摘要：数与形是数学中两个最基本的研究对象，数形结合就是把抽象的数量关系和直观的几何图形有机地结合起来。这主要包括两方面的内容：一是“以形助数”，即数量关系借助于图形及其性质使之直观化、形象化，从而获得解题方法；二是“用数解形”，即将几何图形的问题经过数量化描述，借助代数计算获得解题方法。
关键词：数形结合；以形助数；用数解形
数形结合思想在新课程背景下，有其广阔的应用空间。“数”与“形”是数学中两个最基本的研究对象，每一个“形”中，即每一个几何图形中都蕴含着一定的数量关系，而“数”中又常常可以通过几何图形做出直观的描述和反映。“数无形少直观，形无数难入微”，数形结合就是把抽象的数量关系和直观的几何图形有机地结合起来。就初中数学而言，数轴建立起实数与数轴上点之间的一一对应关系，使得一元代数式与一元方程、不等式有了直观的几何意义；平面直角坐标系建立起有序实数对与平面上的点之间的一一对应的关系，使任何一个二元方程或不等式都与平面曲线或平面区域相对应，函数及其图像诠释了这种对应关系；另外线段的长度、平面图形的面积、角的大小以三角函数度量等又从另一角度勾勒了数与形有机结合。在数与形转换的理论基础上自然地产生了数形结合的解题策略：一是“以形助数”，即数量关系借助于图形及其性质使之直观化、形象化，从而获得解题方法；二是“用数解形”，即将几何图形的问题经过数量化描述，借助代数计算获得解题方法。
一、以形助数
“以形助数”，即将代数问题转化成几何图形问题，由图形性质的启示抓住问题的本质，以达到解决问题的目的，从而提高分析问题、解决问题的能力。
1.利用数轴将代数问题转化成几何图形问题
在初中阶段所学过的数的最大范围是实数，而点是最简单的几何图形，数轴恰好把这两个不同的事物有机地结合起来，使它们建立一一对应关系，数轴是解数形结合问题的强有力工具之一。
说明：此题利用直角坐标系，把图形中的点用准确的坐标来表示。
三角函数也是数形结合的纽带，通过三角函数的几何表示，加深了学生对数形结合思想的理解。学习三角函数过程中，应体会如何将直角三角形这个“形”的问题，转换到直角坐标系下点的坐标这个“数”的问题。
2.利用方程(组)解决平面几何问题
例6.如图4，在△ABC中，D为AB上点，DE∥BC，交AC于点E，设S△ABC＝S，S△BDE＝S’，求证：S≥4S’
证明：设DE＝x，BC＝a，作EF∥AB交BC于F，则BF＝x，
S□DEFB＝S－S△ADE－S△EFC＝S－S，即
2S’＝S﹣S，整理得
又∵x为实数，∴△＝4≥0，即S≥4S’
说明：构造二次方程后，可利用违达定理和判别式等进行解题。许多平面几何问题可以通过设元转化成方程问题,比如直角三角形中,根据勾股定理和等积法列出方程。近几年的中考考试题中，矩形的翻折问题已成为一个热点，实质上翻折问题是一个轴对称问题，根据翻折前后的对应线段和对应角相等，利用方程模式去解决。还可以利用相似图形的相似比和面积比等列方程，动态几何问题中的边长经常用未知数来表示,根据题目中的数量关系利用方程或函数建模来求解.
“数”与“形”两者间是互为条件、互相渗透、互相促进的相辅相成的关系，分开是为了对某一方面的本质更深入的研究，结合是对两者更全面的认识。著名科学家拉格朗日曾经说过：“只要代数同几何分道扬镳，它们的进展就缓慢，它们的应用就狭窄，但是当这两门科学结合在伴侣时，它就互相吸取新鲜的活力，从那以后，就从快速的步伐走向完善。”
(作者单位：浙江省鹿城区双屿中学 325000)
论文作者:张怡红
论文发表刊物:《中学课程辅导●教学研究》2017年9月下
论文发表时间:2018/1/30
标签：几何图形论文; 数轴论文; 关系论文; 方程论文; 直观论文; 直角论文; 代数论文; 《中学课程辅导●教学研究》2017年9月下论文;