摘要：求极限是高等数学的三大运算之一。求极限的方法很多，本文根据学习的前后秩序，把教材涉及到求极限的所有方法进行了小结。
关键词：高等数学；极限运算
一、概述
高等数学是大学阶段最为重要也最难的一门数学公共基础课程，它是很多后继课程（如概率论与数理统计，大学物理，计量经济学等）的坚实基础。
本课程共分为12章，知识点繁多。总的来说，可以归纳为三个“中心”，即求极限、求导数、求积分。从这三个“中心”本身所用到的解题方法理论来看，以求极限的方法理论为最多，灵活且技巧性强。
另一方面，极限本身又是构建整个高等数学的基石。所以，学习极限知识，掌握求极限的一些常用的重要的方法与技巧是必要的。
二、高等数学求极限方法理论小结
极限知识的学习是从数列的极限开始的，以无穷级数中的一个必要条件定理为结束。具体来讲，高等数学上册，关于极限内容及求法，主要集中在第一章，有数列的极限，函数的极限，无穷小与无穷大，极限运算法则，极限存在准则，两个重要极限，无穷小的比较，函数的连续性，连续函数的运算与初等函数的连续性；第三章中有洛必达法则，泰勒公式；第五章中有利用定积分的定义求极限。而高等数学下册，在第12章第一节里，级数收敛的必要条件定理。
在求极限过程中，一般要对函数进行“恒等”变形，大致有：通分，约分，分子（分母）有理化，先求和，分子（分母）同时除以（乘以）等。
极限，是针对自变量的7种变化过程中的函数值的2种变化趋势而言的。数列，自变量趋向于正无穷大；函数，自变量趋向于某个常数，包括左右两侧；自变量趋向于无穷大，包括正无穷大，负无穷大。函数值的2种变化趋势：存在（为某个常数），不存在（特例，无穷大）。
下面，按照教程安排的先后秩序，把教程涉及到的求极限的所有方法理论小结如下（同时，对一些重要的方法理论加以说明）：
1.收敛数列与子数列的关系定理：若一个数列收敛于某个常数，则它的任意子数列必收敛于这个常数。同时，它也提供了判断数列发散（即极限不存在）的一种方法：若一个数列的某两个子数列收敛于两个不同的常数，则原数列发散。
2.利用左右极限：若左右极限存在并相等，则函数的极限存在且等于左（右）极限。否则，函数极限不存在（4种情况）。
3.函数极限与数列极限的关系定理；
4.无穷小与无穷大的关系定理：无穷大的倒数为无穷小，非0无穷小的倒数为无穷大。强调非0无穷小，因为0是可以作为无穷小的唯一的常数。
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5.有限个无穷小的和为无穷小；
6.无穷小与有界量的积为无穷小：这是一个使用频率较高的重要结论，我们要牢记，掌握。
7.和差积商的极限运算法则：注意在用商的极限运算法则时，要求分母的极限不为0。
8.复合函数的极限运算法则；
9.极限存在准则，两个重要极限：关于夹逼准则，其作用一方面求有关函数的极限，另一方面在于推导第一个重要极限。在这个重要极限中，我们要把握函数的特点：分子分母为无穷小，且互为正弦函数关系。关于单调收敛准则，其作用一方面求有关函数的极限，另一方面在于推导第二个重要极限。在这个重要极限中，我们也要把握函数的特点：1的无穷大次幂型，是以后学洛必达法则中的一种未定式；底数是1+无穷小，指数是底数部分那个无穷小的倒数。利用两次恒等变形，结合幂指函数的极限，这种函数的极限就比较简单了，甚至比以后的洛必达法则有时更简单。
10.利用等价无穷小求极限：这也是一个很重要的使用频率很高的方法。我们知道0与什何无穷小不等价，所以在局部等价的时候，不能有0的出现，同时还要验证整体是否也等价。要求我们熟记那些常用的等价无穷小。
11.函数的连续性；
12.连续函数的运算法则；
13.初等函数的连续性；
14.幂指函数的极限：这个在第二个重要极限中用到，比较好掌握。
15.利用洛必达法则：。有意思的事情是这个法则并不是洛必达本人提出来的，这个法则是针对自变量的6种变化过程中的7种未定式而言的，特别强调有关数列的未定式，不能直接用洛必达法则，先要构造一个相应的函数，对这个函数用洛必达法则，然后根据函数极限与数列极限的关系，再求出这个数列的极限。
16.利用带佩亚诺余项的麦克劳林公式求极限：这个一般在考研题中出现。
17.利用定积分的定义求极限；
18.利用级数收敛的必要条件定理求极限：这是整个的高等数最后一个与极限有关的定理。
三、本文小结
本文仅限于教材所介绍的求极限的方法理论，我们要逐一地掌握，尤其是那些重要的常用的方法理论，如无穷小与有界量的积为无穷小，利用等价无穷小求极限，利用洛必达法则求未定式的极限等，要多做习题，力求熟能生巧。这需要我们课后下苦功夫，如中学阶段学过的三角函数公式，我们要常复习巩固，因为以后要学习三角函数的不定积分，是不定积分中的的难点。当我们掌握了求极限的方法理论，就等于树立了信心，为我们学好高等数学，为啃下这块硬骨头，起着保驾护航的作用。
当然，更多的其他的求极限的方法理论，有待于我们自己在课外利用辅助书去学习，理解，勤做多练，最终达到为我所用之目的。
参考文献
[1]同济大学.高等数学（第七版）[M].北京:高等教育出版.2014,7..
作者简介：雷鸿（1971.06-），男，理学硕士，讲师，研究方向：数学教育。
论文作者:雷鸿
论文发表刊物:《知识-力量》2019年11月46期
论文发表时间:2019/10/18
标签：极限论文; 无穷小论文; 函数论文; 数列论文; 无穷大论文; 法则论文; 方法论文; 《知识-力量》2019年11月46期论文;