论弗雷格对数理逻辑的贡献，本文主要内容关键词为：数理逻辑论文,贡献论文,论弗雷格论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
1 背景：分析的算术化
19世纪的分析的算术化可以从集合论的角度来重构：在自然数集及其幂集上足以发展经典分析。引进值域为自然数幂集的变元，经典分析可归化为二阶算术。由于标准的集合论ZF或ZFC 系统中的非逻辑关系词“∈”使得我们可在一阶逻辑的框架中证明二阶算术的定理，因此，撇开历史，我们可以说，19世纪的分析的算术化把数学基础定位在一阶逻辑加集合论上，而此时焦点便是自然数。
自然数可从两个角度来看：集合和序列，前者关心“多少”，后者关心“下一个”，分别对应集合论中的基数和序数。Peano—Dedkind（PD）公理实际上旨在刻画作为序列的自然数，因为由此可递归地定义自然数的运算。以加法为例，加法预设了自然数序列：
0，1，2，3，……
任一数X加N，不过是从X起在上述序列中向后移N位。后移运算比相加更为基本，加法是二元运算，后移是一元运算，而后移一位则是最基本的后移运算，这就启示如下地递归地定义加法：
X+1＝X＇
X+N＇＝（X+N）＇
其中X＇表示X的后继，读作“X的下一个”。
表面上看，弗雷格的方案与PD的是互补的，因为弗雷格旨在刻画作为基数的自然数。然而，二者区别极其深刻，且对理解弗雷格的逻辑主义关系重大。 弗雷格的方案没有预设序和无穷！ 这一点可与vonNeumann对序数的构造相比：von Neumann要给出序的集合论定义。 因此弗雷格的方案面临两个要解决的问题：①如何定义序；②证明有无穷多个自然数，或PD中的第二个公理：每一自然数都有后继。
我的论点是弗雷格对数理逻辑的贡献可从他试图解决上述两个问题的角度得到最好的理解。
2 序列、概念和关系
在1879年出版的《概念记号》的第三部分，弗雷格表述了他的一般序列理论，弗雷格的问题是：任给一二元关系R， 如何显式地定义另一二元关系R＇使得对任何x和y，xR＇y当且仅当有x1，x2，…xn，x1 ＝x，xn＝y，且对任一i＜n有xiRxi+1。弗雷格在此显然是为发展其自然数序列理论准备逻辑工具，因为，若取R为后继关系，即xRy 当且仅当x+1＝y，则uR＇v表示v跟随u，例如，u＜v。弗雷格的解答是
对弗雷格解答的三点评论：
（1）根据弗雷格的解答，我们可证明所有如下的命题：
aRb→aR＇b
aRb∧bRc→aR＇c
aRb∧bRc∧cRd→aR＇d等等
王浩曾说，数理逻辑的中心任务之一就是解释陈述自然数序列时所用的短语“等等”[（〔6〕，p.61）]。 弗雷格的解答成功地将短语“等等”以显式定义加以消除！
（2）谈到序列，人们往往想到空间排列或时间顺序，按康德， 这二者是感性直观的先验形式，换句话说，我们若要想象或直观序列，则舍此二者而别无其他。在弗雷格看来，空间排列和时间顺序仅仅是两类特殊的序列，我们不可拿这两类特殊的序列来说明或刻划一般的序列，这样，康德试图用时间顺序来刻划自然数列显然是不恰当的。一般序列应该纯逻辑地予以刻划，这是弗雷格的信念，他说：“我的最初步骤是试图把序列中序的概念化归为逻辑的概念，以据此进而得到数的概念”[（〔3〕，p.5）]。
（3）在现代数学文献中，序列的定义是有序对〈S，0〉，其中S为一集合，0是定义在S上的反对称和传递的二元关系。对此定义，弗雷格是不会接受的。因为他要求0所具有的性质必须能从0的定义中逻辑地推导出来，而非人为地加以规定。这里0对应弗雷格系统中的R＇。值得注意的是S在弗雷格那里没有对应者！ 在弗雷格系统中只有概念和关系的表达式，这体现了他的逻辑主义信念：表述数学命题的表达式必须是纯逻辑的。他说“概念和关系是建筑我的系统的基石”[（〔5〕，p.32）]。
根据Boolos[（〔2〕，p.214）]，弗雷格的概念和关系由如下两条概括公理来担保其存在
其中A（x）和B（x，y）是系统的合式公式，前者不包含F的自由出现，后者不包含φ的自由出现，两者由弗雷格的概念词析出构成法而得到。例如在句子中若去掉某个专名的一个或若干个出现，则可得到一种不完全的部分，它包含有空位，弗雷格通常用特定的小写希腊字母来标示可以填入专名的空位，这就得到一阶概念词。
3 基数、Hume原则、公理V和罗素悖论
弗雷格试图通过用纯逻辑的手段构造数的方式来证实他的基本信念：数是对象。数词有两种日常用法，一是作为语法上的形容词，另一是作为语法上的专名。弗雷格的首要工作是制定一种能消除数词第一种日常用法的逻辑句法。
这个工作的第一步是把包含作为语法形容词的数词的句子改写成弗雷格称为赋数命题的句子，即回答“有多少…？”的句子，其一般形式为“有n（个）…”。考虑到“有n（个）…”的一般形式是“有…”，退化形式是“没有…”因而在空位“…”处只能填入谓词（弗雷格称为概念词）而不能填入专名！弗雷格由此得到一个重要的结论：赋数命题是对概念的言说（或谓述）[（〔4〕，p.59）]。因此， 基数词的一般形式可表述为NxFx或NF，其中F代表一个一阶概念，N代表一个把概念映射为对象（基数）的算子。
问题是（逻辑）对象从何而来！
C.Parsons说，根据弗雷格， “在逻辑基础上导出对象存在的唯一方式是通过概念到其外延”[（〔2〕，p.195）]。弗雷格最终决定把NF等同于二阶概念
的外延。对任一（一阶）概念G，G落入上述（二阶）概念当且仅当G 等数于F，记为G≈F。此时，我们还可说G与此二阶概念的外延有关系η。按Boolos的表述，说NF＝x就是说
Boolos称后者为《算术基础》（FA）系统的数公理。
Boolos在〔1〕中表明由《概念记号》的二阶逻辑、定义（1）及其他定义、公理（2）—（4）再加上下面的Hume原则
足够证明PD系统的五条公理，特别值得一提的是可证明每一自然数都有后继，这是PD的无穷公理。
不但如此，Boolos证明FA 系统是一致的！ 因为可构造一个论域为NU｛N｝的使得（2）—（4）和（HP）的解释为真的模型。
然而，若在FA系统中加上《算术基本律》系统中的公理V 的一种如下表述
则可导出罗素悖论。
FA系统中的数公理（4）与上述公理（V）极其相似，微妙的差异在于虽然如果
x（Fx≡Gx）则F≈G，反过来却不成立。此外Boolos在FA系统的一致性证明中分别了两类变元且他对合式公式的规定实际上相当于简单类型论的禁令！
4 弗雷格与数学基础：简要的历史性回顾
在微积分问世后的头两个世纪里，数学家并不关心其基础问题，结果出现了两种并存的局面：新数学应用领域的迅速扩展与逻辑和哲学混乱的日益加剧。到了十九世纪，人们认识到新数学的基础在于对极限运算的精确定义和对实数系的界定，Weierstrass和Cauchy 完成了前一工作，Dedkind和Cantor则定义了实数， 这便完成了对分析算术化的关键一步。分析算术化的一个直接的好处便是使数学家摆脱了几何直观的不确定性，从而做起数学来更为脚踏实地，另一个好处在于为数学家们开启了一个窗口，透过它可以窥见前所未见的数学新世界，例如处处连续而处处不可导的函数，而诸如此类的逻辑构造的“怪物”是以前通过几何直观所无论如何不可想象的。
有趣的是，算术和几何这两门最古老的数学自Pythagorass 时代起便分别成了抽象和直观的象征。历史上，无理数的发现无疑使得希腊数学走上了片面发展之路，结果便是几何学的系统化，而算术或代数则成了运算规则的堆积。到了近代，虽有Descartes 的结合二者的划时代的工作，但是哲学家在做数学哲学时仍以几何为本，Kant认为几何和算术命题均为先验综合命题，前者以空间直观形式为基础，后者以时间直观形式为根据，考虑到几何乃直观的代表，康德的工作无疑是想把算术几何化。
康德数学哲学的根据之一是亚里士多德的逻辑学：对句子的主谓词分析和三段论推理。至于关系逻辑和对迭加量词的处理则付之阙如，而数学命题的表达和推理无此二者则不可思议。逻辑学虽是最为古老的学科之一，然而步履蹒跚，直到弗雷格时代，几天重大突破，虽然在他之前有莱布尼茨和布尔，然而，莱布尼茨并没有发展出一套形式系统，布尔虽扩展了代数系统但仍受代数运算的限制。究其原因，按弗雷格之见，乃日常语言对心灵束缚所致也。此外，伴随分析的算术化，对数学证明本身的分析和严格化逐渐提到了日程上来。
弗雷格并不满足于分析的算术化，他要用纯逻辑的手段来构造自然数，在此努力中，他给出了数学证明本身的严格分析，首创了全新的逻辑——数理逻辑，从而开创了现代逻辑发展的新纪元。
弗雷格生前默默无闻，他的大部分创造性工作被学界忽略，当他为之奋斗一生的目标——数学的逻辑主义纲领接近完成时又遭到罗素悖论的致命打击，在我看来，没有哪段简短的文字较之弗雷格逝世近四十年后罗素在写给van Heijenoort的信更令人感动的了，兹粗略汉译如下：
亲爱的范黑杰努特教授：
我充满感激地告之你，若你出版弗雷格和我之间的通信，我将非常高兴。在我想到诚实正直和风度优雅时，我意识到，就我所知，还没有什么可比之于弗雷格对真理的奉献了。在他凝聚整个一生心血的工作接近完成时，在他大部分工作被忽视而绝对较他低能的人春风得意时，在他的第二卷著作就要出版时，当他得知其基本假设有错时，他所反应出的理智的愉悦毫不含糊地超出了个人的沮丧，那几乎是超人的所为，那是全身心奉献给创造性工作和知识而非粗劣的沽名钓誉的人所能表现出的最感人的魅力。
你的忠实的 贝特兰·罗素