摘要：将基坑开挖面以下的隧道假设为弹性地基梁，建立埋深和位移影响下的被动地基模量，在此基础上计算隧道位于基坑正下方和侧下方的附加应力，并以此建立隧道的竖向变形理论模型。
关键词：卸载；弹性地基梁；附加应力；变形
1. 考虑埋深影响的位移作用下被动地基模量
俞剑[1]基于Winkler地基模型的位移控制分析方法，将自由土体位移作为外部荷载即被动位移施加于管线上，管线与土体的相互作用采用Winkler地基弹簧模拟。传统方法中，一般利用Vesic公式得到弹簧常数。在基于弹性理论的推导中，Vesic公式的前提条件是弹性地基梁置于弹性半空间地表，竖向集中力或弯矩置于梁的中心位置，这与管线有一定埋深和位移的实际情况有所区别，为考虑这两种因素对Winkler地基模型的影响，提出了考虑埋深影响的位移作用下地基模量的理论公式：
参数：h-埋深，B-梁宽，E-土体弹性模量，ν-土体泊松比，EbI-梁的截面抗弯刚度。
2. 隧道位于基坑正下方时所受的附加应力计算
计算隧道的附加应力，选用 Mindlin 理论进行计算。
Mindlin理论的基本假设如下[2]:(1)土体是均质的弹性半空间体;(2)基坑坑底的荷载为开挖土体的自重，简化为方向向上均布荷载;(3)不考虑基坑的时空效应;(4)不考虑隧道对土体的反作用;(5)不考虑支护结构等对附加应力的影响。
基于 Mindlin 理论的计算模型是把基坑简化为在基坑上方的均布荷载，把基坑看作长为L、宽为 B、深为 H 的六面体，在均布荷载 q 作用下，下方隧道与基坑距离z0、隧道纵轴线与荷载平面平行、与荷载轴线成а角，如下图。
图1.基坑简化模型
根据 Mindlin 理论的，土体任意一点(x，y，z)处，在作用在土体的集中力 Q 下，其竖向附加应力σz为:
其中，ν为泊松比。
根据计算模型，把基坑的均布荷载代入上式，求得隧道上的任意一点(x，y，z0)的附加应力。在均布荷载的作用力下，隧道轴线的竖向附加应力σz为[3]
对于上式各个积分，采用五节点的 Gauss-Legendre公式进行积分[4]，得到
各式中，积分系数如下：ω=[0.2369 0.4786 0.5689 0.4786 0.2369]。节点系数如下：s=t=[-0.9062 -0.5385 0 0.5385 0.9062]。代入即可求得在隧道上任一点的卸荷附加应力。
图2.基坑与隧道相对位置图
3. 隧道在基坑侧下方时的附加应力计算
张治国[5]设立计算模型：：在隧道附近有一深度为d 、长度为L、宽度为B的基坑，基坑 4个侧壁分别编号为①、②、③和④，基坑中心与隧道轴线距离为L0 ，隧道埋深为z0，外径为D，如图2所示。
由于基坑内土体在开挖前，不但对坑底土体施加竖直方向的大小为γd(γ为土体重度）的矩形均布荷载，而且对四周基坑侧壁土体施加水平方向的大小为 K0γz（K0为静止土压力系数）的三角形分布荷载，因此，在坑内土体开挖卸载后，坑底和四周坑壁分别施加上述等值反向的荷载。
为研究问题方便，现在地表面(z=0)处以矩形荷载范围中心为原点建立坐标系。由 Mindlin 基本解，隧道轴线上某一点 (x1，L0，z0)在坑底矩形均布荷载中某点(ξ，η)上单位力pdξdη ( p=ϒd)作用下，引起隧道轴线方向上的竖向附加应力
为
式中：
为坑底面积上积分区域；
为土体泊松比。
由Mindlin基本解，隧道轴线上某一点（x0，L0，z0）在编号为①的基坑侧壁三角形分布荷载中某点(η，τ)上单位力qdηdτ( q=K0ϒτ)作用下，引起的隧道轴线方向上的竖向附加应力
为
通过Gauss-Legendre数值积分方法进行计算。式中：
为编号为①侧壁面积上积分区域；静止土压力系数K0可通过室内或原位静止侧压力试验测定，在缺乏试验资料时可用经验公式进行估算。砂性土:K0=1-sinφ；黏性土K0= 0.95-sin φ；超固结黏土K0= OCR(1-sinφ)，φ为土体有效内摩擦角，OCR为土体超固结比。
类似于
的推导可以得到，隧道轴线上某一点(x1，L0，z0) 在编号为②、③和④基坑 3 个侧壁三角形分布荷载中某点单位力作用下，引起的隧道轴线方向上的竖向附加应力
，
，
得到由于基坑开挖坑底和四周坑壁土体卸荷后作用在隧道上的附
加应力
：
4. 隧道的竖向变形
由于基坑在隧道的上方，对隧道主要造成是竖向的附加应力，隧道附近土体产生的位移主要是竖向的位移，因此可利用弹性地基梁理论，对隧道的竖向位移进行计算。弹性地基梁理论的基本假设如下[6]:(1)隧道和周围土体始终保持的紧密接触，没有产生土体脱体的现象;(2)隧道是由理想的均质线弹性材料的构成的;(3)周围土体也是线弹性的;(4)隧道的纵向看成无限长梁。
用 Winkler 弹性地基梁理论来描述表示压力p与地基的沉降量s关系，即:
式中：p-单位面积所受压力；k-地基弹性模量；s(x)-地基沉降量
将附加应力和隧道沉降量建立力学方程，可得弹性地基梁的挠曲微分方程：
式中：EI-隧道抗弯刚度；s(x)-隧道竖向位移；k-为考虑埋深影响的位移作用下的被动地基弹性模量；D-隧道外径
q(x)-竖向附加荷载，q(x)=σzD
求解，得到隧道的竖向位移：
将隧道位于基坑正下方和侧下方时所对应的附加应力代入上式，即可求得两种情况下所对应的隧道竖向位移。
参考文献
[1]俞剑，张陈蓉，黄茂松.被动状态下地埋管线的地基模量[J].岩石力学与工程学报，2012,31（1）：123-132
[2] Mindlin.R.D. Force at a Point in the interior of a semi-infinite solid. Jul Appl. Phys. 1936,Vol.7,No.5
[3] 陈郁,李永盛. 基坑开挖卸荷引起下卧隧道隆起的计算方法[J]. 地下空间与工程学报, 2005,1(1):91-94
[4] 青二春. 地铁隧道上方大面积卸载下的变形及控制模式研究[D]. 同济大学硕士论文, 2007
[5] 张治国，张孟喜.基坑开挖对邻近地铁隧道影响的两阶段分析方法[J]岩土力学，2011，32（7）：2085-2092
[6] 龙驭球. 弹性地基梁的计算[M]. 人民教育出版社, 1981
基金项目：浙江省教育厅科研项目（Y201534472）
论文作者:李晓珍,李卫平,朱锋盼
论文发表刊物:《基层建设》2019年第7期
论文发表时间:2019/6/25
标签：隧道论文; 基坑论文; 荷载论文; 地基论文; 应力论文; 位移论文; 弹性论文; 《基层建设》2019年第7期论文;