基于客观赋权的作战方案模糊优选方法 ^*

方 冰,韩 冰,徐 平

(陆军指挥学院作战实验教研室,江苏 南京 210045)

摘 要: 作战方案优选是提高决策质量,确保联合制胜的关键环节。然而,现代战争的复杂性和残酷性使决策者们常常面临选择障碍,致使他们在关键问题上犹豫不决,难以给出明确的决策信息。通过将作战方案优选过程建模为属性值是犹豫模糊数的多属性决策问题,为指挥员进行有效决策提供了一种便捷的信息描述工具。在此基础上,提出了一种基于客观赋权的作战方案模糊优选方法:首先以逼近理想解算法为基础,建立关于属性权重向量求解的非线性规划模型,并将其等价表述为凸优化问题;其次,在证明该凸问题具有唯一最优解的基础上,给出其闭合解形式;最后,在客观权重向量求解的基础上,给出了多个备选作战方案的优劣排序算法,进而选出最优作战方案,并对其有效性进行数值验证。

关键词: 作战方案优选;犹豫模糊数;多属性决策;非线性规划;逼近理想解;凸优化

现代战争是陆、海、空、天、电多维一体的体系作战,情报信息急剧增长,战场态势瞬息万变,不确定性情况日益增多,决策质量的好坏直接关系到战争的成败。同时,作战任务的复杂性和战场环境的不确定性给相关决策人员带来了沉重的认知负担和心理压力,使得他们在面对诸如作战方案选择、军事资源分配等关键问题时常常犹豫不决,误判现象时有发生。因此,本文援引多属性决策理论,以犹豫模糊数作为不确定决策信息的描述工具,构建不确定条件下的作战方案优选模型,帮助指挥员积极应对挑战,做出正确决策,最终赢得战争胜利。

多属性决策(Multi-Attribute Decision-Making,MADM)是指人们在多个相互冲突的属性下从多个备选方案中选择具有最高满意度方案的决策过程^[1]。在经典多属性决策问题中,决策者或评估专家通常是用精确而非模糊的数值来表达他们对备选方案在每个属性下的评估值(决策信息)。然而,随着军事、经济、社会问题的日益复杂化和决策者本身固有的思维模糊性和认知局限,决策者越来越难以用精确的数值来表达他们的决策信息。为了有效描述决策者的模糊决策信息,1970年,Bellman 和Zadeh首次将模糊集(Fuzzy Set, FS)理论引入多属性决策问题中^[2]。随后,模糊决策、模糊评价、模糊聚类等相关问题的研究取得了巨大成功,各种新理论如:区间模糊集、直觉模糊集、区间直觉模糊集等应用理论接踵而至^[3]。

近年来,西班牙学者Torra针对多属性决策问题中,决策专家在给出评估信息时犹豫不决以及多个专家互相不能说服、难以达成一致意见的情形,提出了犹豫模糊集(Hesitant Fuzzy Set, HFS)的概念^[4]。作为模糊集理论的一种重要拓展形式,犹豫模糊集描述了决策信息对指定集合有多个可能隶属度的情形,非常适合不确定决策信息的描述,增加了决策者赋值的灵活性,在现实多属性决策问题中有着广泛的应用场景。犹豫模糊集的基本描述工具是犹豫模糊数(Hesitant Fuzzy Element, HFE),它是一个由多个实数值构成的集合,表示犹豫模糊集的元素具有几个可能的隶属度。犹豫模糊数作为决策者对不确定决策信息的描述工具,允许决策者在给出其评估信息时可以在几个不同的数值之间犹豫不决,增加了赋值灵活性,从而能够更加细腻地描述其对评估对象的不确定性评估,是多属性决策问题中描述和处理不确定信息的有效工具^[5]。

本文针对属性权重未知、属性值为犹豫模糊数的作战方案优选问题,提出了一种基于客观赋权的犹豫模糊多属性决策方法。该方法首先依据传统逼近理想解(Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution,TOPSIS)思想^[6],在犹豫模糊数距离测度^[7]的基础上建立关于权重向量求解的非线性规划模型,然后在证明该模型是凸优化问题并具有唯一最优解的基础上,给出其闭合解形式。最后,本文在属性权重求解的基础上,给出了多个备选作战方案的优劣排序算法,进而选出最优作战方案。数值实验表明,本文提出的方法具有论证过程清晰严谨、算法简明有效、结果客观实在、适用范围广泛的优点。

1 理论基础

定义1:假定μ _A 是论域U 到区间[0,1]上的一个映射

(1)

其中,x 是集合U 的任一元素。定义如下集合

A ={<x ,μ _A (x )>|x ∈U }

(2)

我们称集合A 是集合U 的一个模糊集^[8]。映射函数μ _A (·)是模糊集A 的隶属函数。函数值μ _A (x )∈[0,1]表示元素x 关于模糊集A 的隶属度,是元素x 属于模糊集A 的程度度量。特别地,μ _A (x )≡0表示模糊集为空集,即A =Φ ,μ _A (x )≡1表示模糊集A =U 。

定义2:给定论域U 到区间[0,1]上一个子集的映射

(3)

我们称集合H 是集合U 的一个犹豫模糊集^[9]。

新兴铸管股份有限公司作为国内规模最大、综合实力最强的离心球墨铸铁管生产企业，多年来始终非常重视产品质量管理和售后服务工作。其过硬的产品和优质的服务使“新兴铸管”这一品牌在国内给排水和水利行业赢得了广泛赞誉。在中国水利企业协会组织的此次评优活动中，组织方从企业基础管理水平、经营发展战略、发展创新能力、员工素质、技术装备力量、市场占有率、顾客满意度、综合社会贡献等8个方面进行了综合考量，在经过初次评审、现场复核、专家组评议并打分的基础上，一致同意授予新兴铸管股份有限公司“2011—2012年度全国优秀水利企业”荣誉称号。此次获此殊荣，将进一步扩大“新兴铸管”品牌在国内水利行业的影响力。

对于任意x ∈U ,h _H (x )是由区间[0,1]上几个不同的实数值构成的集合。h _H (x )用以表示x 属于犹豫模糊集H 的若干个可能隶属度,h _H (x )通常也被称为犹豫模糊数。例如,犹豫模糊数h _H (x )=H {0.4,0.6}表示是元素x 属于犹豫模糊集H 的隶属度可能是0.4,也可能是0.6。当犹豫模糊数h _H (x )只包含单一实数值时,犹豫模糊集H 就退化成一个传统的模糊集。

如图4所示，是上述三种特征使用RCA识别的正确率对比，如图5所示，是上述三种特征使用KR-RAC识别的正确率对比。显然，无论是rank 1还是rank 20，都是采用Mean-BIF和KR-RCA分类的效果最好。

在现实决策过程中,决策者给出的犹豫模糊数中的元素通常是无序的,而且不同犹豫模糊数的元素个数也不尽相同。例如,h _H (x ₁)=H {0.4,0.6}和h _H (x ₂)=H {0.5,0.3,0.8,0.7}。显然,处理以上两个犹豫模糊数,比如计算它们之间的距离,是十分困难的。为了便于处理,我们可以将犹豫模糊数中的元素按增序进行排列,并按照一定的规则对元素较少的犹豫模糊数进行拓展,使它们具有相同的元素。比如,我们可以按照风险厌恶(Risk-averse)的原则,重复添加元素个数相对较小的犹豫模糊数中的最小元素,使它和另一个犹豫模糊数的元素个数相同。因此,上述的两个犹豫模糊数,我们可以把它们处理成h _H (x ₁)=H {0.4,0.4,0.4,0.6}和h _H (x ₂)=H {0.3,0.5,0.7,0.8}。

定义3:假设有两个元素个数相同且按增序进行排列的犹豫模糊数和其基本运算规则定义如下^[9]:

两个犹豫模糊数即h ₁,h ₂之间的欧几里得(Euclidean)距离测度可以定义为

(4)

犹豫模糊数h ₁,h ₂的并集可以定义为

党的十八大明确指出，“科学发展观同马克思列宁主义、毛泽东思想、邓小平理论、‘三个代表’重要思想一道，是党必须长期坚持的指导思想”。国家在寻求科学发展和可持续发展，企业更应如此。当前，按照中石化集团公司、胜利石油管理局的总体部署，公司确立实施了“打造国际一流钻井技术专业化公司”的发展战略，整体工作方向就是发展提速、方式转变、效益提升。这一发展战略符合党的十八大精神要求、顺应集团公司发展形势、适合公司自身实际。在坚决贯彻落实的同时，持续推进公司做优做强科学发展，努力实现“五优五强”。

(5)

犹豫模糊数h ₁,h ₂的交集可以定义为

(6)

犹豫模糊数h ₁的补集可以定义为

(7)

2 模型构建

2.1 问题描述

假设一个多属性决策问题包括m 个备选方案和n 个评价属性。令集合X ={x ₁,x ₂,…,x _m }为备选方案集,令集合A ={a ₁,a ₂,…,a _n }为评价属性集,令w =(w ₁,w ₂,…,w _n )^T为评价属性的权重向量。进一步假设w 为未知,且满足非负条件w _j ≥0,j =1,2,…,n 和归一条件本文的目标是在权重向量未知的条件下对备选方案集X 进行优劣排序。

由于受外界压力和对决策问题了解程度等因素的影响,决策者在决策时往往会在一些评估值之间犹豫不决。因此,决策者给出方案x _i ,i =1,2,…,m 在评价属性a _j ,j =1,2,…,n 下的评估值通常为犹豫模糊数这里,λ _ij 表示犹豫模糊数x _ij 的元素个数。把决策者给出的犹豫模糊评价信息按照矩阵的形式排列出来,可以得到如下的犹豫模糊决策矩阵

(8)

2.2 决策矩阵规范化

通常,直接得到犹豫模糊决策矩阵A 不便于处理。为了方便对备选方案做出综合评价,需要对矩阵A 进行规范化处理^[8],其步骤为:

Step1: 对矩阵A 进行归一化处理,消除各属性的量纲和数量级影响,保证各个属性之间具有可对比性;

AEMS技术是一种新型的电力技术，它主要是大范围的测量系统。实质上也是一种动态的EMS系统中的子系统。这类系统主要进行动态测量、同步定时、中央处理和通信等方面的工作。AEMS技术应用于母线电压、发电系统等空间矢负荷量进行动态估算与监测。这项技术可以在全网范围内实现在线监控、并且实现动态调度。对于连续变化的负荷可以进行分析控制。AEMS技术不仅能够在全网范围内进行动态监测，也能够满足市场机制的要求。AEMS技术的在线定价功能以及核算功能可以实现与强化电网在经营方面的决策辩护能力。最后，在连锁性事故中，使用AEMS这一新型技术可以在紧急的情况下进行自动化控制与预防工作，提高电力调度管理水平。

Step2: 对矩阵A 进行一致化处理,对于成本型属性,根据式(7)对其进行取补变换;

Step3: 对矩阵A 进行标准化处理,也就是将犹豫模糊数内的所有元素按照增序进行排列,并按照一定的规则对元素个数较少的犹豫模糊数进行拓展,使它们具有相同的元素个数。

化学具有较强的实践性与规律性，因此实验是其重要的组成部分，对实验规律的总结与凝练是备课工作的又一项重点工作.对于学生而言，实验操作可以帮助他们更直观地理解化学反应与化学现象，而之后的总结可以帮助他们认识到反映的本质与应用的可能性，两者结合可以有效提升自身的化学专业素养.

设规范化后的犹豫模糊决策矩阵

(9)

这里,矩阵M 中的任意犹豫模糊数h _ij (i =1,2,…,m ;j =1,2,…,n ),其元素个数相同,并且按增序进行排列.

亲爱的牦哥，谢谢你，谢谢你还记得我这弱女子。其实，我时时刻刻在想念你。但不知你漂流在何方，我常常仰望蓝天为你祝福。

2.3 确定属性权重

记加权后的规范化决策矩阵为G =[g _ij ]_m×n ,其犹豫模糊决策元素g _ij (i =1,2,…,m ;j =1,2,…,n )由下式给出

g _ij =w _j h _ij .

(10)

设矩阵G 的正理想解为其中,犹豫模糊数定义为

现阶段乡镇地区在进行水利工程管理时，存在监督不到位的问题。首先，工程管理工作能够约束施工人员的施工行为，提高其对施工工作的重视程度，能够避免出现施工质量问题。部分水利工程管理人员没有发挥出其监督意义，严重降低了水利工程施工的整体质量，难以为农业生产工作提供帮助，阻碍了乡镇地区经济发展。其次，在乡镇地区进行水利工程施工时，保障施工工作运行畅通是施工的重点。但在实际进行施工时，相关管理单位没有构建完善的管理制度，导致管理工作缺乏实效[1]。

(11)

显然,犹豫模糊数可由矩阵M 直接给出。

设矩阵G 的负理想解为其中,犹豫模糊数定义为

(12)

显然,犹豫模糊数也可由矩阵M 直接给出。

具有代表性的气样和已知组成的气体标准物质在相同的操作条件下，用气相色谱法进行分离。样品中重烃组分可以在某个时间通过改变流过色谱柱载气的方向，获得一组色谱峰，这组重烃组分是C6和更重组分的加和峰。由气体标准物质的组成值，通过对比样品气和气体标准物质的响应值，计算获得样品的相应组成。

(13)

其中,为犹豫模糊数g _ij 和的欧氏距离测度,为犹豫模糊数h _ij 和的欧氏距离测度。显然,d _i ,i =1,2,…,m 的值越小,方案x _i 与矩阵G 正理想解间的距离越近,说明方案x _i 越优秀。

为了计算距离d _i 的值,首先需要确定属性权重向量w =(w ₁,w ₂,…,w _n )^T的值。总体上,我们希望每个方案和矩阵G 正理想解间的距离应尽可能地小。同时,由于各个方案是公平竞争的,不存在任何偏好关系。因此,我们可以建立如下的非线性规划问题来求解属性权重向量

w _j ≥0,j =1,2,…,n

(14)

式(14)所示的非线性规划问题中,优化变量为w =(w ₁,w ₂,…,w _n )^T。当w 取得最优解时,每个候选方案和矩阵正理想解间的距离都在“最小二乘”的意义下达到最优。此时,距离正理解最近的方案即为最优。

显然,有0≤CI (x _i )≤1,i =1,2,…,m ，当CI (x _i )的值接近于1时,方案x _i 距离正理想解更近,同时距离负理想解更远。因此,根据相对贴近度CI (x _i )的值,可以确定所有备选方案的排序,从中选出最优方案。引入相对贴近度的目的,是使方案排序算法更具客观性和稳定性。

(15)

此处,可以通过引入辅助函数

(16)

根据式(16),可知,对于任意j ∈{1,2,…,n },都有因此,可得²D ≻0。

(17)

(18)

w _j ≥0,j =1,2,…,n

(19)

下面通过4个定理来说明:式(17)、(18)和(19)所确定的非线性规划问题是凸问题^[10],且具有唯一最优解,并给出其最优解的解析解形式。

定理1:由式(18)和式(19)所确定的非线性规划问题的可行域G 是凸集。

证明:假设,w ^*和w ^**是可行域G 上的任意两点。则对于所有的j ∈{1,2,…,n },w ^*和w ^**需要满足式(18)和式(19)所确定的两个条件,即

从凸集的定义出发,对于任意θ ∈[0,1],可做如下推导:

显然,对于任意θ ∈[0,1],由θw ^*+(1-θ )w ^**所确定的点也满足式(18)和式(19)所确定的条件。因而,θw ^*+(1-θ )w ^**也是可行域G 上的点,即可行域G 上任意两点w ^*和w ^**之间的凸线段都在可行域G 内。

因此,可行域G 符合凸集的定义。

引理1:假设X 为开凸集,函数f (x )在X 上二阶连续可微。则函数f (x )是凸集X 上凸函数的充要条件是:f (x )的Hessian矩阵是半正定矩阵。即,对于任意x ∈X ,都有

Leschot (Felsa)也宣布推出一款以ETA2824为基础的机心。起价125瑞士法郎。其购买了Technotime 法国85%的股份，将生产改进到现行水准。如今向Camy这样的品牌供应几千件产品。他毫不遮掩自己的雄心：五年内50万件。

²f (x )0

特别地,如果对于任意x ∈X ,都有

²f (x )≻0

则函数f (x )是严格凸函数(反过来不一定成立)。

证明:根据引理1,可得

²D

来进一步简化计算。如此,非线性规划问题(14)可以进一步简化如下

所以,目标函数D 是凸集G 上的严格凸函数。

微生物的生长曲线代表该微生物在新的环境中生长繁殖直至衰老死亡全过程的动态变化，一般分为迟缓期、对数期、稳定期和衰亡期4个阶段。鲁氏酵母菌生长的标准曲线见图1。

定理3:由式(17)、(18)和(19)所确定的非线性规划问题是凸优化问题,其最优解存在且唯一。

证明:根据定理1和定理2可知,由式(17)、(18)和(19)所确定的非线性规划问题的可行域G 是凸集,目标函数D 是凸函数。因而,该非线性规划问题是一个凸优化问题,其局部最优解为全局最优解。下面对其最优解的唯一性进行证明如下(用反证法):

假设w ^*和w ^**是该非线性问题在可行域G 上的两个最优解,则必有

D (w ^*)=D (w ^**),

因为,凸优化问题的局部最优解为全局最优解。

同时,根据定理2,对于任意θ ∈[0,1],由目标函数D 的严格凸性可以做如下推导

因此,方案x _i ,i =1,2,…,m 与加权决策矩阵G 正理想解间的欧氏距离测度可以表示为

D [θw ^*+(1-θ )w ^**]<

θD (w ^*)+(1-θ )D (w ^**)=D (w ^*).

参考国外机构知识库建设的经验和建库技术，再加上一些课题及文献的出谋划策，所以国内机构知识库的建设虽然起步比较晚，但是发展势头强劲。根据文献资料可知，截至2010年5月9日，在OpenDOAR上注册的中国大陆及港、澳、台地区的机构库总数为30个，而截至2018年9月该数目增加至106个。可见，8年内注册的中国机构库数目增长了近4倍，还不包括一些目前在建的没有注册的机构库。但是，这已注册的106个机构库中，大陆及港、澳地区仅有45个，其中属于高校建设的机构库不足10个。

即,D [θw ^*+(1-θ )w ^**]<D (w ^*)。这与w ^*和w ^**同时是可行域G 上两个最优解的论述相矛盾。

因而,由式(17)、(18)和(19)所确定的非线性规划问题,其最优解存在且唯一。

定理4:由式(17)、(18)和(19)所确定的非线性规划问题的最优解是

(20)

证明:构造如下Largrange函数

其中,λ 为Largrange乘子。

根据著名的KKT(Karush-Kuhn-Tucker)条件,令和分别可得

联立求解以上两式,可得

根据近日签署的一份合同，法马通公司(Framatome)将为美国安特吉公司(Entergy)阿肯色核电一期1号机组提供使用了铬涂层包壳的燃料棒。

即为由式(17)、式(18)和式(19)所确定的非线性规划问题的最优解,证明完毕。

受里奇理论的启示，如果我们把量子力学的态迭加、坍缩现象引入摄影理论观测，那么可以比较容易发现和理解当代数码摄影的量子—数码世界观转向。令人惊奇的是，后现代理论家们如罗兰·巴特、雅克·德里达、让·鲍德里亚等卓越学者，早就站在新世界观（量子—数码世界观）的高点前瞻摄影的发展，牛顿式—传统摄影理论已经悄然向量子—数码世界观转换。这也是数码时代摄影实践转向的理论凝结。

2.4 方案排序

备选方案x _i ,i =1,2,…,m 与加权决策矩阵G 的负理想解间的欧氏距离测度可以表示为

(21)

其中,为犹豫模糊数的欧氏距离测度,的定义见式(12)。

根据式(13)和式(21),可以计算每个备选方案与加权决策矩阵G 正理想解间的相对贴近度,其定义为

定理2:由式(17)所构成的非线性规划问题的目标函数D 是凸集G 上的严格凸函数。

(22)

为简化计算,可以将该问题的目标函数进一步推导如下

根据备选方案x _i 与加权决策矩阵G 正理想解间相对贴近度的大小,可以对方案集X ={x ₁,x ₂,…,x _m }进行优劣排序,进而选出最优方案。

算法1 备选方案优劣排序算法:

Step1:收集整理决策者给出的犹豫模糊评价信息,并进行必要的一致规范化处理,得到如式(9)所示的规范化犹豫模糊决策矩阵M ;

Step2:根据式(16),计算得到中间参数

Step3:根据式(20),计算出各属性权重并根据式(10)得到加权决策矩阵G ;

Step4:根据式(13)和(21),计算备选方案x _i ,i =1,2,…,m 与加权决策矩阵G 的正、负理想解间的距离测度d _i 和

Step5:根据式(22),计算出各方案的相对贴近度CI (x _i ),i =1,2,…,m ;

Step6:根据相对贴近度值的大小,对方案集中的备选方案x _i ,i =1,2,…,m 进行优劣排序。

3 算例分析

3.1 问题描述

现代战争中,作战方案的质量是联合制胜的重要保证。在统一的衡量标准下,对多个作战方案进行鉴别、比较,能够实现多个方案的优劣排序,进而选出最优作战方案。

假设某军事决策组拟从5个备选作战方案{x ₁,x ₂,x ₃,x ₄,x ₅}中择优选择1个。为了选择出最优的作战方案,该决策组提出了4个评价属性{a ₁,a ₂,a ₃,a ₄}:分别表示作战方案的实施成本、作战方案本身的合理性、实施方案的潜在收益、以及实施该方案的潜在风险。其中,属性a ₁,a ₄为成本型属性,属性a ₂,a ₃为效益型属性。属性权重向量w =(w ₁,w ₂,w ₃,w ₄)^T未知,且满足非负和归一条件。决策者的评价信息以犹豫模糊决策矩阵的形式给出(见表1):矩阵的犹豫模糊元素{0.3,0.5,0.6}表示评估组在评估方案x ₁满足属性a ₁的程度上意见不一致,其评估值可能是0.3、也可能是0.5或0.6。

表1 犹豫模糊决策矩阵 A

3.2 决策矩阵一致规范化

根据2.2节所述的犹豫模糊矩阵一致规范化方法,首先将决策矩阵A 中的成本型属性a ₁,a ₄转化成效益型属性;然后,按照风险厌恶的规则^[11],通过重复增加元素个数较少的犹豫模糊数中的最小元素,使得决策矩阵中的所有犹豫模糊数具有相同的元素个数,并且其内所有元素按增序进行排列,结果如表2所示。

表2 规范化的犹豫模糊决策矩阵 M

根据式(11)的运算规则,可知决策矩阵M 的正理想解为

u ⁺={H {0.6,0.7,0.8},H {0.7,0.8,0.9},

H {0.9,0.9,0.9},H {0.8,0.85,0.9}};

根据式(12)的运算规则,可知决策矩阵M 的负理想解为

u ^-={H {0.3,0.4,0.4},H {0.3,0.4,0.5},

H {0.4,0.4,0.5},H {0.15,0.25,0.3}}

3.3 属性权重确定

根据式(4),首先计算出各备选作战方案属性值到决策矩阵M 正理想解的距离测度集如表3所示。

表3 各方案到决策矩阵 M 正理想解的距离集

然后,根据式(16)可以计算出辅助函数的函数值e ₁=0.4899,e ₂=0.5323,e ₃=0.7943,e ₄=0.7566。

最后,根据式(20)可以计算出各属性的权重

3.4 作战方案排序

根据2.4节所述的备选方案优劣排序算法,本节按照以下5个步骤对各备选作战方案进行优劣排序。

Step1:根据式(13),计算各备选作战方案x _i (i =1,2,…,m )与加权决策矩阵G 正理想解间的距离测度d _i ,结果如表4所示。

表4 各方案到加权决策矩阵 G 正理想解的距离测度

Step2:根据式(4),计算各备选作战方案属性值到决策矩阵M 负理想解的距离测度集结果如表5所示。

表5 各方案属性值到矩阵 M 负理想解的距离测度集

Step3:根据式(21),计算各备选作战方案x _i (i =1,2,…,m )与加权决策矩阵G 负理想解间的距离测度结果如表6所示。

表6 各方案到加权决策矩阵 G 负理想解的距离测度

Step4:根据式(22),计算各备选作战方案x _i (i =1,2,…,m )与加权决策矩阵G 正理想解间的相对贴近度,结果如表7所示。

表7 各方案到加权决策矩阵 G 正理想解的相对贴近度

Step5:根据相对贴近度的大小,对各备选作战方案x _i (i =1,2,…,m )排序如下:

x ₁≻x ₂≻x ₃≻x ₅≻x ₄。

根据排序结果可知,第1种作战方案为最优,第4种作战方案为最劣。

3.5 比较分析

为对本文方法的有效性进行说明,这里对同一算例的计算结果与其他两种不同决策方法所得到的结果相比较,结果如表8所示。

表8 不同决策方法的结果比较

从决策结果上来看,这三种方法的最优决策方案是相同的,都是备选方案x ₁为最优,即选择第1种作战方案为最优。不同之处是备选方案x ₄,x ₅的排序,即第4种作战方案和第5种作战方案的优劣情况:在这个问题上,本文方法与文献[12]的结果是一致的,第5种作战方案优于第4种作战方案;而文献[11]的决策结果是第4种作战方案优于第5种作战方案。

从决策过程上来看,文献[12]的决策方法需要决策者事先给定属性的权重信息,决策者的主观随意性对决策结果有很大的影响;文献[11]通过组合赋权的方式,部分减少了决策者对属性权重信息处置的主观随意性。但是,本文的方法,完全采用客观赋权的方式,彻底消除了决策者对属性权重信息处置的主观随意性,具有客观实在、适用范围广泛的特点。

4 结束语

本文针对不确定条件下的作战方案优选问题,提出了一种基于客观赋权的模糊优选方法。该方法以逼近理想解算法为思想基础,以属性权重向量求解为中心环节,以非线性规划为主要数学工具,具有论证过程清晰严谨、算法简明有效的特点。数值实验表明,该算法能够有效避免了属性权重向量求解过程中的决策者的主观因素影响,具有逻辑清晰、客观实在、操作简单的特点。同时,通过和其他已有算法的比较,也从侧面上证明了论文所提算法的有效性。

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Fuzzy Optimization of Operational Alternatives Based on Objective Weighting

FANG Bing, HAN Bing, XU Ping

(Operation Center of Army Command College, Nanjing 210045, China)

Abstract : The optimization of operational alternatives is the key to improving decision-making and ensuring joint success.However, the complexity and cruelty of modern warfare often make decision-makers face obstacles to choice, making them hesitant on key issues and difficult to give clear decision-making information.The paper provides a convenient information-descripting tool for decision-makers to make effective decisions by modeling the operational alternatives optimization process as a multi-attribute decision-making (MADM)problem with attribute values being hesitant fuzzy element (HFE).On this basis, the paper proposes a fuzzy optimization method based on objective weighting.This method firstly uses the famous TOPSIS algorithm as the basis of the idea to establish a nonlinear programming model for solving the attribute weight vector, and further reformulate it as a convex optimization problem.Secondly, based on the proof that the convex problem has a unique optimal solution, the closed-form solution is also provided.Finally, based on the objective weighting solution, the ranking algorithm of operational alternatives is proposed, and its effectiveness is numerically verified.

Key words :operational alternatives optimization; hesitant fuzzy element; multi-attribute decision-making; nonlinear programming; TOPSIS; convex optimization

中图分类号: O236；E911

文献标志码: A

DOI :10.3969/j.issn.1673-3819.2019.06.007

文章编号： 1673-3819(2019)06-0034-07

收稿日期： 2019-08-06

修回日期： 2019-09-22

*基金项目： 国家自然科学基金项目(71401177)

作者简介： 方 冰(1980—),男,河南确山人,讲师,博士,研究方向为作战运筹、无线通信和数学优化。

韩 冰(1974—),男,博士。

(责任编辑:胡前进)

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