“自主学习与创新意识培养数学课堂教学模式”研究课一例——“等差数列前n项和”教学实录，本文主要内容关键词为：等差数列论文,一例论文,教学模式论文,创新意识论文,自主学习论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
《晋通高中数学课程标准（实验）》中指出：“高中数学课程应力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识”.数学公式教学应包含三部分：公式的发现、公式的证明和公式的应用.但当前，由于受应试教育的影响，前两部分往往是“蜻蜓点水”“一带而过”，而第三部分却弄得“脚踏实地”“反复操练”，这显然与“既要重结论，义要重过程”的现代教育理念不相符.其实，在数学公式教学中，所谓“重过程”就是要把当初数学家发现和证明数学公式的经历，通过教师创造性的设计，让学生类似的经历数学公式的发现和证明这一再创造的过程；“重过程”就是让学生在不断地发现问题、提出问题、解决问题的过程中，潜移默化地学会研究数学的方法，提高数学素养，学会数学地思考，发展创新意识.下面叙述的是按照“自主学习与创新意识培养数学课堂教学模式”设计的“等差数列前n项和”研究课的全过程.不妥之处，敬请专家、同行赐教.
一、设计问题，创设情境
教师：德国著名数学家高斯被人们称为“数学王子”，因他小时候就非常聪明，他是历史上不多见的以“神童”著称的一位数学家.一则广为流传的故事是高斯10岁的时候，有一天，老师为了让班里的孩子们有事干，便出了一道题，即
问题1 求1+2+3+…+100=？
然而老师刚把题写在黑板上一会，小高斯就求出了它的结果，你知道应如何计算吗？
学生1：因为1+100=101，2+99=101，…50+51=101，于是所求的和是（101×100）/2=5050.
学生2：设s=1+2+3+…+100，
①
则s=100+99+98+…+1，
②
①+②得，2S=101×100，
所以S=（101×100）/2=5050.
（此故事及学生1的算法早已为学生所熟知，这里重提此故事，主要是希望学生由此能提出更一般地问题，发现新的算法，如学生2的算法，已见等差数列前n项和推导方法—倒序相加法的雏形）.
问题2 如图1，是一垛钢管，最下面一层放了102根，最上面一层放了3根，往上每一层都比它下面一层少放一根.这垛钢管共放了多少根钢管？
不一会儿，就有学生举手回答.
学生3：由等差数列的通项公式易知，这垛钢管共100层，由图1联想到梯形的面积公式的推导方法，用类似的方法去想.如图2所示，可以看出图2每层均有3+102根，又知共100层，故共有（3+102）×100根.从而得这垛（图1中）钢管的根数为（（3+102）×100）/2=5250.
学生4：我和学生3想的差不多，由图1联想到梯形的面积公式：梯形的面积=｛（上底+下底）×高｝/2，于是，图1中的钢管数为：（（3+102）×100）/2=5250.
（众生羡慕不已，教师也为该生的创造性解法所折服，这个解法出乎意料！但该解法缺乏依据，为了保护学生的积极性，教师未否定）
二、提出问题，解决问题
教师：由问题1及问题2，同学们能想到些什么问题吗？
学生5：由问题1想到能否求：从1一直加到n呢？即
问题3：求1+2+3+…+n=？（n∈N[，+]）.
教师：学生5提出了一个较问题1更为一般的问题，谁能说说所谓求1+2+3+…+n=？（n∈N[，+]），是什么意思？即题中的“？”应当是一个什么样的表达式？
学生6：所谓求1+2+3+…+n=？（n∈N[，+]），就是要想办法消除左式中的“…”号，而将式子中的“？”用n表示出来.（这一环节不容忽视！这样才能弄清题意、弄清解题目标.）
教师：很好！谁能求出其结果？
学生7：仿问题1中学生2的解法，有
因为1+2+3+…+n=？
③
所以n+（n-1）+（n-2）+…+1=？
④
③+④得，（1+n）n=2？，所以？=（n（n+1））/2.
即1+2+3+…+n=（n（n+1））/2.
（※）
教师：上述方法是解决这类问题较方便的方法，大家给这种方法起个恰当的名称好吗？
（经讨论大家一致同意叫“倒序相加法”.将起名字的任务交给学生，一是为了激发学生的学习热情，促进学生的概括能力和交流能力的提高；二是能加深对这种方法的认识，并为后续内容的学习做准备.）
学生8：问题1和问题2都是求等差数列前n项和问题，最终都是首项与末项的和乘以项数再除以2，因此，我认为等差数列｛a[，n]｝的前n项和S[，n]的计算公式应为：
教师：这只是一个猜想，其正确性有待于证明
三、学生探索，证明猜想
（由于学生还没有学习数学归纳法，因此，虽不能作为一个完整的证明，但也算是一个好思路.）
学生10：要想确定S[，n]，首先a[，1]和n是必需的，其次是d或a[，n]之一.即计算S[，n]的表达式中必有a[，1]，n，d（或a[，n]）.
四、数形结合，继续探索
教师：由上节课我们知道：等差数列｛a[，n]｝的通项公式是a[，n]=a[，1]+（n-1）d，也可以写成a[，n]=dn+（a[，1]-d），且知，当d≠0时，它是关于n的一次函数，因此，表示等差数列｛a[，n]｝的各点（n，a[，n]）均在一次函数y=dx+（a[，1]-d）的图象上，是其图象上均匀排开的无穷多个孤立的点.比如图3，试问你能借助图象给出公式
的几何解释吗？
学生12：将图3画成图4所示的“楼梯状”（实线部分）图形，则等差数列｛a[，n]｝中的a[，1]，a[，2]，a[，3]，…，a[，n]恰好依次为图4中各个实线小矩形的面积.因此，要求S[，n]=a[，1]+a[，2]+a[，3]+…+a[，n]，相当于求图4中这些实线小矩形的面积之和.
受问题2解法的启发，只需再倒置上一个同
[（☆）式一出，下面立即炸了锅，有的自言自语，有的指着黑板相互交流，个别学生大声说不对吧？]
教师：同学们认为上述解法的问题在哪里？
学生14：（☆）式肯定错了，比如取n=2时，由（☆）式得，S[，2]=2a[，1]+（1/2）d，当d≠0时，与S[，2]=a[，1]+a[，2]=2a[，1]+d相矛盾.
教师：很好！用一个特例否定一个结论是数学中的一种重要方法.
学生15：（很激动的样子）我找到原因了！不应当类比三角形的面积公式，而应当类比梯形的面积公式，因为上底长为1（个d），而不是0.
（问题的症结找到了，问题解决了，师生都松了一口气.但该解法缺乏依据，为了保护学生的积极性，教师仍未否定）
学生16：受问题2的启发，将图5旋转180°所得数阵拼到图5的数阵上得图6，可以看出图6每行有（n-1）个d，又共有n行，所以
五、裂项求和，锦上添花
教师：同学们在小学和初中时，曾经做过以下问题：
所以
（n≥2）.（以下略）.
教师：棒极了！用裂项法求和就是将和式中的每一项都分解成两式之差，其关键是所分解成的两式之差，在求和的过程中能达到消项之目的.
六、课堂小结，观点提炼
教师：我们这节课主要发现和证明了等差数列的前n项和公式，共有两个公式，它们之间可以相互转化.同学们能否说一说这两个公式有什么用途吗？
学生：这两个公式共涉及a[，1]，n，d，a[，n]，S[，n]五个量，知道其中的任意3个，则可求另外的2个.
教师：在发现和推导公式的过程中，都用到了哪些数学思想方法？
学生：由特殊到一般，归纳——猜想，倒序相加法，构造法，裂项求和法，类比联想，数形结合，看成能力.
教师：同学们的体会都很深刻，课后同学们要注意落实今天的知识内容和数学思想方法.另外，请进一步研究学生4和学生15的解法，看能否找到其理论依据？若没有理论依据，那么就不能算是数学意义上的正确解法.
七、课后思考
1.一堂课结束了，但学生研究数学的工作仍在继续，大多数学生不仅仿问题1学生1的解法，分n是奇、偶数求出了1+2+3+…+n，有些学生还给出了求1+2+3+…+n的数形结合法、数阵法和裂项法，而且有几位学生将S[，n]变形为
，进而发现：（1）等差数列的前n项和S[，n]是关于n的常数项为0的二次函数（d≠0），数对（n，S[，n]）是二次函数图象上的一些孤立的点；（2）S[，n]/n是关于n的一次函数（d≠0），数对（n，S[，n]/n）是一次函数图象上的一些孤立的点.个别学生甚至提出这样的命题：若数列｛a[，n]｝的前n项和S[，n]是关于n的常数项为0的二次函数，则数列｛a[，n]｝是等差数列.这种情况的出现是原来的“一言堂”课堂教学所没有出现过的，这是实施“自主学习与创新意识培养数学课堂教学模式”指导课堂教学的结果.我们看到了学生的潜能所在，我们看到了教学改革的成效.
2.本节课一改过去七八分钟推导公式，然后就是一题接一题的做课堂练习的“快节奏”课堂教学模式，把重点放在公式的探索发现和推导方法的探索上.一是它激发了学生探究数学的兴趣和热情；二是本节课推导等差数列求和的思路、方法可迁移到其它数列的求和问题中去，其潜在价值不容忽视；三是学生创造性思维火花的不断碰撞和相互启发，促进了每位学生思维的发展，使学生看问题的角度不断扩大.
3.从表面上看本节课学生仅仅获得了公式，但学生通过由特殊到一般，归纳一猜想，而发现了公式，训练了学生的合情推理能力；倒序相加法、裂项法、数形结合（包括数阵法）等多种方法在推导公式中的运用，不仅为后续内容的学习打下了坚实的基础，而且对学生数学能力的提高和数学素养的熏陶都有较大的作用.
4.反思等差数列求和公式的推导，我们也发现了种种遗憾.如学生4及学生15的解法均缺乏根据，但教师赞赏学生这种善于通过类比联想而发现的创造性解法，为了保护学生的积极性和创造性，没有进行否定，而是让学生课下思考，是否妥当？需要研究.又如数形结合方法，裂项法等，都是由教师提出来的，若是能由学生主动提出就更好了.为此急需加强对学生提出问题的能力的训练和培养，使学生不只会做学“答”，还会做学“问”的任务任重而道远.
数学不需要哗众取宠的“新潮”；数学也不需要华而不实的“热闹”；培养“能力”，提高“素质”靠的是扎扎实实的对待每一节课，甚至每一个概念、公式、定理，小到每一个问题.数学教学应以数学知识为载体，以数学思想方法为核心，以提高学生能力和素质为目的.弗赖登塔尔认为：“数学知识不是教出来的，而是研究出来的”.所以，我们必须让学生知道数学究竟搞的是什么；我们必须注意于数学家所用的工作方式，并围绕它，而不是围绕着数学家工作的结果来组织教学.作为一名数学教师应努力做到使学生感到是在“玩”中学习数学、数学是“玩”出来的（并不是不要刻苦努力），并最终达到“数学好玩”的目标.