例谈灵活解决数学问题的心理机制及教学对策，本文主要内容关键词为：对策论文,灵活论文,机制论文,数学论文,心理论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
解决一道较复杂的数学问题所经历的“心路历程”可以用“惊心动魄”来加以形容.时而“深陷绝境”，时而又“绝处逢生”，其中的滋味往往只有解题者本人知晓.解题活动对于学生旨在提高解题能力，开发智力；对于教师则应该总结成功解题的经验，探索解题规律，提高学生的解题教学水平.然而解题活动是一项十分复杂的心智活动，只有在解题活动过程中研究其心理机制，才更有利于解题规律的把握，从而对解题教学活动施以积极影响.本文拟通过几个典型例子谈谈灵活解决数学问题的心理机制并提出解题教学的若干对策.
心理机制1：问题表征对数学问题解决的积极影响
所谓表征是指用某种形式表达数学概念或关系的行为，也指形式本身.正如Hiebert所言“有了数学的表征，数学的概念和思想就可以被描摹，重要的联系就可以得到阐述”.[1]问题表征指对问题的条件、目标及其构成要素的觉察和理解，在问题解决中具有关键作用.大量的专家与新手对比研究证明，专家的问题图式包含了有关领域的陈述性知识和程序性知识，可以较好地在问题解决中形成基于问题结构相似性的复杂问题的表征；而新手只能形成对于问题表面相似性的简单的问题表征.[1]
解析：问题（1）属于较简单问题，这里不作分析.关于问题（2），设准线与x轴之交点为Q，表征点Q在以GH为直径的圆外的方法如下：
下面来看看上述两种问题表征方法下的问题求解过程：
从上面的两种问题表征方法给出的解法不难看出，第2种解法更为灵活，也更为简捷.但从问题的表征方法来看，第2种表征方法更为复杂，层次更高.可见问题表征对数学问题的灵活解决的确能产生积极的影响.
教学对策：
数学问题表征的基础是审题，审题是合理表征问题的基础.只有真正弄清了题意，将题目中外显的、内隐的条件充分挖掘出来，并在头脑中形成了一个完整的、清晰的印象，才有可能准确地进行问题表征，从而开展有效的解题活动.在教学中教师应关注审题环节，培养学生良好的审题习惯，教给学生正确审题的方法.
心理机制2：先后问题存在的共性关系的意识水平对解题迁移的影响
G.波利亚的“怎样解题表”在拟定解题计划时首先询问解题者“是否见过相同的问题而形式稍有不同？”“是否知道与此相关的问题？”[2]这其实是求解数学问题的一个最基本的数学思想——化归.即将新问题转化为已经解决了的问题，或者说运用同一思想方法解决类似问题.解题活动作为一种学习形式同样离不开迁移，要使正向迁移得到实现，学生必须具有较强烈的将先前某类问题与新问题相比较并寻找共性的意识.有学者曾就不同认知风格学生的问题共性意识水平对解题迁移的影响进行了实验，发现不论是什么认知风格的学生，其对先后问题之间存在共性关系的意识水平对解题迁移都有显著影响.[3]
上述迅速求解的方案源自关于原问题与问题“求点A（2，0）与点B（cosx，-sinx）连线的斜率的最值”之间共性关系的“觉察”.而这种迅速“觉察”就是解题者已形成的自觉寻找其共性关系的意识水平.下面的例子或许更能说明问题.
不难发现，运用平面几何的方法求解更为简捷.对比两种解法，我们发现随着知识量的增加，人们摆脱相应知识子系统的束缚，寻找两个不同知识系统间所对应的相关问题的相似性的难度就明显加大.唯有提高感悟先后问题间存在的共性关系的意识水平，才能做到“巧借外力”，灵活解题，因为这种意识能提高解题者的直觉洞察力.
教学对策：
学生对数学问题共性关系意识的强弱源于对先前数学问题解题策略水平的提高以及对新问题表征能力的高低.因而在解题教学中应加强解题策略的教学.所谓解题策略，就是解决数学问题的思想方法.解题策略不同于具体的解题技巧，它具有全局性的指导意义.好的解题策略可以帮助学生优化解题过程，缩短问题的探索时间，有利于促进学生数学能力的提高与数学素质乃至于综合素质的发展.在数学解题教学中加强解题策略的教学有助于提高学生判别问题相似性的意识水平.在教学初始阶段应注重“模式识别”的教学，引导学生学会模仿、感悟模式；其次应引导学生学会自觉使用模式并及时总结规律；最后应引导学生在对系列问题解题模式规律把握的基础上突破现有模式，进入无模式状态，所谓“没有模式就是最好的模式”.[5]
心理机制3：元认知的调控作用有助于增强数学问题解决过程中的变通性
在解题时，有些学生能对课题的性质、难度、正确性以及思维指向的恰当性等进行有效估计和判断，而另一些学生则不能，他们缺乏预见，盲目地尝试.这正是元认知对认知活动思维定向方面的影响.[6]数学解题过程中的元认知更多地表现为“控制”，它对解题过程的顺利推进有“护航”作用.[7]表现为对解题活动有明确的方向性，在充满艰难险阻的解题道路上能充分利用一切有利条件，把握解题“机遇”，随时改变初始设想，寻找到妙不可言的解题策略.
数学是让人变得聪明的科学，解题是让人变得聪明的有效途径.好的数学问题往往引导解题者学会“变通”，在“变通”中学会“绝处逢生”的策略.问题（1）中倘若不“变通”一下，一条道走到黑，硬是要寻找
的通项公式，则解题就难以进行下去；问题（2）中若仍拘泥于常规：去绝对值符号、求
，则问题就难以解决.是什么因素促使解题者在解题过程中进行了及时“变通”？冥冥之中发挥作用的其实就是“元认知”.在解题活动过程中的元认知说到底是解题者自身对解题活动过程的自我监控并促使其适时调整解题思路的意识.本例中，解题者如果没有较强的元认知能力，在处理问题（2）时就不会回过头来反思问题（1）的过程，找到并利用（1）中的“副产品”
教学对策：
1.加强解题反思教学
科斯塔（1995）指出，在思考和解决问题活动中，意识到自己的思维和解决问题的方法就是元认知.元认知对解题活动的过程起监控作用.加强这种监控作用的方法就是引导学生在解题过程中学会与自己进行“内心对话”：“我为什么这样解？”“我运用的是什么解题策略？”‘这样做的依据是什么？”“本问题的结构还有哪些类似形式？”“结果合理吗？”“还有更好的解法吗？”通过这种“内心对话”来激活学生的自我监控意识，调整思维路径，寻求最佳解法，引发更深入的思考.
2.引导学生提高数学理解的层次
元认知的基础是个体对数学的理解.所谓数学理解，从认知心理学的角度而言，就是新知识与已有的认知结构建立起实质的非人为的联系.理解的程度依赖于新知识与认知结构之间联系的多与少、强与弱.[8]数学的理解只有进入观念性层次，才算是透彻理解，也只有透彻理解，才能“自觉地运用波利亚的‘解题表’，特别是回顾反思环节能自觉运用”.[9]也只有进入观念性层次，在学生认知结构中，有大量融会贯通的解题思维模块、成套的技能技巧，处于激活备用状态，学生对自己的解题活动的意识才能达到较高水平.在教学中提高学生数学理解的层次性必须让学生亲历知识的生长过程，引导学生参与数学研究；无论是知识点的讲解还是例习题的讲解都应把握好“讲”的度，应留给学生足够的思维空间，应努力促进学生个人数学知识的形成，而不应直接将教师自己的“个人数学知识”告诉学生.[10]