物体相关速度的分析方法，本文主要内容关键词为：物体论文,速度论文,方法论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
在中学物理教学中，经常遇到这样一类问题：几个物体的运动存在着某种关系，根据其中一个物体的运动速度求其他物体的运动速度，这类问题称为相关速度问题。相关速度问题一般用微元法、速度分解法、功能分析法等方法来求解。
一、微元分析法
微元法是在整个运动过程中取一个微小的子过程进行考虑，从而使某些不易确定的物理量转化为易确定的量，这样根据有关可直接应用的物理规律进行计算，求出子过程部分的相关量，再类推得出最终结果。这是求解相关速度问题的一种常用方法。
例1 如图1所示，在一光滑水平面上放一个物体，人通过细绳跨过高处的定滑轮拉物体，使物体在水平面上运动，人以大小不变的速度v运动。当绳子与水平方向成θ角时，物体前进的瞬时速度是多大？
图1
解析 设经过时间
t，物体前进的位移s[，1]=BC，如图1所示。过C点作CD⊥AB，当t→0时，∠BAC极小，在ACD中，可以认为AC=AD，在t时间内，人拉绳子的长度为s[，2]=BD，即为在t时间内绳子收缩的长度。由图1可知：
BC=BD/cosθ①
根据速度的定义得物体移动的速度为：
v[，物]=s[，1]/t=BC/t②
而人拉绳子的速度为：v=s[，2]/t=BD/t③
联立①②③解得：v[，物]=v/cosθ。
例2 如图2实线所示，直线AB以大小为v[，1]的速度沿垂直于AB的方向向下移动，而直线CD以大小为v[，2]的速度沿垂直于CD的方向向右下方运动，两条直线的夹角为θ，求它们的交点P的速度大小和方向。
图2
解析 设经过很短的时间t，两杆分别移到了图2所示的虚线位置，则由图2可得：
根据速度的定义得P点移动的速度为：
二、分解法
分解法是根据分运动与合运动的关系，将运动效果进行相互替代。分解法是求解相关速度问题的一种基本方法。运用分解法的一般思路：选取合适的连结点（该点必须能明显地体现出参与了某个分运动），然后确定该点合速度方向（通常以物体的实际速度为合速度），再确定该点合速度（实际速度）的实际运动效果，从而依据平行四边形定则确定分速度方向来寻找速度关系。
例3 一根长为L的杆OA，O端用铰链固定，另一端固定着一个小球A，靠在一个质量为M，高为h的物块上，如图3（a）所示，若物块与地面摩擦不计，试求当物块以速度v向右运动时，小球A的线速度v[，A]（此时杆与水平方向夹角为θ）。
解析 选取物与棒接触点B为连结点。（不直接选A点，因为A点与物块速度V的关系不明显。）因为B点在物块上，该点运动方向不变且与物块运动方向一致，故B点的合速度（实际速度）也就是物块速度v；B点又在棒上，参与沿棒向A点滑动的速度v[，1]和绕O点转动的线速度v[，2]。因此，将这个合速度沿棒及垂直于棒的两个方向分解如图3（b）所示，由速度矢量分解图得：v[，2]=vsinθ。
图3
设此时OB长度为a，则a=h/sinθ，设棒绕O点转动角速度为ω，则：ω=v[，2]/a=vsin[2]θ/h。
故A的线速度v[，A]=ωL=vLsin[2]θ/h。
例4 如图4所示，S为一点光源，M为一平面镜，光屏与平面镜平行放置。SO是垂直照射在M上的光线，已知SO=L，若M以角速度ω绕O点逆时针匀速转动，则转过30°角时，光点S′在屏上移动的瞬时速度v为多大？
图4
解析 由几何光学知识可知：当平面镜绕O逆时针转过30°时，反射光线OS′将逆时针转过60°，即∠SOS′=60°，
由图得：OS′=L/cos60°。
选取光点S′为连结点，因为光点S′在屏上，该点运动方向不变，故该点在屏上的实际速度（合速度）就是在光屏上移动速度v；光点S′又在反射光线OS′上，它参与沿光线OS′的运动速度v[，1]和绕O点转动的线速度v[，2]。因此将这个合速度沿光线OS′和垂直于光线OS′的两个方向分解（如图5所示）可得：
v[，1]=vsin60°和v[，2]=cos60°
图5
根据光的反射定律，可知若M以角速度ω绕O点逆时针匀速转动时，反射光线OS′绕O转动角速度为2ω，由圆周运动知识可得：
v[，2]=2ω
=2ω（L/cos60°）。
联立两式得：vcos60°=2ω（L/cos60°），
故v=8ωL。
三、功能分析法
某些由轻绳、轻杆连接的物体，由于轻绳、轻杆的质量为零，根据能量守恒定律，其中一个物体对轻绳、轻杆的功率等于轻绳、轻杆对其他物体做功的功率。以此来求物体间相关速度也是一条十分有效的途径。
例5 如图6所示，两只小环O和O′，分别套在静止不动的竖直杆AB和A′B′上，一根不可伸长的轻绳一端系在A′点上，穿过环O′以恒定速度v[，1]向下运动，当角∠AOO′=α时，求环O的速度？
图6
解析 环O和环O′被轻绳连结，则环O对轻绳做功功率P等于轻绳对环O′做功功率P′。设环O对绳子的拉力为F，环O的速度为v[，2]。
环O对绳子做功功率为：
P=Fv[，2]cosα，
轻绳对环O′做功功率为：
p′=Fv[，1]（1-cosα）
又因为P=P′，所以联立以上各式可解得环O的速度为：
v[，2]=v[，1]（（1-cosα）/cosα）。
例6 如图7所示，一辆汽车通过一根跨过定滑轮的轻绳PQ提升井中质量为m的物体，设绳的总长度不变，定滑轮的质量和尺寸及滑轮上的摩擦不计。开始时车静止在正点，左右两侧绳都是绷紧且竖直的，左侧绳长为H。提升时，车加速向左运动，沿水平方向由A驶向B，车过B点的速度为v[，B]，此时绳与水平面的夹角为45°，求车由A驶到B的过程中，绳Q端的拉力对井中物体做的功？
图7
解析 本题是变力做功问题，所以可通过动能定理来求解。因此关键是求汽车过B点时物体的速度。
设汽车过B点时对绳的拉力为T，重物的速度为v。汽车在B点时对绳做功功率为：P=Tv[，B]cos45°=
Tv[，B]，此时绳Q端对重物做功功率为：P′=Tv，又因为p′=p，故代入得：
Tv=Tv[，B]，解得：v=v[，B]。
由图可知重物被提升的高度：h=（
-1）H，由功能关系可得绳Q端对物体做的功为：
W=1/2mv[2]+mgh=1/4mv[，B][2]+（-1）mgH。
四、推论法
利用一些有用的推论可以快速解决一些较复杂的相关速度问题。如：
（1）接触物体系在接触面上法线方向的分速度相同，切向分速度在无相对滑动时亦相同。
（2）线状交叉物体系交叉点的速度是相交物体系双方切向运动分速度的矢量和。
例7 如图8所示，半径为R的半圆凸轮以等速度v沿水平面向右运动，带动从动杆AB沿竖直方向上升，O为凸轮的圆心，P为其顶点，求当∠AOP=α时，AB杆的速度。
图8
解析 本题若用常规思维不易求解，但由上述结论（1）可知，杆在A点的法向速度和轮在A点的法向速度相等，设杆的速度为v[，1]，由图8可知：v[，1]cosα=vsinα。
即得 v[，1]=vtanα。
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