借助函数概念的发展史引入函数概念，本文主要内容关键词为：函数论文,概念论文,发展史论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、函数概念的三种定义
函数一词是由莱布尼兹1673年最早引入的，用来表示任何一个随着曲线上的点变动而变动的量.例如，曲线上点的坐标、点的斜率、曲率半径等等.其后，伯努利把函数看作一个变量和一个常数组成的表达式.欧拉在伯努利之后把函数看做是含有变量和常数的任何方程和公式.不难看出，他们对函数的界定都没有跳出“表达式”的范围.
后来，人们又给出了这样的定义：“如果一个量依赖着另一个量，当后一个变化时前一个量也随着变化，那么第一个量称为第二个量的函数.”这个定义虽然还没有道出函数的本质，但是，却把变化、运动注入到函数定义中去，是可喜的进步.
1834年，俄国数学家罗巴切夫斯基提出函数的定义：“x的函数是这样的一个数，它对于每个x都有确定的值，并且随着x一起变化.函数值可以由解析式给出，也可以由一个条件给出，这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法.函数的这种依赖关系可以存在，但仍然是未知的.”这个定义跳出了“表达式”的框框，建立了变量与函数之间的对应关系，是对函数概念的一个重大发展，因为“对应”是函数概念的一种本质属性与核心部分.
1837年，德国数学家狄里克莱认为，怎样去建立x与y之间的关系无关紧要，所以他的定义是“如果对于x的每一个值，y总有完全确定的值与之对应，则y是x的函数.”
根据这个定义，即使像如下表述的，它仍然被说成是函数（狄里克莱函数）：
在这个函数中，如果x由0逐渐增大地取值，则f（x）忽0忽1.在无论怎样小的区间里，f（x）无限制地忽0忽1.因此，它很难用一个或几个式子来加以表示，甚至究竟能否找出表达式也是一个问题.但是，不管其能否用表达式表示，在狄里克莱的定义下，这个f（x）仍是一个函数.
狄里克莱的函数定义，出色地避免了以往函数定义中所有的关于依赖关系的描述，以完全清晰的方式为所有数学家所接受.至此，我们已经可以说，函数概念、函数的本质定义已经形成，这就是人们常说的经典函数定义，即函数的“变量说”.
到二十世纪初，取消了函数概念中变量只能为数的限制，突出了函数的本质特征——对应关系，用集合论的语言叙述为：若对集合M的任意元素x，总有集合N中确定的元素y与之对应，则称在集合M上定义一个函数，记为y=f（x）.元素x称为自变元，元素y称为因变元.这种定义方式叫做函数的“对应说”.
可是，这个定义中还存在着意义不明确的概念“对应”.因此，数学家们给出了十分形式化的定义.
我们看到，“变量说”自然、形象、直观，易于理解，但也有其缺陷一面：
（1）“变量说”对函数的实质——对应缺少充分的刻画，这是最致命的缺陷.究竟函数是指f，还是f（x），还是y=f（x）呢？
（2）“变量说”强调变量和变域——自变量和因变量、定义域和值域，而对对应规律却轻描淡写一笔带过.
例如，容易误解
（恒等于1）不是函数.
而“对应说”和“关系说”建立在集合论的基础上，更接近现代数学语言，普适性强，更重要的是，它们都抓住了函数的本质——对应关系.
二、借助函数概念的发展历史引入函数概念
函数概念的一次又一次的扩张，是前人思维的一次又一次的突破，从中可以看到，函数概念的内涵被不断地挖掘、丰富和精确刻画.研究表明：函数概念历史发展过程中的认识障碍也会成为今天课堂上学生的认知障碍.因此，在函数概念教学中，如果能恰当借鉴历史，选择学生容易接受的典型情境探究函数概念，使学生在情境的识别与辨析中逐步体会它的形成过程，并且亲身感悟一次又一次逐步抽象出函数概念的方法，将有助于学生打破思维定势，形成清晰的认识，并深刻理解函数的概念.这是一个多层次逼近的过程，反映了认识由远及近、由模糊到清晰、由粗略到精细的过程，是教学中值得借鉴的.
所以，我们可以根据学生的情况，借鉴函数的历史发展，让学生在探究函数概念的过程中，经历3次函数概念的扩张，并最终归纳、总结出现行初中数学教材中的函数概念.
1.让学生结合实例，从两个变量联系的角度，试着给出函数的定义，即从表达式的角度理解两个变量的关系，完成对函数概念内涵的第1次抽象认识
例1 指出下列变化过程中的变量和常量，并用适当的形式表达变量间的关系.
（1）一个水滴落到平静的湖面上，所形成的一系列圆的面积S与圆半径r的关系是________；
（2）锐角β与锐角α互余，则β与α的关系是________；
（3）气体的质量m一定时，它的体积V与它的密度ρ之间的关系是________；
（4）购买单价为1元/支的铅笔x支和单价5元/个的笔记本y个共花去80元，则x和y的关系是________.
上述的每一个问题中，教师都提问：在变化的过程中，谁是变量？谁是常量？两个变量间的关系是通过什么来刻画的？
学生分别回答相应问题.
进而教师提出问题：你能总结在不同的变化过程中，变量间的关系有何共同特点呢？
学生思考，总结上述例子变量间关系的共同特点：
（1）在某一变化过程中存在着两个变量；
（2）变化过程中两个变量之间存在一个关系式；
（3）当一个变量的数值确定时，另一个变量的数值也随之确定.
说明 关于结论（3），学生可能不易得出该结论，如果学生没有总结出这一条，则先暂时放弃对这一条的总结，通过后续问题的研究，让学生慢慢地发现该结论.
通过上述问题，感受到变量之间的相互联系.特别是二元一次方程，进一步促进学生认识两个量之间是相互关联的，揭示变量间关系的一些共同特点.
2.结合实例，让学生思考前面总结的函数定义是否完整，如果不完整，应该如何补充？对函数从表达式角度的理解过渡到函数是两个变量间的相互依赖关系的认识，完成对函数概念内涵的第2次抽象
（1）表格中有变量吗？是什么？
（2）从表格中你能得出哪些结论？
（3）你能写出汽车保有量m（万辆）与年份n之间的关系式吗？
（1）统计图中有变量吗？是什么？
（2）你能写天数m与年份n之间的关系式吗？
在学生回答上述问题的基础上，教师指出，显然，例2中无法写出汽车保有量m（万辆）与年份n的关系式，例3中也无法写出天数m与年份n之间的关系式，那么联系例1、例2、例3，变量之间关系的共同特点是什么呢？
学生对从例1中得出的共同特点作出修改，形成新的认识：
（1）在某一变化过程中存在着两个变量；
（2）当一个变量的数值确定时，另一个变量的数值随之确定.
通过以上问题的思考，学生对变量间的共同属性有了进一步的认识：即在一个变化过程中的两个变量，不一定存在一个确定的关系式；变量间的关系还可以通过表格、图象等形式来体现.两个变量存在“单值对应”的关系在上述例题中有所体现，但对这一关系的认识，需要通过辨析来加以明确.
3.通过实例，让学生对函数概念的认识从变量间的相互依赖关系过渡到两个变量的对应关系，完成对函数概念内涵的第3次抽象认识
例4 为使首都的交通状况得到改善，北京推行“公交先行”的战略.北京市某趟公交车的收费标准是：12千米以内票价1元，每增加5千米以内加价0.5元，学生使用公交一卡通刷卡可享受2折优惠.请你计算乘车里程数x（千米）分别为5千米，10千米，13千米，15千米时，刷卡乘车实际所需要花的钱数y（元）.
学生思考，回答上述问题：当乘车里程数分别为5千米，10千米时，需花0.2元；当乘车里程数分别为13千米，15千米时，需花0.3元.
教师追问学生：在这个问题中，有哪些变量，变量间的关系有何特点？和前面的例子比较，变量间关系的共同特点是什么呢？
在此问题中，学生应该能立刻意识到在这个变化过程中，当乘车的里程数x取不同数值时，刷卡乘车的费用y却可能相同；当乘车里程数x确定时，刷卡乘车的费用y却是唯一确定了.这点对学生构建对函数概念中“单值对应”的关系至关重要.
学生讨论，形成认识：乘车费用y（元）并不一定随着乘车里程数x（千米）的变化而变化，但变量x的每一个确定数值，变量y都有唯一的数值与之对应.
通过上述问题的解决，我们得出在这些问题中变量间关系的共同特点：
（1）在一个变化的过程中存在着两个变量；
（2）当其中一个变量取一确定数值时，另一个变量有唯一值与之对应.
至此，学生对函数“变量说”中的两个变量间的关系有了清晰的认识，形成了函数的概念：在一个变化过程中，有两个变量x与y，对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值和它对应，我们就把x称为自变量，y称为因变量，y是x的函数.
这样设计函数概念的教学，目的是让学生沿着数学家探索函数概念所走过的路，经历“一次次地提出概念、一次次地推翻概念”的探究过程，让学生对函数概念的发展、内涵与外延认识得更加深刻.
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