导数在经济学科中的应用
霍 奴 梅
(吕梁学院汾阳师范分校 数学系，山西 汾阳 032200)
摘 要： 介绍了导数的定义及其在经济学科的应用价值.对导数在经济学科中的边际分析和弹性分析方面的广泛应用进行了实例分析.
关键词： 导数；经济学科；边际分析；弹性分析
数学作为自然科学中的一门重要学科，在各学科中一直处于较高的地位，历来受到科学研究人员的推崇，很多自然科学的规律都是通过数学的推导与计算而得出的，因而数学也在社会各个行业中有着十分广泛的应用.在经济学的有关理论中，以数学微积分中导数理论的应用最为广泛.导数作为微积分学科中的重要数学概念之一，从18世纪中叶被创造至今，其理论系统的日臻完善带来的是对更多科学概念的优化阐释.导数作为描述自变量与因变量变化规律的一个概念，可以应用于很多学科中：如将其应用于物理学中，可以描述物体时间与位移的变化率，即速度；将其应用于几何学中，则可以很好地解释斜率这一概念.而利用导数解释一些更为抽象的概念也成了近年来导数理论发展的方向之一.将导数应用于经济学中，可以很好地解释很多边际经济学的概念.本文即讨论导数在经济学中的应用问题.
1 导数的定义及其在经济学中的主要应用
在高等数学的微积分学科中，对于导数采用如下定义：若函数f (x )在x 0的邻近区域内有定义，设x 在x 0处产生的微小增量Δx 对应的函数增量为Δy ，且
存在，则将这一极限的值称为f (x )在x 0处的导函数，即为f ′(x 0).这一数学定义表示的是f (x )在x 0处的变化率[1].
导数作为微积分学科中的重要内容之一，其在经济学及企业经营活动中的应用主要体现在对企业经营活动资金的有效管理上.企业经营人员利用导数可以找到企业受益于产品的最优化处理方式，既可避免因商品价格过高造成的产品滞销现象，又可避免因商品价格过低而产生的商品经营效益不佳问题，从而保证企业经营活动长期处于高受益与良性发展的状态中.
对反馈中发现的问题按指导教师和评价员集体的建设性意见修改，经准备后重新进行操作。重新操作后的反馈评价方法与上述评价方法相同。若第一次操作比较成功，则可不重新进行操作。
2 导数在边际分析中的应用
2.1 在边际成本方面的应用
若某产品的生产过程总成本函数为C =C (x )，这里的x 是该产品单位时间段内的产品量，而C 则是x 根据某种函数关系映射而得到的函数，其代表的是可变成本与固定成本的加和.当产量增加Δx ，即产量由x 变为x +Δx 时，C 的变化量即为ΔC ，这时可以求得成本总量的平均增长率为：
对这一公式的两边分别求极限，若等式仍然成立，即
则把这一极限式称作产量为x 情况下的边际成本，而C ′(x )则被称作边际成本函数[2].
由上述式子及极限的性质可以求出
这里的x 为Δx →0时的一个无限趋近于0的量，所以通常情况下认为，
但在实际经济活动中，产量x 变化的最小量仅可能为1，所以有C (x +1)-C (x )≈C ′(x ).
这个公式就是经济学意义上的边界成本定义的数学化表达，其文字表达是，在产品产量为x 的情况下，增加1个单位的产量所需增加的成本总量.这也可以理解为总成本与产量的变化率.
通过上述公式及定义，再结合导数的基本概念，可以得出两条结论：
(1)边际成本的变化仅取决于可变成本的变化，固定成本的变化不会对其产生影响.
(2)当某一产品的边际成本小于其单品售价时，仍可以对这一产品进行增产处理；而当该产品的边际成本大于其售价时，则不宜采用增产的处理方式，而应选取其他的产量调控方式，如提高产品的质量，降低生产成本等[3].
由表1可以得出，采用费控模式下营销活动只需要6天完成，较传统模式缩短了10天。因此费控策略的实施对于包头供电局加快电费回收，降低电费回收风险有着重要的意义。
解 根据边际成本函数的定义可得，C ′(x )=3x 2-12x +20，若想求其最小值，只需求这一函数的导数零点即可，即C ″(x )=6x -12=0，则求得该函数的唯一零点为x =2，所以其边际成本的最小值为C ′(2)=3×4-12×2+20=8.
Snow is light as feather in spring, less rain in summer and autumn.
2.2 在边际收入方面的应用
提炼研修主题，找准方向，定位目标。建设校本研修系统，首先根据研修主题组建研修团队。主要过程是：学校先确立对全校的教师具有指向性和引领性的研修主题；教研组根据学校的研修主题，依据本学科学情与教情提炼出有价值、有意义的教研组的研修主题；然后再将教研组的主题，分解成教师研修的分题，这样教研组在一个研修主题之下，便形成了一个有共同目标的研修团队，即研修组。
2.3 在边际利润方面的应用
若L (x )表示的是在产量/销量为x 的情况下的利润与x 的关系，则根据经济学常识，有L (x )=R (x )-C (x )，对其两边求导得，L ′(x )=R ′(x )-C ′(x )，L ′(x )即为边际利润函数.
通常在经济学问题中，对边际利润函数的讨论主要以利用这一函数求得产品的最大利润为主.当产品处于最大利润状态时，有L ′(x )=0，但它仅是利润函数取得最大值的条件之一.这是因为在函数的极值有关知识中，当某一函数的一阶导数有零点时，仅可说明函数在这一点时有极值，而无法确定其为极大值还是极小值，因此，若使利润函数在这一点上为最大值，则需L ″(x )<0，此时利润函数即为最大值.当然，若某一函数在定义域内仅存在唯一零点，一般也可将其直接判定为最大值取值点.
解 (1)因L (x )=R (x )-C (x )=-0.01x 2+5x -100，则边际利润函数L ′(x )=-0.02x +5，再将x =200,x =250及x =300分别代入，求得L ′(200)=1,L ′(250)=0,L ′(300)=-1.
例2 某食品厂生产一种食品的总成本函数与收入函数分别为C (x )=0.02x 2+2x +100和R (x )=0.01x 2+7x ，(1)求出边际利润函数及这一函数在产量为200 kg，250 kg，300 kg时的值，并解释其中的经济学意义.(2)求出这一食品单日获得最大利润适宜生产的产量及最大利润值.
高中化学知识不是孤立的存在，而是先后衔接，具有一定的逻辑性，教师可以将与新知有关的知识制作成微课，让学生课前预习的时候进行观看，这样既能帮助学生巩固旧知识，引出新知识，也能激发学生兴趣，顺利导入新知识的学习.比如在学习“混合物的分离与提纯”之前，教师可以将学生初中学过的过滤、蒸发相关内容做成微课，让学生预习的时候将已经掌握的知识进行回顾，从而引出混合物的分离与提纯的一般方法，为萃取和蒸馏的学习做好铺垫，激发了学生对新知识探究的兴趣.
这三个数值的经济学含义为：当每日产量为200 kg时，在此基础上每增加1 kg，利润总量将增加1元；当每日产量为250 kg时，在此基础上每增加1 kg，利润总量将不会变化；当每日产量为300 kg时，在此基础上每增加1 kg，利润总量反而会减少1元.
培根说：“读书足以怡情，足以博彩，足以长才。”阅读是人类获取知识的主要途径。而实际的阅读现状却令人担忧，相当一部分学生在某种程度上已失去了课外阅读，语文教学也普遍存在重视课文讲读忽视课外阅读指导的问题，这已给从事语文教育的人敲响了警钟。下面笔者就“引导初中学生进行有效的语文课外阅读”从以下几个方面略谈浅见。
(2)若求该食品的最大利润值，则应令L ′(x )=-0.02x +5=0，求得x =250.又因L ″(x )=-0.02<0，则可判定x =250时，L (x )取得最大值，最大值为L (250)=-0.01×2502+5×250-100=525，即该食品单日最大利润为525元.
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3 导数在弹性分析中的应用
3.1 经济学中弹性的含义
若函数f (x )在x 0的邻近区域内有定义，且f (x 0)≠0，若极限
存在，则将该极限的值记为函数f (x )在x 0处的弹性，通常记作
则可求出
若上述函数在(a ,b )区间内可导且不存在零点，则将
称作函数f (x )在区间(a ,b )内的弹性函数[5].
3.2 需求弹性的含义
若用Q 表示某一商品在销售市场的需求量，p 表示商品的价格，且二者构成的需求函数存在导函数，则将
称作该商品的需求弹性，记作ε p [6].
20世纪90年代，社会主义市场经济改革如火如荼，中科印刷的管理模式、配备，包括业务类型，也都发生了重大变化。
需求弹性对商品需求量与商品价格变动关系的经济学表达如下：
因此，当产品处于高弹性状态时，总收益的增加可以通过价格降低来实现，此时较少的利润将会带来较高的销量，从而使企业获得更高的利润.
若某产品的销售过程总收入函数为R =R (x )，这里的x 是该产品单位时间段内的产品销售量，而R 则是x 根据某种函数关系映射而得到的函数.当销售量增加Δx ，即销售量由x 变为x +Δx 时，R 的变化量即为ΔR ，这时就可以求得总收入的平均增长率为：
对这个公式的两边分别求极限，若等式依然成立，即
则把这一极限式称为销量x 情况下的边际收入，而R ′(x )则被称作边际收入函数.
(2)若ε p <-1时，商品需求量的变化情况比商品价格的变化情况更加明显，称为高弹性.
例1 若某一产品在产量为x 的情况下，总成本C (x )与产量x 的函数关系为C (x )=x 3-6x 2+20x ，求这一产品在x 情况下的最小边际成本.
根据经济学原理，商品价格上涨一定幅度时，其市场需求量将会有所下跌，需求函数通常呈现随价格增大而减小的趋势，因此ε p 的值通常为负值.所以在经济学研究中通常采用的是其绝对值|ε p |，即一个商品的需求弹性较大时，表明其绝对值较大.
(3)若ε p >-1时，商品需求量的变化情况不如商品价格的变化情况明显，称为低弹性.
3.3 在商品需求弹性与总收益关系中的应用
在商品的销售过程中，企业最为关注的是价格变化会给收益带来的影响.设商品销售总收益为R ，则有R =Qp .若此时对价格进行Δp 的改变，则有
(1)若ε p =-1时，商品需求量的变化情况与商品价格的变化情况相等，称为单位弹性.
当产品处于低弹性状态时，总收益的增加可以通过提高价格来实现，此时，就不应该选择产品低价路线，否则会适得其反，使总收益值降低.
当产品处于单位弹性状态时，价格的变动对于商品总收益的影响几乎为0，此时，提高价格或降低价格均不是提高总收益的理想方式，企业应选择其他方式来提高总收益[8].
例3 若某商品的需求函数为
试求：(1)该产品的需求弹性函数.(2)求当p =3，p =4，p =5时的需求弹性值，并阐述其经济学含义.
解
(2)当p =3时，ε p =-0.75>-1，此时商品处于低弹性状态，即商品价格每上涨1%时，商品的市场需求量下跌0.75%，说明此时提高价格将会增加商品的总收益.
2)通过仿真得到了X、Y、Z方向的切削力，通过铣削加工试验，获取铣削力数值并与仿真铣削力进行对比，验证了试验模型的准确性。为后续试验研究(加工效果，加工质量等)做好准备。
当p =4时，ε p =-1，此时商品处于单位弹性状态，即商品价格每上涨1%时，商品的市场需求量会下跌1%，说明此时提高价格与否将不会对商品总收益产生明显的影响.
任何企业的发展离不开人才，在企业中同样要培养信息人才，将信息人才作为企业发展的人才储备库。培养高素质的信息人才，无论是从信息技术方面，还是计算机的相关知识方面，都要定期对其进行培训，对人才展开针对性的培训体制，推动企业的信息化发展进程，培养一直综合素质较高的信息化人才队伍，为企业的未来发展奠定坚实的人才基础。
当p =5时，ε p =-1.25<-1，此时商品处于高弹性状态，即商品的价格每上涨1%时，商品的市场需求量将会下跌1.25%，说明此时提高价格将会降低商品的总收益.
4 结语
人类社会发展至今，商品的大量流通成为社会发展的重要动力之一，而由这些商品交换构成的经济活动也逐渐由一种人类活动发展为理论学科.利用导数对这些经济活动进行研究，不仅有利于经济活动参与者获得更高的经济收益，同时还能为其长期良性地处于经济活动范围内提供保障.在很多经济学理论中，都需要利用数学工具进行大量的推导，以表明其研究结论的真实、可信，这就对经济学科的相关人员提出了新的要求，即要在掌握经济理论知识的同时，夯实数学基础，使数学成为进行经济分析的得力工具.
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Applications of derivatives in economics
HUO Nu-mei
(Department of Mathematics, Lüliang College at Fenyang, Fenyang, Shanxi 032200, China)
Abstract: This paper introduces definitions of derivatives and the application values in economics, and gives marginal analysis as well as elasticity analysis in economics and extensive applications.
Key words: derivative; economics mathematics; marginal analysis; elasticity analysis
中图分类号： F0；O172
文献标志码： A
收稿日期： 2018-12-05
作者简介: 霍奴梅(1978-)，女，吕梁学院汾阳师范分校讲师，硕士，研究方向：数学分析及高等数学.
文章编号： 1009-4873(2019)04-0017-04
责任编辑：金 欣
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