小纸杯玩转大数学——综合实践课“翻转纸杯”的教学实录与思考，本文主要内容关键词为：纸杯论文,玩转论文,教学实录论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
《义务教育数学课程标准（2011年版）》把传统的“双基”扩充为“四基”.如何在课堂上更好的渗透基本思想、基本活动经验，是每位数学教师都在思考和尝试的问题.笔者在此提供一节综合实践课“翻转纸杯”的教学实录与思考，供各位同仁参考. 一、教学过程实录 1.实验观察 师：取3只纸杯，杯口朝上，每次翻转1只纸杯，最少经过几次操作能使杯口全部朝下？ 生1：最少3次. 师：每次翻转3只呢？ 生2：最少1次. 师：如果把刚才的实验简称为“3翻1”、“3翻3”，那么“3翻2”能成功吗？ （学生努力尝试均未成功.师通过这三个实验激发学生探究翻转纸杯规律的兴趣.） 师：为了找到翻转纸杯的规律，利用手中的5个纸杯，你还可以设计哪些实验？ 生3：“4翻1”、“4翻2”、“4翻3”、“4翻4”、“5翻1”、“5翻2”、“5翻3”、“5翻4”、“5翻5”. 设计意图 兴趣是最好的老师.学生在兴趣的指引下自己设计并完成实验、总结规律，在潜移默化中，由被动学习变为主动学习，由“老师设计实验要我做”变成“我要自己设计实验做”. 师：哪些实验不用做就能看出结果？ 生3：“4翻1”、“4翻2”、“4翻4”、“5翻1”、“5翻5”. 师：将剩下的4个实验分四组同时进行. 师统计结果，“5翻2”、“5翻4”实验失败，“4翻3”、“5翻3”实验成功，并请学生演示后两组实验. 设计意图 为总结规律，需要以大量的实验数据为依据，但课堂时间是有限的，因此让学生分组承包任务，既解决了时间上的矛盾，又让学生感受到了合作学习的力量. 2.归纳猜想 师：十二组实验已经完成，请大家分析数据，猜想规律.（给学生足够时间讨论.）
生4：当有偶数个杯子时，每次无论翻转多少个杯子都能成功；当有奇数个杯子时，每次翻转奇数个杯子能成功，每次翻转偶数个杯子不能成功. 教师用树状图的形式展示这个猜想.
设计意图 数学教学本来是思维训练的过程，而没有思考的讨论只能是低效的流于形式，因此，教学中要给学生足够独立思考的时间，充分发挥学生的主体作用. 利用树状图表示猜想，不仅清晰直观，让学生体会数学的简洁美，同时渗透了数学中的分类思想，特别是图2的出现使得实际问题更加数学化.
3.数学验证 师：猜想一定正确吗？下面我们用数学的知识来解释这个猜想. （师左手举起一个杯口朝上的纸杯，右手举起一个杯口朝下的纸杯）在学习“有理数”中我们知道，如果向东走表示为“+”，那么向西走即可表示为“-”.现若规定杯口朝上为“+1”，那么…… 生（齐答）：杯口朝下为“-1”. 师：翻转之前是“+1”，翻转之后是“-1”，翻转这个纸杯（边说边慢速翻转）的过程可以看做怎样的运算？ 生5：（+1）-2=-1，或（+1）×（-1）=-1. 师：继续翻转，又可以看做怎样的运算？ 生6：（-1）+2=+1，或（-1）×（-1）=+1. 师：继续不断翻转，你最终选择哪种运算？ 学生经过优选，最后齐答：乘以（-1）. 设计意图 在引导学生将实际问题抽象为数学问题的过程中，教师应充分尊重学生的认知规律.由于学生最熟悉加减法，因此一开始出现“减2、加2”的观点，这时教师不必强制学生接受“乘以（-1）”，而是不断翻转，促使学生最后优选出了“乘以（-1）”的方法.这种顺其自然的过程，使我们的学生不仅具有数学的眼光，更能学会数学的思考. 师：翻转纸杯的过程可以抽象为乘以（-1）的过程.现在以“3翻2”为例，看看摆在桌面上的三个杯口朝上的纸杯可以抽象成怎样的数学方式？ 生7：3个纸杯可表示为3个“+1”. 师：若用
=（+1）×（+1）×（+1）=+1来表示翻转前的状态，那么翻转后的状态呢？ 生8：
=（-1）×（-1）×（-1）=-1. 师：一次翻转2个纸杯，如何用式子表示？ 生9：S=（+1）×
=+1. 师：怎样解释“3翻2”注定失败的原因吗？ （给学生充分的时间思考、讨论.） 生10：
=+1，每翻转一次，相当于
=（+1）×（+1）=+1；翻转n次，相当于
=（+1）×
=+1≠-1=
，所以“3翻2”注定失败. 设计意图 本环节是一个难点，也是数学理性思考的关键点，需要思维的碰撞，才能迸发智慧的火花，所以要给学生充足的思考、讨论的时间. 4.实际应用 师：让我们来讨论解决一个实际问题.有7个房间开着灯，如果每次同时拨动4个房间的开关，能否通过有限次拨动，将灯全部关上？ 生11：这是“7翻4”问题，不能成功. 师：如果有8个房间，其中7个房间开着灯，每次同时拨动4个房间的开关，能否通过有限次拨动，将灯全部关上？ 生12：
=（-1）×（+1）×（+1）×（+1）×（+1）×（+1）×（+1）×（+1）=-1；
=（-1）×（-1）×（-1）×（-1）×（-1）×（-1）×（-1）×（-1）=+1. 每次拨动4个开关，等于乘以
，即乘以（+1），翻转n次后，
=-1×
=-1≠+1=
. 所以不能成功. 设计意图 简单的问题直接运用规律即可解决，但当条件复杂难以抉择时，就要引导学生利用数学知识解决，这里将实际问题抽象成有理数的运算问题，体现了生活即数学的本质. 5.小结作业 （1）你今天有什么收获？ （2）我们是如何研究问题的？
（3）今天我们主要研究实验能否成功，关于这个实验，你还想研究什么问题？ 生13：翻转纸杯如果能成功，最少要翻多少次，有没有规律？ 师：这个问题很有价值，让我们课后将翻转纸杯进行到底…… 二、教学思考 1.尊重认知规律，追求自然教学 教学中尊重学生的认知规律是对学生最大的尊重，是对学生成长成才的最大关怀，也是教师在教学工作中重要的价值取向.本节课的设计处处尊重学生的认知规律，追求自然教学. 比如，在将杯口朝向这个实际问题抽象为“+”、“-”数学问题时，教师并没有人为规定杯口朝上为“+”，杯口朝下为“-”，而是类比学生熟悉的“向东走、向西走”的问题情境，使学生意识到一对相反意义的量可以用“+”、“-”来表示，自然引出杯口朝向问题的数学表示法.这样的细节体现了教师时时处处对学生“少一些强迫，多一些自然”. 2.凸显数学魅力，追求数学本质 一节课能真正吸引学生的因素，不是包装了华丽的外表，而是具有渗透数学内涵的魅力.本节课有三大特色：一是在总结规律之后让学生用含字母的代数式表示杯子总数，和每次翻转纸杯数重新整理树状规律图，从细节上增强了数学的魅力；二是加强了对规律猜想的数学验证环节，验证的过程就是数学抽象的过程，是本节课学生思维的关键环节；三是强化了类比、分类、转化等思想方法的渗透.这样的课堂方具数学魅力，方显数学之本色. 3.注重课堂小结，追求画龙点睛 小结是什么？就是学生画龙，老师点睛. 本小结体现两大特色： （1）让学生学会学习，具备学习的能力是最关键的.学生只有能够“离开”老师自己去学习，才是有效的学习.为此，教师在课堂小结时，引导学生总结研究此类综合实践课问题的方法——“实验观察、归纳猜想、数学验证、实际应用”，同时升华数学的类比、转化、分类的思想. （2）学生可以向老师提出自己解决不了的问题，但是不能提不出任何问题，因为提不出问题的背后，往往是没有思考，至少是没有深入的思考.于是，教师在小结时引导学生提出，“如果能够翻转成功，最少要翻多少次，有没有规律？”这样的问题，从而让学生带着探索问题的兴趣愿望与自信离开课堂，余味无穷！ 4.不断深挖教材，追求严谨教学 数学追求严谨.本节课易学难精，每个环节都很简单，但仔细推敲，每个环节又都不简单.为什么杯口朝向用“+”、“-”而不用“1”、“0”表示？因为这是一对表示相反意义的量，用“+”、“-”更符合大家的习惯；为什么若杯口朝上为“+1”，那么杯口朝下就一定为“-1”？能不能是“-2”？答案是不能，因为在杯子翻转过程中，变的是杯口方向，不变的是杯子本身，所以若杯口朝上为“+1”，那么杯口朝下一定为“-1”；为什么要用S表示不同状态下抽象出的数字的乘积形式？这是根据数学中乘法原理.尽管很少有学生会提出这些问题，但是作为教师，我们必须要弄清楚，这就要求课前深挖教材，追求严谨.
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