甘肃省陇南市武都区两水中学 746010
一、试题及原解再现
1.题目△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,BD=2DC。
(1)求。
(2)若∠BAC=60°,求∠A。
2.评分标准所给参考答案:
解(1)由正弦定理得= ,= ,因为AD平分∠BAC,BD=2DC,所以== 。
(2)因为∠C=180°-(∠BAC+∠B),∠BAC=60°,所以sin=∠C=sin(∠BAC+∠B)= cos∠B+ sin∠B。
由(1)知2sin∠B=sin∠C,所以tan∠B= ,即∠B=30°。
二、试题的另外解法
1.解法一
解法分析:因为第(1)题是求,在△ABC中,由正弦定理得 = ,运用三角面积公式S△= bcsinA= casinB= absinC,结合已知由△ACD,△ABD的面积比得的值;对于第 (2)题,运用余弦定理求解。
解:(1)因为AD平分∠BAC,所以sin∠BAD=sin∠CAD,
又∠BDA+∠CDA=π,所以sin∠CDA=sin∠BDA,
又S△ACD= AC·ADsin∠CAD= DC·ADsin∠CDA,S△ABD= AB·ADsin∠BAD= BC·ADsin∠BDA, 所以 = 。
又BD=2DC,所以AB=2AC。
在△ABC中,由正弦定理,得:= = 。
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(2)因为BD=2DC,由(1)知AB=2AC,
所以由余弦定理得:
BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠BAC,
9DC2=4AC2+AC2-2·2AC·ACcos60°,
9DC2=3AC2,
3DC2= 3AC,
所以由余弦定理得:
cosB=
=
= = ,
又B∈(0,π),所以B=30°。
2.解法二
解法分析:第(1)题分别在△ABC中,作BC的高线,在△ABD中,作AB的高线,在△ACD中,作AC的高线,结合已知条件,利用三角形面积和锐角三角函数定义求解 ; 第(2)题运用转化思想,在△ABC中,作AB的高线转化为直角三角形求解。
解(1)在△ABC中,作BC的高线AG,在△ABD中,作AB的高线DE,在△ACD中,作AC的高线DF,
由AD平分∠BAC得:DE=DF,
又S△ABD= AC·DF= DC·AG,S△ABD= AB·DE= BC·AG,所以 = 。
又BD=2DC,所以AB=2AC。
在△ABG中,sinB= ,在△ACG中,sinC= ,所以= = 。
(2)在△ABC中,作AB的高线CH。
因为∠BAC=60°,
所以AH= AC,HC= AC,
由(1)知AB=2AC,
所以BH=AB-AH,
=2AC- AC= AC,
所以,在△BCH中,tanB= = ,
又B∈(0,π),所以B=30°。
3.解法三
解法分析:第(1)题同解法一或解法二;第(2)题运用转化思想,在△ABC中,已知∠BAC=60°,又由(1)知AB=2AC,故取AB的中点E,连接CE即可运用等腰三角形及三角形内角和定理等知识求解。
解(1)同解法一或解法二。
(2)取AB的中点E,连接CE。
由(1)知AB=2AC,所以AE=AC,因为∠BAC=60°,所以△AEC是等边三角形,所以∠AEC=60°,EC=AE=EB,所以B=30°。
4.解法四
解法分析:第(1)题同解法一或解法二;第(2)题运用转化思想,在△ABC中,已知∠BAC=60°,又由(1)知AB=2AC,故AC延长至M,使CM=AC,连接BM即可运用等边三角形知识求解。
解(1)同解法一或解法二。
(2)延长AC至M,使CM=AC,连接BM。
由(1)知AB=2AC,所以AB=AM,因为∠BAC=60°,所以△ABM是等边三角形,所以∠ABM=60,所以B=30°。
三、结语
二中的这些解法,基本上抛开命题意图,从另外角度来完成试题的求解;教学中,对解三角形试(习)题,尝试从不同角度探寻解决策略,可打破思维定势,有助于培养学生思维的灵活性及解题能力的提高。
论文作者:司政君
论文发表刊物:《素质教育》2016年1月总第192期供稿
论文发表时间:2016/1/14
标签:解法论文; 定理论文; 角形论文; 高线论文; 余弦论文; 正弦论文; 中点论文; 《素质教育》2016年1月总第192期供稿论文;