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摘要：数学作为一种认知结构，构成人类认识物质世界的思维活动的基础。物理认识就是借助于数学的认知结构和物理经验材料之间在建构意义上的逐步平衡来实现的。在这种认识活动中，数学为自然科学的研究提供一种精确可靠的语言；一种揭示隐藏的规律的工具：一种使认识客观化的手段。当然，当涉及到道德规范，价值判断，理想信念一系列人的社会特性时，数学也就失去了自己的认识价值。
关键词：数学 认知结构
自古希腊起，西方人的理智总是倾倒在数学的严密性下，人们惊讶地发现一切现象都可以用数学描述出来，而且只要赋予数学表达式和演算以一定的物理意义，运用计算的结果就一定能够揭示出事物之间的联系，达到对事物的规律性的认识。数学何以在人类认识中扮演如此重要的角色？这必须首先从数学与人类思维的认识结构谈起。
数学：人类思维的认识结构
自从笛卡尔以最明确的形式提出心身二分法以来，数学就和人类认识紧密地联系在一起了。笛卡尔认为心智是按几何的原理构成的，在其作为天赋观念的认知结构中，数学处于一种中心的地位。莱布尼兹企图把人类的思维活动归结为一些符号操作，使人类的思维演算化。康德不满意他们的做法，他一方面强调数学对人类认识的重要性，另一方面却把数学从人类认识中心的地位降低到感性认识地位。康德把数学看作是关于人类认识的先天的直观形式——时间和空间的科学。几何学是人类外在直观的纯形式——空间的科学，其作用是使人类的感性经验成为可能。康德说“空间不是别的，它是一切外在现象的形式，只有建筑在这种形式下，感官对象才能提供给我们，几何学建筑在它的形式之上的，是外在现象可能性所引起依据的东西，因此外在现象只能包含几何学所规定的东西。”[1] 我们感性世界的一切外在对象必然要极其准确地同几何学的命题一致。算术作为人类的内感官的纯形式——时间的科学，其作用要比几何更深一层，它一方面和直观有关，另一方面和知性有关，是介于感性形象和知性概念的一种抽象的感知结构，是想像力对感性直观进行先验综合统一的产物，正是这种先验的图式，使知性通过感性而获得客观实在性，使经验、知识的可能性转变为现实性。康德之所以把数学看作是人类认识的先天感性形式，这和当时数学发展的历史状况是分不开的。在康德时代，数学主要是作为一门实用性的计算科学，数学概念的出现一般都有其实际背景，整个数学是在穆勒的数学经验主义的基础上发展着的。但数学作为一门经验科学，难免会受到休谟怀疑论的诘难，于是康德把数学从现实世界搬到人们的头脑中，想以此来消除由经验主义所带来的不确定性，但他未能摆脱历史的限制。另外，康德把数学看作和人类的感性有关，这一点是正确的，但不是和先天的直观形式有关，而是和人类的感性实践活动有关。皮亚杰从发生认识论的角度指出了这一点。皮亚杰指出，我们必须区分人类认识活动的两种不同的含义，第一种是简单的抽象活动，它从物理对象的信息中导出专属于客体的特性，如重量，颜色等。另一种是反身抽象意义上的活动，它抽象出人类认识活动所表现出来的结构并在此基础上进行再建构。皮亚杰把这种结构称为动作的图式，它是动作普遍协调的产物。在儿童思维发展过程中，儿童在其感知运动阶段（从出生到两岁左右）表现出来的本能图式构成其智力发展的出发点。这种本能图式包括布尔巴基学派所揭示出的三个数学母结构的萌芽。布尔巴基学派把数学归结为三种“数学的母结构”。首先是“代数结构”。代数结构的原型是抽象代数中的群及其派生物环、域等。代数结构是以存在着正运算和逆运算为其特点的（如果T是正运算，T（－1）为其逆运算，则T（－1）·T＝0）。其次是研究各种关系的“次序结构”，其原型是抽象代数中的格，格在数学中定义为一个既是上半格又是下半格的偏序集，格用“前继”和“后继”的关系把它的各个成分联系起来。格的可逆性的普遍形式不再是逆向的线性关系，而是互反性的关系。第三个结构是“拓朴结构”。是建立在邻近性，连接性和界限概念上的结构。这三个母结构，特别是代数结构和次序结构，在儿童的本能思维中表现为非常有限意义上的各种关系和对应（即函数）的建立以及图式的分类，即具有先后次序和彼此集合的思维结构，当然这种思维结构并没有明确的分化出来，但它构成了以后思维演算的基础。正是在这种思维结构的基础上，通过反身抽象和在自身调节意义上的平衡作用，经过前运算阶段，具体运算阶段，形式运算阶段，大约15年的发展时期，其思维以最初萌芽状态的数学母结构发展成为INRC四元群的数学逻辑结构。
代数结构在儿童的思维中表现为分类结构。当儿童从简单的分类活动发展到具体运算阶段，儿童的思维已具有了可逆性和守恒性，已具有类的包含关系的分类结构，这个结构的运演有5个特点：（1）组合性：如A类和它的补余类A′组成总类B，（A+A′＝B）。（2）逆向性： 若A+A′＝B则B－A′＝A。（3）同一性：A－A＝0。（4）重复性： A+A＝A。（5）结合性：（A+A′）+B＝A+（A′+B）。由于重复性的存在、就使得（A+A）－A≠A+（A－A），所以这个分类结构不是一个完全的群，而是一个类似于代数结构的群集。
在儿童的思维中也存在一种非常原始的序列结构，它表现在儿童按从小到大的顺序排列棍子的活动中，这种活动体现出一种系列性结构。这种系列性结构最初相当不完整。但发展到具体运算阶段，就发展为一种相当彻底的结构，整个排列的系列被建立起来。在这种思
于是，我们以代换的方式得到NR＝C:NC＝R；CR＝N；NRC＝I。这是一个把命题组合在内的可逆运算和互反运算联合成的一个单一的“四变数群”（INRC），这个群的出现标志着儿童的思维发展到了最高阶段。是由于形式和内容分离所造成的结果。皮亚杰指出“由于运演进行反身运演的抽象结果，就出现了主体逻辑数学运演的逐步内化，这最后导致可能转换系统（INRC）所特有的超时间性的出现，而主体不再受到实际的转换的束缚了”。[2]法国著名的人类学大师， 哲学家列维·斯特劳斯对原始人的思维的考察中发现的“野性思维的整合性”在一定程度上说明了这一过程。列维·斯特劳斯指出各种图腾文化组成了一个万花筒，由于各种文化内的逻辑轴的数目，性质和内容不同，这一万花筒的彩色碎片产生出各种各样的图腾图案。但支配着这些图案的是由对应法则，顺序法则和分类法则所构成的分类逻辑，这些逻辑法则还具有一定程度的互反性，逆向性，邻近性和连续性。在共时性方面，这些分类逻辑产生出类似于近代科学的动植物分类的图腾系统，同时也能使一个系统达到和另一个系统的同态。在历时性方面，随着历史和环境的变迁，原来的分类系统遭到了破坏，通过分类逻辑的调节作用，使被破坏的系统达到了新的平衡，由一个系统发展到另一个较高级的系统。“系统是一个理论上无限的，具有不同内容的阶梯形的系统所组成。”[3]列维·斯特劳斯把他的分类逻辑称为“图腾算子”。 从儿童智力发展史的角度来看，图腾算子相当于儿童思维在具体运算开始时的一种有限意义上的前逻辑数学图式。无怪乎皮亚杰指出“当今社会和人类学大师列维·斯特劳斯却是直接从普通代数学中引出他的结构模式来的”。[4]库恩也指出；从科学史的角度来看，皮亚杰“对儿童的空间观、 时间观、运动观或者关于世界的观念这样一些主题的富有洞察力的研究，已经反复揭示了它们与古代的成人科学家所持有的观念，有惊人的类似之处”，[5] 如“狭义的原因概念在儿童那里最初来自一个主动的动因的自我中心观念，一个推或拉的人，发出一个力或显示出一种动力。它非常接近于亚里士多德的动力因概念”，[6] 所以“我是从皮亚杰那里学会理解亚里士多德的物理学的”。[7]
那么，作为儿童智力出发点的本能图式又是从何而来？皮亚杰指出这些本能图式是生物组织的一般结构的扩展。[8] 现代生物科学揭示了生物结构和认知结构的同构性，生物机能与认知机能的一致性。这种结构的同构性体现在：（1 ）嵌合结构：在生命组织中“发现的一般的形式是将一个部分或一个子结构嵌合到一个整体或一个整体结构中”。[9]这种结构在思维中表现为数学逻辑图式运演的组合性。在数学中， 克莱因借助于这种嵌套的办法把整个几何构成了一个变换的群体系，将原先各种不同的几何学形成一个从特殊到一般的从属包含的嵌合结构。而这种嵌合结构“不仅出现在动物分类学或植物分类学所展示的层次联系中，而且也出现在发生系统的组织过程中，出现在连续的胚胎阶段，出现在最广义的生物同化过程，最后它们还贯穿于全部行为中”；[10]（2）序列结构：在生物学中，DNA的遗传密码本身就是建立在顺序和序列的基础上，而个体发展表现为一系列调节控制的系列，这种调节产生于基因组和大量的相互作用，由于这种调节，个体发展在阶段上表现出一种由低到高的阶梯性，彼此继承。而生命系统和认知结构的中介——神经系统，麦卡洛克和匹茨指出它是一个具有代数结构的网络，他们详细地分析了神经元的联系，发现它们与二值命题逻辑的16个函项具有相同型关系，换言之，它们与0，1的布尔网络的二进制组合具有同型关系。在机能方面，从基因组和后成型直至高级认知机能，在每一水平上，人们都能发现包含在形形色色结构中存在着同化和顺化基础上的基本适应和同代机能。由于生物结构和认知结构存在着同构性，生物机能和认知机能存在着一致性，乔姆斯基从生成语法的角度认为这种共同的结构构成了人天赋的数学习得装置。他说“线，角，运动以及物质世界其他复杂特性的感觉都是基于神经系统的先天组织”。[11]“处理数的体系和空间的抽象属性的能力就它的本质而言的确不是学到的，此外，它不是通过进化而特别选择出来的……我们可以有用地把语言的能力、数的能力等等看作是心智的器官，类似于心脏或视觉系统，或协调和计划的神经系统”。[12]然而这种做法却要牺牲数学的普遍性和必然性。乔姆斯基说，“物理学以及由于伽利略方式进行探索而产生的它的各类分支，可能是历史偶然的产物，是由于人的心智特点与真实世界的某个方面的偶然会聚所产生的”。[13]“由于科学起源的这种偶然性，我们也许擅长于某些科学领域中发展，而在另外一些领域中却不行。”[14]生物学家B·伦施敏锐地意识到这种牺牲， 于是他就指出数学逻辑的认知结构是外部世界通过连续选择进行调整的产物，以挽救数学逻辑的普遍必然性，但却牺牲了演绎和公理意义上的必然性。然而皮亚杰指出从建构论的角度来看，我们能保留上述二种意义的必然性。皮亚杰把生物水平上的共同结构和机能称为“组织的一般形式”，在反身抽象意义的建构活动中，在儿童身上发展成为感知运动图式，由于感知运动图式中的各种活动结构并没有明确分化出来，更谈不上内化，因而不具有智力运演的特征，属于本能的范围。感知运动的图式不具有必然性，但当思维的运算结构达到封闭时，数学逻辑结构就获得其必然性。如果当儿童仅仅凭借经验探索系列A＜B＜C……的建构时，这种结构不能说是封闭的， 因此在儿童看来，用于客体的转换（如果A＜B，B＜C，那么A＜C）就不是必然的，而只是可能的。一旦在运算上，通过连续筛选余留的或获得的最小元素来建立系列，并最终意识到，任一元素E既大于它的A、B、C的前继，又小于它的后继F、G，那么，结构就成为完整的和封闭的；也就是说，序列内的关系是相互依存的，并且能在自身之中构成，无须求助于系统外的东西，这样思维的数学逻辑结构获得逻辑必然性，而且具有无限扩展的趋势。同时由于数学逻辑结构与自然客体的同构性，而认识就是主体用数学逻辑结构去同化客体，这就使数学逻辑在原则上可以运用于客观世界。但这种运用只有当思维发展到运算的水平，特别是达到具体运算后期的形式与内容的逐步分离的过程中，认知调节（其任务是根据演绎框架组织经验）将达到一种基本的行为调节不曾达到的程度时才能实施。认知调节此时不限于依赖过程或行为的结果在事后进行修正，也不限于对或然性的预见作近似的指导，它们要行使严格意义上的预先修正，避免和排除错误的职能。皮亚杰指出“结构的内部组合法则（倒如可逆性P·P（－1）＝0；无矛盾性的起点）或外部组合法则（结构间的同构性），仅只根据结构的反复迭代所引起的那些闭合作用以保证结构的必然性”[15]。这种必然性也是智力图式和本能图式的根本区别。总的说来，皮亚杰认为数学逻辑的认知结构来源于感知运动的本能图式，而感知运动的本能图式是一般生命组织的扩展。当然这一发展并非是线性的系列，而是“具有超越的趋同的重构系统”。这一系列发展的动力是人类实践的认识活动。
数学：人类客观地理解自然的钥匙
科学是建立在观察事实之上，但一堆事实并不是什么科学，还必须把它们提炼成科学事实。如何提炼，彭伽勒指出“实验只给我们一定数目的孤立的点。我们必须用一条连续的线把这些点连接起来，这就是名符其实的推广”。[16]那么这条连续的线是什么？彭伽勒指出这是数学，“理由是很容易看到的。这不仅因为我们具有用数字表示，还因为可观察的现象是由大量的完全相似的基本现象叠加而成的。……这样，数学的介入才会有用处：数学实际上教导我们把同类的东西与同类的东西组合起来”。[17]因此正是实验物理学被委托作采购工作，而且唯有它能使图书馆丰富起来。至于数学物理学，其任务将是编制书目。即使书目编得再好，图书馆也不会更丰富，但却有助于读者使用它的丰富的藏书。怀特海认为任何有限的数学模式必然涉及到无限的宇宙背景，而无限的宇宙背景只有通过具体化为有限的数学模式才能获得其意义和价值。“因而，把模式灌输进自然发生的事物，这些模式的稳定性，以及这些模式的变更，对于善的实现都是必要条件”。[18]从认知发生的角度来看，上述的思想不无道理，这是因为在思维的水平上，后天的认识依赖于比较复杂的物理实验，表象和知识不能再在遗传的框架中展开，就必须借助于遗传框架的发展的最高阶段——数学逻辑的认知结构来展开。表象需要分类，关系或对应知觉，度量等等，没有数学逻辑的框架，在可观察水平上就不可能有任何表象存在。至于在知觉水平上，就更离不开数学逻辑的认知框架，事实上，在主体与客体直接接触的意义上，“纯粹的”实验是不可能的。观察作为一种观察主体见之于客体的科学实践活动，自然与主体的观察目的、理论背景、知识结构等密切相关。历史主义者汉森在《发现的模式》一书中就提出过“观察渗透理论”的命题。皮亚杰在研究儿童认知发生过程时就发现儿童在理解简单的加速度概念时，或弄通立式圆筒上的小孔向一旁喷射出来的水流是由于圆筒内高于这个孔的水柱的影响而不是由于水的向上运动时，包含了许多的理论前提。“位移或状态的变化似乎是简单的可见的东西，但从它们知觉上的直接理解的那一瞬间起，它们就已被无数的关系结构化”。这种结构化的知觉就相当于格式塔派心理学家揭示的所谓的“组织规律”，该规律实质上是一种时空结构和运动结构的几何化和重构。这种知觉结构组织的几何化是通过主体主动而逐步地使客体彼此发生联系形成的。在一个因素与另一个因素之间，存在着简单的视觉转换关系；在决定比例意义上的“变换”中，存在着复合与多重关系；在参考系（它是作为知觉协调的基础运算）中发生了大小和方向的关系，在守恒中，有互补关系；如此等等。关系是逻辑工具，将事物彼此相关则是逻辑活动，而逻辑活动很快就成为逻辑数学的协调活动，因此，在知觉水平上，物理认知也必然以刚才讨论的逻辑数学框架为前提。皮亚杰指出“物理事实只有经过逻辑数学构架的中介才能为我们认识，从事实的验证开始就是这样，在归纳推理过程中就更是这样”。[19]至于因果关系，皮亚杰认为它是带有时间背景和物理背景的客观算子，“因果归属就由于客观算子在物理上所起的作用跟主体在其演绎推理中所能作到的这两者的会合而使我们能够理解物理实在”[20]总之，在在皮亚杰看来，物理认识绝不是一种对自然的简单的“摹写”，而是一种数学逻辑的认知结构同化物理材料的活动。如果没有某种数学逻辑的构架，物理认识和经验认识就决不会产生，反过来，物理材料的内容会反作用于构架，因而两者的适应是通过把内容同化于构架与构架顺应于内容之间的逐渐平衡来实现的。在这种构架活动中，数学逻辑的作用主要体现在以下两方面：第一数学逻辑为自然科学的研究提供了唯一的表述语言，这是因为日常语言太贫乏，太模糊，不能表达如此微妙，如此丰富，如此精确的关系；第二提供一种研究工具，为了从实验材料中概括出定律，就必须加以推广。但每一种特殊的推广都可以以无限的方式展开，这就必须加以选择，如何选择，这只有借助与类比。那么，是什么东西教导我们认出这些眼睛看不见而理性却能洞察的深奥的类似的呢？这正是数学的精神，数学真正的生命力就在于揭示更为微妙的关系实在，而不仅仅是向物理学家提供一种计算工具。同时这种揭示活动会给人们带来惊人的预言，思维的经济性和精神上的美的感受。
上面谈到了数学作为一种理解自然的工具，这里存在着这样一个问题，因为照经验主义的看法，物理认知既然是用数学逻辑的认知结构去同化物理材料，那么客体将打上主观的烙记。其实不然，因为既然观察渗透理论，那么任何中性的观察结果都不会存在，科学理论的客观性只能是波普世界3意义上的客观性，也就是精神产品的世界的客观性。 而数学正是实现这种客观性的方法和手段。当然这种精神产品的客观性根源于物质世界的客观性，因为数学产生于人类在外部世界的实践活动。德国著名哲学家卡西尔指出“数是人类知识的基本功能之一，是伟大的客观化的过程的一个必要上骤”。[21]数学的这种客观化的根据在于：（1）数学作为一种科学的语言， 为科学家们的交流提供唯一的语言。彭伽勒指出“我们称之为客观实在的东西，归根到底对大多数思维者是共同的，而且对所有的思维者也应当是共同的，我们将会看到这种共同的部分只能是数学定律所表示的和谐而已，正是这种和谐，才是唯一的客观实在”。[22]（2）数学与物理学的联系是构造活动与材料的联系，如果没有数学的认知框架，材料是杂乱无章，不可理解，最重要的是材料将充满主观因素，因为它隶属于自我歪曲的现实和自我中心状况的主观性，而数学的认知框架有助于使主体摆脱自我中心状态和对现实的歪曲，逐步消除材料中的主观因素。皮亚杰从发生认识论的角度指出这一点。皮亚杰指出儿童的认知的发生过程既是其动作图式内化为数学逻辑的认知结构过程，又是外化的整合过程，这种外化的整合过程包括主体的自我中心化的不断解除和对客体算子的不断建构过程。从感知运动水平起，在表象性智力开始出现之时，因果关系都是从活动本身产生出来的。但这种因果关系离物理意义上的作用还很远，因为儿童对压力、阻力，运动的直接传递等的直觉已产生，但在这种力量中主观幻觉和起作用的关系混在一起。特别是客体之间的因果关系，是由于主体把自身的活动和力量根据一种仍然没有分辨能力的心理形态主义而归诸客体所引起的，但从前运算阶段的后期开始，“组成性功能”变得完善起来，这标志着主体的一种最初的解除自身中心化：然后从具体运演阶段开始起通过把运演本身归于客体就出现了因果关系，由此又引起中介的传递活动，在这个水平上的活动开始获得一种物理意义，如推力P 既考虑了重量也考虑了速度，由此得出p＝mv，但力还没有从运动中分化出来。 在具体运演的第二阶段，这种分化就出现了，从形式运演起，就有了加速度概念，由此有f＝ma。这显然是主体的外化整合活动的结果。因此， 皮亚杰指出“把现实内插到其相互关系在演绎推论点是必然的那么一些可能的东西之间时，现实才能被真正达到，不仅在现实的客观性方面而且在现实的可懂性方面被达到”。[23]当然这种解除自身中心化和对客体的建构不仅是儿童心理发展所特有的现象，整个科学发展的历史也是如此。如亚里士多德的物理学中自然运动和非自然运动，天文学中的地球静止不动和地心说就充满了主观思辨的色彩，是人类在自然的中心化思想的表现。这种思想后来发展为以人为中心的经院哲学，在这个哲学里，整个自然都是为人而设计的，科学只不过是形而上学的一个分支，他们借助于动因、自然、位置、目的等充满主观色彩的含糊观念，从本质的角度去思辨地分析运动的所谓“最后因”，然而关于运动本身却很少谈到。伽利略在物理学方面迈出的最初的，也是最重要的和最难的一步，就是从经院哲学在分析变化和运动时采取的模糊的目的论的范畴，跳到关于时间和空间的确定的数学观念，把物理学从经院哲学的自我中心状态中解放出来，把物理运动扩展为数学算子，算子提供的规律独立于认识的主体，从而使物理学的发展走向了健康的道路。所以说数学是实现认识客观化的手段和方法。当然这种客观性的内容随着数学逻辑不断的建构活动而日益丰富，从这个意义上说客观性是一个永远接近而达不到的极限。
当然还需指出的是，数学化的研究方式并非是万能的。怀特海指出，一个有限的数学模式和经验的事实相联系时，“我们发现把数学与善的研究和恶的研究相联系的重要线索”。[24]这里的善，相当于数学的可利用性，恶相当于数学的不可运用性。那么数学恶在何方？怀特海又指出“如果文明继续发展，那么在今后两千年，人类思想中压倒一切的新特点就是数学悟性要占统治地位。”[25]在这里我们发现怀特海是把数学和人类悟性思维联系起来，而这正是康德给数学所设的界限，这是因为超出这个范围，必然要涉及到人的信仰，价值观念，道德判断等一系列极为复杂的人为因素，这些因素是无法采用伽里略式的数学化方式来研究的。否则人类生活的富有色、声、香，充满了喜乐、爱、美的现实世界将会变成一个冷、硬、无色、无声的沉死世界，一个量的世界，一个可用数学计算的运动着的单调世界，这实际上把人赶出了他们所生活的舞台。这显然是不可能的。
最后还需指出的是，皮亚杰虽然指出了由于对动作图式进行反身抽象意义上的重构和平衡调节的结果，一方面出现了主体的数学逻辑图式的逐步内化，最后导致所特有的超时间性的形式思维的转换系统的出现，主体不再受实际转换束缚了。另一方面，随着自我中心化的逐步解除，处于时空动力变化中的物理世界把认识主体作为一个组成部分而整合进去，这时认识主体能客观地理解物理世界的规律，甚至可以进行因果解释。但皮亚杰的目的并不在此，而是想借助于儿童心理发展的过程来说明人类思维的发展过程。[26]如果说个体思维的发展是人类思维发展的重演和缩影，那么，我们可以说数学逻辑的建构过程也是人的本质形成和深化过程，在人类对其思维中的数学逻辑图式的不断重构和平衡调节过程中，人获得其本质特征：思维性、创造性、客观性和社会性，并且日益深化。在建构过程中，数学逻辑图式由实物性动作转变为纯形式的运算图式时，人摆脱了其生物性而获得思想性；由于形式和内容的分离，使各种数学逻辑图式产生了无限多种自由组合可能性，使人具有更大的灵活性和创造性；由于图式变化而引起的机能变化，使人摆脱自我中心状态，导致人的客观性；最终导致人能对现实做出正确的预见，人的社会化。由此可见，数学逻辑活动是人实现其本质的重要手段，人的本质也必将随着数学逻辑的建构的发展而不断深化。
注释：
[1]康德：《未来的形而上学导论》，商务印书馆，第48页。
[2][15][19][20][23]皮亚杰：《发生认识论原理》， 商务印书馆，第56、82、91、94、90页。
[4]皮亚杰：《结构主义》，商务印书馆第12页。
[8][9][10]皮亚杰：《生物学与认识》，三联书店，第312、153页。
[26]皮亚杰：《发生认识论》，商务印书馆，第9页。
[5][6][7]托马斯·S·库恩：《必要的张力》，福建人民出版社，第21、22、23页。
[11][12][13]《乔姆斯基语言哲学文选》，商务印书馆， 第117、158、130页。
[14]转引自维克多·奥卒廷斯基：《未来启示录》，第118页。
[16][17][22]彭伽勒：《科学的价值》，第101、124、191页。
[18][24][25]怀特海：《数学与善》，转引《数学与文化》，北京大学出版社（1990），第8、11、11页。
[21]卡西尔：《人论》，上海译文出版社，第268页。
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