甘肃省陇南市武都区两水中学 746010
一、试题及原解再现
1.题目△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC。
（1）求。
（2）若∠BAC=60°,求∠A。
2.评分标准所给参考答案：
解（1）由正弦定理得= ，= ,因为AD平分∠BAC,BD=2DC,所以== 。
（2）因为∠C=180°-（∠BAC+∠B）,∠BAC=60°,所以sin=∠C=sin（∠BAC+∠B）= cos∠B+ sin∠B。
由（1）知2sin∠B=sin∠C，所以tan∠B= ，即∠B=30°。
二、试题的另外解法
1.解法一
解法分析：因为第（1）题是求，在△ABC中，由正弦定理得 ＝ ，运用三角面积公式S△= bcsinA= casinB= absinＣ，结合已知由△ACD，△ABD的面积比得的值；对于第 （2）题，运用余弦定理求解。
解：（1）因为AD平分∠BAC，所以sin∠BAD=sin∠CAD，
又∠BDA+∠CDA=π，所以sin∠CDA=sin∠BDA，
又S△ACD= AC·ADsin∠CAD= DC·ADsin∠CDA，S△ABD= AB·ADsin∠BAD= BC·ADsin∠BDA， 所以 ＝ 。
又BD=2DC，所以AB=2AC。
在△ABC中，由正弦定理，得：＝ ＝ 。
期刊文章分类查询,尽在期刊图书馆
（2）因为BD=2DC，由（1）知AB=2AC，
所以由余弦定理得：
BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠BAC，
9DC2=4AC2+AC2-2·2AC·ACcos60°，
9DC2=3AC2，
3DC2= 3AC，
所以由余弦定理得：
cosB=
=
= = ，
又B∈（0，π），所以B=30°。
2.解法二
解法分析：第（1）题分别在△ABC中，作BC的高线，在△ABD中，作AB的高线，在△ACD中，作AC的高线，结合已知条件，利用三角形面积和锐角三角函数定义求解 ； 第（2）题运用转化思想，在△ABC中，作AB的高线转化为直角三角形求解。
解（1）在△ABC中，作BC的高线AG，在△ABD中，作AB的高线DE，在△ACD中，作AC的高线DF，
由AD平分∠BAC得：DE=DF，
又S△ABD= AC·DF= DC·AG,S△ABD= AB·DE= BC·AG,所以 ＝ 。
又BD=2DC，所以AB=2AC。
在△ABG中，sinB= ，在△ACG中，sinC= ,所以＝ = 。
（2）在△ABC中，作AB的高线CH。
因为∠BAC=60°，
所以AH= AC，HC= AC，
由（1）知AB=2AC，
所以BH=AB-AH，
=2AC- AC= AC，
所以，在△BCH中，tanB= = ，
又B∈（0，π），所以B=30°。
3.解法三
解法分析：第（1）题同解法一或解法二；第（2）题运用转化思想，在△ABC中，已知∠BAC=60°，又由（1）知AB=2AC，故取AB的中点E，连接CE即可运用等腰三角形及三角形内角和定理等知识求解。
解（1）同解法一或解法二。
（2）取AB的中点E，连接CE。
由（1）知AB=2AC，所以AE=AC，因为∠BAC=60°，所以△AEC是等边三角形，所以∠AEC=60°，EC=AE=EB，所以B=30°。
4.解法四
解法分析：第（1）题同解法一或解法二；第（2）题运用转化思想，在△ABC中，已知∠BAC=60°，又由（1）知AB=2AC，故AC延长至M，使CM=AC，连接BM即可运用等边三角形知识求解。
解（1）同解法一或解法二。
（2）延长AC至M，使CM=AC，连接BM。
由（1）知AB=2AC，所以AB=AM，因为∠BAC=60°，所以△ABM是等边三角形，所以∠ABM=60，所以B=30°。
三、结语
二中的这些解法，基本上抛开命题意图，从另外角度来完成试题的求解；教学中，对解三角形试（习）题，尝试从不同角度探寻解决策略，可打破思维定势，有助于培养学生思维的灵活性及解题能力的提高。
论文作者:司政君
论文发表刊物:《素质教育》2016年1月总第192期供稿
论文发表时间:2016/1/14
标签：解法论文; 定理论文; 角形论文; 高线论文; 余弦论文; 正弦论文; 中点论文; 《素质教育》2016年1月总第192期供稿论文;