部分.在《义务教育数学课程标准（2011年版）》中，数学基本活动经验与基础知识、基本技能、基本思想一起被称为“四基”，四者居于同等地位，可见，数学基本活动经验的重要性得到了凸显.
在这样的背景下，关于数学基本活动经验的讨论自然成了一个热点话题，什么是数学基本活动经验、怎样积累数学基本活动经验等等.众说纷纭中，较为统一的理解是：为学生提供足够的时间和空间，使之经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程，进而获得或积累一定的解决问题的策略和方法.由此展开的研究也已经取得了一定的成果.不过，这些研究基本是基于新知教学层面的，对“在练习课中如何帮助学生积累数学基本活动经验”的研究相对来说就比较滞后.
正是基于上述理解，近段时间笔者开始关注数学练习课中的“基本活动经验”问题.下面就以“折纸中的数学问题”一课为例来谈在实践中的点滴思考.
在人教版教材五年级下册第142页中，有这样一道习题：
不仅仅是人教版教材，在其他版本的教材中，也有这样的内容.例如浙教版教材五年级下册第110页的一道习题：
据了解，人教版教材上的这道习题，一般教学流程就是“解题”，即读题计算——交流反馈——得到答案.也有教师略有改变，即以浙教版教材的形式进行教学，借助几个数据引导学生进行对比，得到“容积最大”这个知识.种种教法，学生虽然都经历了一定的体验过程，但都以“获得知识”为最终目标，基本活动经验的积累明显不足.为此，笔者对这一习题的教学进行了重新设计，在丰富过程的同时，更期望实现数学练习课教学由“纯粹解题”走向“经验积累”.
【课堂实践】
课前布置学生在一张边长为20厘米的正方形纸的4个角上各剪去一个边长是整厘米数的小正方形（如下图）.课上让学生折一折，得到无盖长方体形状的纸盒.
师：这个纸盒有什么奥秘呢？同学们，今天我们就来研究折纸中的数学问题.
（一）探索表面积的特点
1.思考表面积最大的情况
课件出示第一个研究问题：当小正方形边长为整厘米数时，怎么剪，折成的纸盒表面积最大？
学生独立观察思考后小组交流，然后反馈.
师：谁有结论了？来向大家介绍一下自己的想法.
生：当剪去的小正方形边长为1厘米时，这个纸盒的表面积最大.因为剪去的越少，剩下的就越多.
生：我也认为当剪去的小正方形边长为1厘米时，这个纸盒的表面积最大.因为我发现折成的无盖纸盒的表面积，也就是5个面的面积和就等于原来的正方形面积减去剪掉的部分.所以要使纸盒的表面积最大，只要让剪去的部分最小就可以了.
达成共识：剪掉的小正方形边长是1厘米时，纸盒的表面积最大.
2.计算表面积
师：想象一下这个纸盒（图1）会是什么样子的呢？你能不能描述一下？
生：会是扁扁的.
生：高很短，但是底面积较大.
课件演示，如图2.
师：那么它的表面积到底是多少呢？你能不能把它算出来.
3.反馈算法并理解
反馈第一种算法：18×1×4+18×18=396（平方厘米）.
请学生解释这样算的道理，结合课件理解18和1代表什么？
反馈第二种算法：20×20-1×1×4=396（平方厘米）.
请学生解释这样算的道理，结合课件理解20和1代表什么？
师：用你喜欢的方法算算自己折出来的盒子的表面积，同桌比比看，谁的表面积大？
学生计算，反馈，板书剪掉的小正方形边长是2厘米、3厘米、4厘米时的情况.
师：同学们，我不想写了，你现在有什么想说的？
生：越来越小.
师：边长剪到几厘米时，折成的无盖长方体表面积最小？（有人说10厘米，有人说9厘米）
师：到底是10厘米还是9厘米，谁来说理由？
生：我认为10是不行的.如果剪掉4个边长为10厘米的正方形，那就把这张纸全部剪光了.
师：他说全部剪光了，请你想象一下，是这样吗？
课件支撑理解，如下图.
小结：剪掉的小正方形是整厘米时，一共有9种不同剪法，小正方形边长为1厘米时，表面积最大，小正方形边长为9厘米时，表面积最小.
课件出示剪掉边长9厘米时的情况，口算出面积是76平方厘米.
（二）探索容积的特点
1.容积猜想
课件出示第二个研究问题：剪掉的小正方形边长是1厘米时，折成的纸盒容积是多少？
学生独立计算后反馈，板书学生的算式：18×18×1=324（立方厘米）.
师：通过计算，我们已经知道，当剪去的小正方形的边长为1厘米时，得到的纸盒的表面积最大.那么，现在它的容积是不是所有情况中最大的呢？（请学生仔细观察一下，静静思考后反馈）
生：我认为是最大的，因为表面积最大，所以我想它的容积也是最大的.
师：好像有点道理，有没有别的想法？
生：我觉得不应该是最大，因为这时候，纸盒的高只有1厘米，容积不可能是最大.我觉得应该是剪去的小正方形边长为9厘米时，纸盒的高最大，容积最大.
师：听起来好像也有道理啊.
生：不对不对，我刚才口算了一下，这时候，纸盒的容积是2×2×9=36（立方厘米），简直是太小了.
生：我知道原因了，因为纸盒的高虽然最大，但是这时候的长和宽是最小的，所以容积很小.
生：应该是中间的时候，长、宽、高最接近的时候，容积最大.
生：对的，当长、宽、高最接近时，也就是分别为6厘米、6厘米、7厘米时，容积最大.
生：不对了，这样算出来容积只有252立方厘米，比第一种情况还小.（一阵唏嘘之后，教室里是一片寂静）
师：到底什么时候容积最大？我们有什么办法能彻底解决呢？
全班学生齐声应道：算算看！
师：那就随你们了，算一算，找一找.
2.计算分析
学生计算，反馈交流.
生：当剪去的小正方形边长为3厘米时，纸盒的容积最大，是14×14×3=588（立方厘米）.
板书容积最大时的长、宽、高及容积，并借机板书其他情况.得出结论：当剪掉的小正方形边长是3厘米的时候，容积最大.
（三）小结学习经验
师：你有没有猜对？刚才我们都没猜对，现在知道答案了吗？有什么想要说的？
生：刚才我没猜对.现在我发现同样是这个纸盒，它的表面积和容积的变化是不一样的.
生：我也没猜对，现在我觉得对于一些数学问题我们不能轻易下结论，有时需要完整地进行计算才行.
生：凭感觉、想当然有时与实际相差很大，实践才是检验真理的唯一标准.
师（小结）：对啊，这些都是学习中宝贵的经验.
【课后反思】
整堂课，围绕“怎样剪，纸盒表面积最大”“什么时候容积最大”两个问题展开探究，一方面这样的探究进一步巩固了学生对长方体特征的认识，巩固了表面积、容积的计算；另一方面在探索表面积和容积的变化规律的过程中，积累了观察、猜想、计算、分析等数学活动经验.可以看出，学生的体验是深刻的，学习过程中学生展现出了丰富多彩的、富有个性的认识，已有经验与新问题的认知冲突明显.回顾整个过程，笔者认为最大的改变还是在于练习课中学生从“单纯解题”走向了“活动探究”，由此，也产生了三点实践体会.
（一）设计任务驱动，让学生乐于接受挑战
只有创设真实的数学情境，设计富有挑战性的问题，学生才会主动探究，积累经验.练习课亦是如此.因此在本堂课中创设了折纸这样一个学生比较感兴趣的数学情境，并设计了两大任务驱动：怎么剪，折成的纸盒表面积最大？怎么剪，折成的纸盒容积最大？本堂课就围绕这两个问题展开学习.
在第一个问题驱动下，学生完成了对无盖长方体纸盒的特征、它的表面积与正方形纸面积之间的关系以及表面积变化的规律的探究.对于第二个问题学生更是表现出了极大的热情，依据已有经验进行了个性化的思考、观察、猜测、计算、分析，得出结论.认知冲突、思维碰撞随处可见，整个过程充满着头脑风暴.正所谓不破不立，新的活动经验就这样在打破已有经验的基础上形成了.
（二）给予时间空间，让学生充分展开思辨
给学生提供足够的时间和空间，尊重学生的个性特点，使学生有时间去思考，有空间去交流，在自我探索和互动中完成知识的重新建构，积累学习的经验.比如在探索容积变化特点的这一环节中，教师首先抛出了一个问题：在9种剪法中，第一种剪法，表面积是最大的，那你猜猜看，它的容积是不是最大？为什么？
然后引导学生仔细地观察、静静地思考.其间，教师一直在边上耐心等待.在交流的时候，又给予了足够的时间，让学生展开互动.有学生认为这种情况是最大的，因为表面积最大，所以它的容积也是最大的.此时教师并没有去作裁判，只是淡淡地说了一句：好像有点道理哦，有没有别的想法？引导学生进一步思考与交流.于是有学生就提出：我觉得不应该是最大，因为这时候，纸盒的高只有1厘米，容积不可能是最大.我觉得应该是剪去的小正方形边长为9厘米时，纸盒的高最大，容积最大.这时又有学生发现问题了：不对不对，我刚才口算了一下，这时候纸盒的容积是2×2×9=36立方厘米.简直是太小了.也不对！那到底什么时候容积最大？带着这样的困惑随即引发了新一轮思考.有学生说：我知道原因了，因为纸盒的高虽然最大，但是这时候的长和宽是最小的，所以容积很小.又有学生提出来长、宽、高最接近时，也就是分别为6厘米、6厘米、7厘米时，容积最大.但是这个观点提出不到5秒钟，又被否定了：这样算出来容积只有252立方厘米，比第一种情况还小.到底怎么办才能找到正确的答案？异口同声：算！在这一过程中，每一个学生都进行了个性化的思考、判断，在思维碰撞中不断地去重新猜测、验证，最后统一认识：还需通过计算才能找到答案.整个过程中，学生的思维暴露无遗，体验相当深刻，经验得到了积累.
（三）适时总结回顾，让学生从反思中提升经验
回顾与反思犹如绘画中的点睛之笔.在回顾与反思中，原有的体验会得以强化，原本的一些模糊的认识也会随之清晰而明朗.比如在上述教学实践的最后一个环节中，通过总结与回顾，有学生就意识到原本猜想长、宽、高接近时，容积最大，那是因为以前研究过当棱长总和一定时，有这样一个规律.现在这个前提变了，所以这个规律也就不成立了.通过反思，不仅巩固了今天的发现，还对以往研究的规律有了进一步的认识，深刻地体会到了随着事物的变化会出现一些新的特点和规律.也有学生说道：凭感觉、想当然有时与实际相差很大，实践才是检验真理的唯一标准.可以看出他已经意识到了在学习过程中需要打破凭感觉、想当然的思维方式，要建立起实践验证的学习策略.
由此看来，适时地进行总结与回顾，引导学生对学习过程进行反思，可以更好地形成学习的方法与策略，让学习经验得到升华.