焦晓祥, 徐言[1]2017年在《复Grassmann流形中的实迷向极小二维球面》文中研究说明本文研究了复Grassmann流形中极小曲面的两种迷向性质之间的关系.首先给出了实迷向的定义,之后用整体微分形式刻画实迷向性质,然后介绍Calabi的线丛上的联络理论作为主要计算方法,最终运用调和序列理论证明复迷向性质强于实迷向.作为应用,本文证明了复射影空间中的极小二维球面是实强迷向的.
莫小欢[2]1994年在《复Grassmann流形中的全实极小曲面》文中认为从所周知,对于从Riemann面到CP~n的调和映射(?),我们可用(?)变换和(?)变换定义调和映射的序列.我们称之为调和序列.若(?)的调和序列中有k个相邻映射两两正交,则称(?)是k正交.显然,(?)至多为n+1正交.若(?)是n+1正交的但非伪全纯,则其调和序列{(?)_p}_(p∈z)是正交周期n+1,即(?)_0,…,(?)_n两两正交,且(?)p+n+1=(?)_p对一切p∈Z.这时我们称(?)是超共形的.由Ohnita的分类定理易得:
李康[3]2015年在《Grassmann流形的子流形几何》文中研究说明本文主要采用活动标架法研究了复Grassmann流形G(k,n)中的调和二维球面,复射影空间CPn中的齐性三维球面和二次超曲面Q2中的具有平行平均曲率向量的曲面及Lagrangian曲面。我们在S2上构造了一系列全纯微分形式,并且由此得到了G(2,4)和G(2,5)中调和二维球面相配的标架和其准线；利用SU(2)的复不可约表示构造了CPn中的一列齐性三维球面,它们既非弱Lagrangian型也非CR型；引入Q2中具有平行平均曲率向量曲面的偏差角e,证明存在一簇从单连通曲面到Q2的具有平行平均曲率向量的等距浸入；最后描述了Q2中一类具有常曲率的H极小Lagrangian曲面,并且给出了一个Gaussian曲率K＝2的极小Lagrangian球面。
黎镇琦[4]1997年在《复Grassmann流形中的极小曲面》文中研究表明§1 引言 近年来，关于曲面M到复Grassmann流形G(k，n)的调和映照方面有很多论文[CW2，Wo12，W1，Uh]。这些文章着重于研究调和映照的构造法和分类等，很少涉及曲面(像)的几何性质如诱导度量，曲率等。对G(k，n)中极小曲面M的几何性质的研究，有助于加深对M到G(k，n)中调和映照的了解。 另一方面，在复射影空间CP~(n-1)中的全纯(及极小)曲面的经典理论中有很多漂亮的结果。例如，若γ：M→CP~(n-1)是全纯浸入，则有：(1)刚性定理：γ被其诱导度量唯一确定；(2)曲率Pinching定理：如果CP~(n-1)被赋予全纯截面曲率为4的标准度量，M的诱导度量的Gauss曲率K满足：4／(t+1)≤K≤4／t(t是正整数)，那么K是常数4／t或4／(t+1)；(3)如果K是常数，那么γ(M)是Veronese全纯球面S~2((?)CP~(n-1))或其一部份，它有一个清晰的表达式~([BJRW])。 由于G(k，n)是CP~(n-1)=G(1，n)的推广，自然要问：上述CP~(n-1)中全纯曲面的哪些结果可被推广到G(k，n)中的全纯曲面?特别是当K是常数时，能否给出一个清晰的表达式?根据[CZ]，K必为正常数，故可假定M为S~2以简化讨论。平凡的情况是CP~1=S~2在CP~(n-1)中的常Gauss曲率嵌入，而CP~(n-1)可嵌入于G(k，n+k-1)作为全纯全测地子流形。除此之外，到目前为止唯一已知的非平凡的整体结果是G(2，4)中K=2的情况~([CZ])。另外，在[J]中对K=4／3的情况给出了一个局部的描述。 基于以上原因，本文研究G(k，n)中的极小曲面。首先，本文导出G(k，n)中全纯S~2的广义Frenet公式和广义Plücker公式。这些公式对G(k，n)中一般的全纯曲面也可有类似的表述。当k=1时，它们就是CP~(n-1)中全纯曲面的Frenet公式和Plücker公式。利用这些公式，文中给出了G(2，4)中K为常数的所有全纯S~2的解析表达式~([L2])。该表达式说明刚性定理对一般的G(k，n)中全纯曲面不再成立。其次，本文给出了G(2，4)中所有K为常数的非全纯极小S~2的解析表达式~([L3])，从而完全确定了G(2，4)中的常Gauss曲率的极小球面S~2。 采用[W1]的记号，每个映照φ：M→G(k，n)对应于平凡丛(?)~n=M×C~n的一个子丛(?)，(?)在p∈M点的纤维为φ(p)∈G(k，n)。(?)~n的平坦联络d诱导了(?)上的联络▽~φ。曲面M上的一个Hermitian向量丛叫做是Einstein的，如果它的曲率变换算子R是数乘变换(在每一点p∈M)。本文证明了G(k，n)中Einstein的全纯S~2(即φ对应的丛(?)是Einstein的)实质上是CP~(t-1)中一个全纯曲面γ：S~2→CP~(t-1)的k重“拷贝”：(?)=(?)⊕…⊕(?)(?)~t⊕…⊕(?)~t(?)(?)~n，因而继承了CP~(t-1)中全纯曲面的所有性质如刚性定理，Pinching定理等。 作为广义Plücker公式的应用，本文得到一些关于G(k，n)中全纯及极小曲面的Gauss曲率的Pinching定理。它们推广了CP~(n-1)中的相应结果。
参考文献：
[1]. 复Grassmann流形中的实迷向极小二维球面[J]. 焦晓祥, 徐言. 中国科学:数学. 2017
[2]. 复Grassmann流形中的全实极小曲面[J]. 莫小欢. 科学通报. 1994
[3]. Grassmann流形的子流形几何[D]. 李康. 中国科学技术大学. 2015
[4]. 复Grassmann流形中的极小曲面[D]. 黎镇琦. 复旦大学. 1997