应用极值理论计算在险价值(VaR)——对恒生指数的实证分析，本文主要内容关键词为：恒生指数论文,极值论文,实证论文,理论论文,价值论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
中图分类号：F830.91
文献标识码：A
引言
金融机构面临着多种风险，例如市场风险、信贷风险、流动性风险、操作风险等等。每一种风险都处理不同的导致金融机构资金损失的风险因子。如今，在一个崭新的全球金融体系中，市场风险尤为重要，理应受到更多的重视。为了减少市场风险对金融机构的影响，一个好的度量市场风险的方法首当其冲，然后我们才能够采取有效的手段管理市场风险。按照国际清算银行(BIS)的要求，银行和其它金融机构已经开始在遵循管制的基础上度量其面临的市场风险，这导致了一个全球一致的度量市场风险的概念——在险价值(VaR)。从金融机构的立场来看，VaR可以被定义为“在一定的期间内，在一定的置信水平（如95%）下，一个金融头寸所面临的最大的潜在损失”。
不幸的是，虽然迄今为止已有很多种计算VaR的模型形成，但是没有一个大家一致公认的最好的方法。现在有三种普遍使用的方法：Risk-Metrics，历史模拟方法和蒙特卡罗模拟方法。Morgan提出的Risk Metrics方法被广泛使用。这种方法假设所有的价格服从联合对数正态分布，关键部分是一个要求每天更新的方差－协方差矩阵，所以这种方法也被称为方差－协方差方法。它的主要缺点在于：资本回报的分布往往是重尾的，并不是对数正态分布[1]。因此，大额的资本损失发生的频率要比方差－协方差方法所预测的高。第二种方法历史模拟方法并不作出正态分布假设，而是对资本组合的价格变化的历史记录进行排序，这样一来1%或5%置信水平的损失就可以直接找出来。它的主要缺点是在测试VaR对不同的假设和时间区间的敏感程度方面缺乏灵活性。第三种方法蒙特卡罗模拟方法能够结合历史数据和具体情景产生一个利润和损失的组合，从这一组合来确定在给定的置信水平下的VaR值。它的主要缺点是其模型的输入和对计算的要求方面的主观性[2,3]。有关以上各模型的长处和不足的详细讨论，请参考文献[4～6]。
以上三种方法计算出的VaR值是一个基准值，当我们考虑到分布的尾时，要计算最大可能损失则以上方法就显得力不从心了。分布的尾反映的是潜在的灾难性事件导致的金融机构的重大损失，这正是风险管理者和金融机构监管者注重的地方。比如1987年10月发生的美国股票市场崩盘，1992年9月欧洲货币体系的瓦解和1997年开始的亚洲金融危机是金融业和风险管理中的中心议题。因此，如何处理像这样的极端事件在风险管理中极其重要。基于这一点，最近学术界关于VaR的研究转向了给极端事件的风险建模。Longin[7]考察了美国股票市场的极端变动，用到了超过一个世纪之久（1885～1990年）的每日观察值，用统计学中的极值理论给市场回报的极端变动建模，开辟了将极值理论用于风险管理的先河。从那以后，一些学者将这一方法用于其它股票市场，得到了很好的结果。Longin[8]系统而详细地介绍了用极值理论计算VaR的方法。Ho等人[9]应用这一方法研究了处于最近的亚洲金融危机中的六个亚洲国家和地区的股票市场，包括台湾、日本、韩国、泰国、马来西亚和印度尼西亚。
在统计上，一个随机过程的极值指的是在给定的时间区间上的极大极小值。极值方法注重价格或回报分布的尾部而不是整个分布。极值理论给出了一些关于极值回报的统计分布的有趣结果，其中尤其是极值回报的极限分布与回报本身的分布相互独立，这是一个极其有用的结论，从本文的以下部分可以看到。本文使用香港联交所的恒生指数每日回报，用极值方法计算VaR。香港市场在国际金融市场中扮演着极其重要的角色，很具有代表性，而以前这一方法的研究从未涉及过香港市场，所以本文的研究具有重要的意义。
一、极值理论
极值理论是次序统计理论的一个分支，1943年Gnedenko[10]建立了著名的极值定理。Gumbel[11]于1958年出版的一书将这一学科的研究作了系统的总结。本文这部分将阐述关于极值的精确的和渐近的分布。
为了叙述方便，我们采用以下符号：
R为指数回报变量。R[,1],R[,2],…,R[,n]是第1,2,…,n天的观察值。
F[,R](r)=P[,r]（R≤r），表示变量R的累积分布函数。
X[,n]为n个交易日观察到的最小回报值。
X[,n,1]为前n个观察值R[,1],R[,2],…,R[,n]中得到的最小值；X[,n,2]为接着n个观察值R[,n+1],R[,n+2],…,R[,2n]中得到的最小值；从总共nN个观察值中，可得到N个最小值，它们是X[,n,1],X[,n,2],…,X[,n,N]。类似的，也可以得到N个最大值。
（一）精确结果
假设变量R的值是相互独立的，且来自于同一分布F[,R]，则最小值的精确分布为
在实际中，回报的分布事先并不知道，因此，最小值的精确分布也无法知道。从(1)式可以看出，当n趋于无穷时，X[,n]的极限分布是收敛的，
=0。为了找到其极限分布，X[,n]需要用规模参数α[,n]和位置参数β[,n]标准化，以使得X[*]=(X[,n]-β[,n])/α[,n]是非收敛的。这里，α[,n]和β[,n]都是正数。
（二）极值定理
Gnedenko[10]证明了标准化后的极值存在极限分布，具有以下三种形式之一：
Gumble分布（类1）
这里τ同样是尾指数，它决定了分布的种类：当τ<0时，对应Frechet分布，τ>0对应Weibull分布，τ=0对应Gumbel分布。Gumbel分布可以看作是Frechet分布与Weibull分布之间的过渡，因为当τ趋于0时， (1+τx)[1/τ]趋于e[x]。对于很小的τ值，Frechet和Weibull分布很接近于Gumbel分布。在风险管理领域，我们主要感兴趣的是Frechet分布，因为这一类分布是由重尾的母分布得到的，拟合金融数据相当好。
这些理论上的结论表明了极值定理的一般性：所有不同的回报分布都有相同的极限分布，区别仅在于分布参数不同。这是极值方法用于计算VaR时较之于其它方法（如方差－协方差方法）最大的优点。
（三）参数估计
有多种方法来估计这三个参数：α[,n],β[,n],τ。第一种称为参数方法，假设极值就是来自于这个渐近分布。通常有两种参数方法：极大似然方法和回归方法。第二种方法称为非参数方法，直接对母变量进行尾估计，并不假设极值来自于这个渐近分布，如Hill估计。在这些方法中，极大似然方法的使用最为广泛，因为极大似然估计具有良好的大样本性质：无偏性、一致性和有效性。本文就用极大似然方法来估计以上三个参数，从而确定极值的渐近分布。
从(5)式给出的广义极值分布我们可以得到标准化的极值变量X[*]=(X[,n]-β[,n])/α[,n]的概率密度函数为
于是，三个参数的极大似然估计便可以得到。
二、实证分析
（一）数据描述
本文研究所用的香港联交所的恒生指数从Datastream数据库获得，所用数据覆盖的时间段是从1985年1月1日到1999年12月31日，共有3914个交易日，3913个每日对数回报（注：①对数回报(logarithmic return)即R[,t]=ln(P[,t]/P[,t-1])，关于股票市场的研究通常用对数回报，而不用百分比回报R[,t]=(P[,t]-P[,t-1])/P[,t]。）。由于这一区间包括了1997年的香港回归这一历史事件和始于1997年的亚洲金融危机，所以这一时间段的香港股票市场具有代表性。
（二）正态性检验
我们计算出恒生指数的每日对数回报的概括性统计量，均值是0.0677%，标准差是1.779%，斜度是-3.815，这一值表明回报的分布不是对称的。峰度是85.635，说明这一分布是重尾的。另外，JB统计量（注：JB统计量用来检验一个分布是否是正态的。）是1205138.689，这个数值相当大，足以证明这一分布与正态分布相差甚远，因此，用方差－协方差方法计算出的VaR值将严重低估真实的市场风险，尤其是在很高的置信水平下（超过95%的置信水平）。
（三）极值方法
根据Longin[8]提出的步骤，用极值理论估计VaR值包括五步。第一步是回报频率的选择，由于这里研究的是股票指数，所以用每日回报。
第二步是子区间长度的选择，即用来从中找出极大极小值的回报的个数。为了找出极大极小值序列，将样本覆盖的整个时间区间T分成若干个不重叠的子区间，每个子区间有n个观察值。这样找出的极小值个数取决于子区间长度的选择和样本大小。Christoffersen等[13]建议子区间长度选为10至15个交易日。Longin对标准普尔500指数的研究用的是一个月的长度（21个交易日）。本文选用10和20个交易日的区间长度来分别考虑，然后对基于不同子区间长度计算出来的VaR值作一个比较。
第三步是选择极大极小值序列。从最初的n个回报值R[,1],R[,2],…,R[,n]中找出最小值，记为X[,n,1]；从接着的n个观察值R[,n+1],R[,n+2],…,R[,2n]中找出最小值X[,n,2]；如此下去，从T(T=nN)个观察值中，可以得到N个最小值，构成极小值序列X[,n,1],X[,n,2],…,X[,n,N]。同样的方法可以得到极大值序列，记为｛Y[,n,i],i=1,…,N｝。如果T不是n的整数倍，则舍去样本中的最初几个值，使得剩下样本的总数T是n的整数倍。
第四步是估计极大极小值序列的极限分布的参数值。我们用上一步中选出的N个值做极大似然估计，估计的结果列在表1中。
表1 恒生指数的对数回报的广义极值分布的参数估计
位置参数β 规模参数α尾指数τ
组A：极大值序列
n=10,N=391 1.5865(0.0446) 0.8387(0.0372) -0.2434(0.0094)
n=20,N=1952.0411(0.0653)
0.8651(0.0584) -0.3198(0.0180)
组B：极小值序列
n=10,N=391-1.3427(0.0528) 0.9983(0.0431) -0.1015(0.0042)
n=20,N=195-1.0428(0.0784) 1.0428(0.0682) -0.2184(0.0128)
注：数据覆盖的时间段从1985年1月1日至1999年120月31日，估计的标准差列在括号中。
从以上结果我们发现，位置参数随着子区间长度的变大而变大。20天的子区间对应的β值比10天的子区间对应的β值大30%。极大值序列对应的β值比极小值序列对应的β值的绝对值要大。类似的，更大的子区间长度对应的规模参数值也更大。但是，极大值序列的α值比极小值序列的要小。
刻画极值的极限分布更为重要的参数是尾指数。从以上结果看出，不管是极大值序列还是极小值序列，所有的尾指数估计都是负值，证明了此极限分布对应Frechet分布。这一结果与以前关于股票回报数据的研究结果相一致（参见文献[7～9,14,15]）。而且，在相同的子区间长度下，极大值序列的尾指数比极小值序列的尾指数更为负，这表明极大值的分布比极小值的分布具有更重的尾。
最后一步是用广义极值分布来计算VaR，用极大值序列得到的VaR对应于短期的头寸(Short position)，而用极小值序列得到的VaR值对应于长期的头寸(long position)。根据标准化的极大值序列的广义极值分布，我们得到
其中α，β，τ是从极大值序列得到的参数估计值，p是最大回报不超过VaR的概率，同时，p是置信水平，可以是95%、99%等等。于是，不同置信水平下的VaR值可以简单地算出来。
类似的，长期头寸的VaR值可以用极小值序列的广义极值分布算出来。我们有
于是得到
其中α，β，τ，是从极小值序列得到的估计，p是最小回报大于VaR的概率。以上公式算出来的值是负数，但是我们通常所说的VaR是正数，因此我们取以上值的相反数为通常意义的VaR。
长期和短期头寸的95%和99% VaR值列在表2中。
表2 极大极小值的广义极值分布得到的VaR值（分别在95%和99%置信水平下）
95% VaR
99% VaR
短期头寸（极大值序列）
n=10
5.24
8.7
n=20
6.33 11.1
长期头寸（极小值序列）
n=10
4.8 7.2
n=20
5.4 9.3
注：以上VaR值都是一天的VaR。
通过对以上结果的比较，我们发现以下三点：(1)不管是长期头寸还是短期头寸，20天的子区间长度对应的VaR值要大于10天的子区间对应的VaR值。据此我们推断，VaR值随着子区间长度的增大而增大。因此，子区间长度的选取在实际操作中是一个重要的问题。(2)给定相同的子区间长度和置信水平，极小值序列的VaR要大于极大值序列的VaR，香港的市场如此，但并不是所有的市场都如此。在Ho[9]对亚洲六个市场的研究结果中，韩国、日本和马来西亚与香港一样，但其它三个市场情况正好相反。(3)99% VaR比95% VaR要大得多，这是合理的，因为99%的置信水平比95%的置信水平更保守一些。
另外，我们可以将极值方法与含有正态性假设的方差－协方差方法进行比较，我们只考虑长期头寸，短期头寸类似的考虑。用方差－协方差方法算出来的95% VaR是2.94，99% VaR是4.15，这比相同置信水平下的极值方法算出来的VaR要小得多，几乎是其一半。这证明了在有重尾出现的情况下假设正态分布是有问题的：有正态假设的VaR严重低估了真实的市场风险。同时也说明了极值方法比方差－协方差方法更保守。从另一方面来说，极值方法并不受银行家的欢迎，因为，如果将极值方法作为银行内部模型的话，则风险管理的资本金要求几乎是方差－协方差方法的资本金的两倍，银行要保留更多的资本金，则降低了利润，这当然是银行家不情愿的。因此，银行不愿意将极值方法作为内部模型，故极值方法的应用在实际中受到了挑战。当然对于银行监管部门来说，极值方法是很安全的一种方法，关键在于监管部门如何来控制银行去做。
三、含义和结论
本文利用极值理论来计算一个市场头寸的VaR，对香港恒生指数进行实证分析，发现了与其它研究相似的结果，说明这一方法具有普遍性。对于香港市场的这一研究具有以下含义：
(1)恒生指数的历史回报分布远远偏离正态。实证研究表明其真实的分布具有重尾，因为具有负的斜度和很大的峰度。这一现象可以用亚洲金融危机和香港回归中国的事件来解释。既然香港市场如此动荡，那么要重视分布的尾部而不是整个分布是显然的，用极值方法来计算市场风险更有意义。
(2)恒生指数回报的极大极小值序列的广义极值分布具有负的尾指数，这表明其极限分布是Frechet型的，这与其它关于金融市场的研究是一致的。
(3)在具有重尾分布的市场，用极值方法算得的VaR值比传统的方法如方差－协方差方法得的VaR值大得多，这由香港的市场证明为正确。
(4)与方差－协方差方法相比，极值方法不需要对回报的分布做出假设，而是让数据说话，来拟合分布的尾，因此建模的风险减少了。这是极值方法最大的优点。如果用正态分布或其它分布假设，则分布的尾部难以拟合得很好。
(5)由于极值方法是参数方法，所以样本外的VaR计算在很高的置信水平下也是可行的，而历史模拟方法由于观察值太少在这种情况下就不可行。
但是，极值方法在实际应用中存在障碍，由于用这种方法算得的VaR比其它方法如方差－协方差方法算得的VaR大得多，所以银行不情愿用这种方法作为内部模型来决定资本金要求。然而，既然极值方法是保守的，那么对于波动较大的市场用这一方法是很有意义的。
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