空间向量在求解立体几何探索性问题中的应用，本文主要内容关键词为：立体几何论文,向量论文,性问题论文,空间论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
平行、垂直、距离和角的问题是立体几何的主要问题，以它们为背景的探索性问题是近年来高考数学命题创新的一个显著特点，在高考试题及各类模拟试题中屡见不鲜，此类试题具有一定的新颖性、开放性、探索性和创造性。由于这类问题涉及的点具有运动性和不确定性，所以用传统的方法解决起来难度较大，若用向量方法处理，则可使几何问题代数化、降低思维难度。下面，举例谈谈向量法求解立体几何探索性问题的类型和方法。
一、与平行有关的探索性问题
例1 （2009海南19）如图1，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的
倍，P为侧棱SD上的点。
图1
图2
图3
图4
图5
图6
类题：（2009浙江20改编）。如图6，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E、F、O分别为PA、PB、AC的中点，AC=16，PA=PC=10。
(Ⅰ)设G是OC的中点，证明：FG∥平面BOE；
(Ⅱ)证明：在△ABO内是否存在一点M，使FM⊥平面BOE。
证明：(Ⅰ)如图7，连接OP，以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，则0(0,0,0)，A(0,-8,0)，B(8,0,0)，C(0,8,0)，P(0,0,6)，(0,-4,3)，F(4,0,3)，由题意得，G(0,4,0)，因
，因此平面BOE的法向量为
，又直线FG不在平面BOE内，因此有FG∥平面BOE。
图7
图8
(1)求点C到平面PBD的距离。
(2)在线段PD上是否存在一点Q，使CQ与平面PBD所成的角的正弦值为
，若存在，指出点Q的位置，若不存在，说明理由。
分析：利用好直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦值的绝对值等于直线和平面的正弦值这一结论是解题的关键。
图9
图10
分析：设出点E的坐标，利用距离公式可求得点E的位置。
解：以CA、CB、
为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则有A(2,0,0)、
、D(0,0,1)。
图11
(Ⅰ)求证：PO⊥平面ABCD；
(Ⅱ)求异面直线PD与CD所成角的大小；
(Ⅲ)线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为
？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由。
图12
(1)证明：如图12，在△PAD中PA=PD，O为AD中点，所以PO⊥AD，又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO
平面PAD，所以PO⊥平面ABCD。
(Ⅱ)以O为坐标原点，
的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz，依题意，易得A(0,-1,0)，B(1,-1,0)，C(1,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)，所以
。所以异面直线PB与CD所成的角是
。
图13
(Ⅲ)假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为，
对于立体几何中的探索性问题，特别是存在判断型问题，解题的策略一般为先假设存在，然后转化为“封闭型”问题求解判断，若不出现矛盾，则肯定存在；若出现矛盾，则否定存在。这是一种最常用也是最基本的方法。探索性问题对学生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力提出了较高的要求。它有利于培养学生探索、分析、归纳、判断、讨论与证明等方面的能力。