也谈“有理数乘法”的教学设计，本文主要内容关键词为：有理数论文,乘法论文,教学设计论文,也谈论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
“有理数乘法法则”的教学设计，各刊物曾发表不少有创新性的文章，近期《中小学数学》又发表了周进荣的《“有理数乘法”的教学设计》（2010年第4期（初中版）），并且配发了观点鲜明的编者语，读后很受启发。笔者想继续谈谈“有理数乘法法则”的教学设计和对“负负得正”教学思考的问题，求得更多的同行参与到该问题的讨论之中，以期望获得更多的收获。
一、我的教学设计（以下称“新设计”）
下列是笔者关于“有理数乘法法则”课堂教学实录的一部分（以下简称“新设计”）。
问题1 师：请你计算：
(+2)+(+2)+(+2)=?
(-2)+(-2)+(-2)=?
生：(+2)+(+2)+(+2)=6；(-2)+(-2)+(-2)=-6。
问题2 师：你能否将上述加法运算改写成乘法运算的形式？
生：2×3=6；(-2)×3=-6。
师：改写为（并板书）：
(+2)×(+3)=+6；①
(-2)×(+3)=-6。 ②
问题3 师：从①②两式中你可以得到什么结论？
（注：启发学生从纵方向观察各数的符号及绝对值）
生：两数相乘，若把一个因数换成它的相反数，则所得的积是原来积的相反数。
问题4 师：请你再计算：(+2)×(-3)=?(-2)×(-3)=?并说明理由。
（注：板书时，教师将③④两式分别写在①②的左边）
(+2)×(+3)=+6；①(-2)×(-3)=+6；③(-2)×(+3)=-6；②(+2)×(-3)=-6。④
生：(+2)×(-3)=-6。
因为(+2)×(+3)=+6，所以(+2)×(-3)=-6。
理由为：两数相乘，若把一个因数换成它的相反数，则所得的积是原来积的相反数。
生：(-2)×(-3)=+6。
因为(-2)×(+3)=-6，所以(-2)×(-3)=+6。
理由为：两数相乘，若把一个因数换成它的相反数，则所得的积是原来积的相反数。
问题5 师：观察①～④，你又可以得到什么结论？
（注：启发学生从横方向观察各数的符号及绝对值）
生：由①③得，同号两数相乘得正，并把绝对值相乘；
由②④得，异号两数相乘得负，并把绝对值相乘。
问题6 师：计算：0×(-3)=?为什么？
生：0×(-3)=0。因为0×3=0，所以0×(-3)-0。
问题7 师：你能概括出有理数乘法法则吗？
生：有理数乘法法则为：
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
任何数与零相乘，都得零。
问题8 师：你对乘法有何新的认识？
生：乘法是加法的一种特殊运算，即乘法运算是几个加数相同的特殊加法。
……
（余下为例题讲解、技能训练和经验积累等教学环节，具体过程略）
二、对新设计的认识
首先，新设计是在新课程理念下构建的一个数学学习活动，它从数学知识结构出发，在数学内部有理数加法的基础上，去构建“负负得正”的思维情境，以问题串的形式，引领学生观察、探索、分析、推理，归纳出“负负得正”的规律。在活动过程中，学生参与度高，不仅掌握了知识，还发展了推理的能力。
其次，不需要数学化后去建模，减轻了学生的“生活情境”负担。例如，用“水位变化”来说明“负负得正”的道理时，就先得进行数学化，再用水位的变化速度、时间来说明水位的变化结果，这样的过程煞费周章，干扰了对“负负得正”问题本质的探索。笔者去年就曾用水位变化的方法上过一节研讨课，总感到不能十分流畅地表述想要表述的问题（变化的角度有多个，容易引起混乱），更何况是刚刚跨进中学两周左右的七年级学生呢？我们可以想象，学生在课堂上理解用“水位变化”来验证“负负得正”是一个什么样的滋味？
而从数学知识结构出发构建“负负得正”的思维情境，学生不需要对情境进行数学化处理，可直接将新知识在其已有的知识结构中去生成、生长，从学生熟悉的加法运算过渡到乘法运算，并将加法运算写成乘法运算，和谐自然。探索乘法法则分两步走：第一步：纵方向观察、分析，归纳出“两数相乘，将一个因数变成它的相反数，其积也变成原来积的相反数”，为“负负得正”作了知识铺垫，搭建了化难的阶梯；第二步：横方向归纳乘法的运算法则。学生在教师有意识的上述板书的启发下，总结出有理数乘法法则，则有水到渠成，浑然一体之感。通过这样的思维情境建构，学生的数学思维必有质的收获和体验。
第三，该思维情境还具有延伸性。从探索乘法法则的过程中，学生必然会体验到“乘法”是“加法”的一种特殊运算（乘法是加数相同的加法）。如果我们从乘法是加法的一种特殊运算这个视角去认识乘方运算，则有利于学生构建起“乘方”的概念。到学生学习乘方运算时，将之情境延伸，学生马上就能够认识到乘方的本质是一种特殊的乘法（是因数相同的乘法），其运算的道理和本质要从乘法法则中吸取营养和方法，那么必然对乘方的学习起到省时省力的杠杆作用。
三、对“负负得正”教学素材的思考
1.“负负得正”在数学中的迁移
“负负得正”不但提示了有理数乘法的本质，而且还可以将其内涵迁移到其他的数学知识之中。
例如，有理数减法法则就能很好地体现“负负得正”的内涵。我们知道，减去一个数等于加上这个数的相反数。这就要求在将减法运算转化为加法运算的过程中，要注意“两变”，一是将“减号”变为“加号”，二是将“减数”变为“它的相反数”。如果一次改变，我们可以理解为“改变一次符号”，那么两次改变，便可以理解为“改变两次符号”，于是便有“负负”的内涵；在有理数减法运算过程中，只有坚持“两变”，才能保证在有理数系中“作和谐恒等变形（换）”。根据常规思维，可以“作和谐恒等变形（换）”，则能理解为“正方向思维”，不可以“作和谐恒等变形（换）”，则可理解为“负方向思维”。如果将“正方向思维”记为正的话，那么便有“负负得正”，即在减法运算中，出现了“负负得正”的内涵和道理。
像这样的例子，我们还可以在“除法法则”，解方程中的“移项法则”，“负指数运算法则”中得到对“负负得正”的本质理解和精神启发。
2.“负负得正”在生活中的缩影
“负负得正”还可以在生活中体现出它的缩影和文化价值。我们可以从以下话题中得到启发。
话题1
朋友的朋友是朋友（即正正得正）；朋友的敌人是敌人（即正负得负）；
敌人的朋友是敌人（即负正得负）；敌人的敌人是朋友（即负负得正）。
话题2
好人有好报是好事（正正得正）；好人有坏报是坏事（正负得负）；
坏人有好报是坏事（负正得负）；坏人有坏报是好事（负负得正）。
话题3
我爱你是真的——爱你（正正得正）；我爱你是假的——不爱你（正负得负）；
我不爱你是真的——不爱你（负正得负）；我不爱你是假的——爱你（负负得正）。
笔者认为，这样挖掘教学素材，不仅能让学生感受到这些从生活中积累起来的文化与数学内部特有的规律和价值取向有如此惊人的相似，而且还能让学生感到数学的妙不可言和博大精深，使学生受到数学文化的熏陶和心灵的洗涤。
3.“负负得正”联系实际的本质
新课程下的“负负得正”教学没计，是在时空维度下，用“水位变化”（周进荣老师运用了“行程变化”的问题情境）来说明“负负得正”的合理性，应该说是用现实情境探索“负负得正”合理性的一种好方法、好情境。但是仍有在变化维度上正、负性难以把握的问题。因为在水位的变化过程中，不仅要考虑水位变化（上升或下降）的速度，还要考虑时间变化的先后，这是一个多维情境中的变化问题，教师、学生在用语言表述时有一定困难。不过，这种情境还是学生熟悉的、简明的、不影响数学本质的。因此，它还是一个较好的解释“负负得正”道理的好情境，这也是新课程带给我们的新收获。
张奠宙教授认为，世界上还没发现一个大家普遍接受的“负负得正”的实际情境，可以说“负负得正”的教学问题至今仍是困惑初中数学教学的疑难问题之一。那么，该问题联系实际的难点在何处呢？笔者认为，要从“负负得正”联系实际的本质去认识它。
我们知道，有理数加法的生活情境不难创设。其原因是“被加数”、“加数”、“和”是同一类（种）量，即是同一单位的量即可。正是由于它们是同一单位的量，所以在有理数加法中，我们只要确定一个基准，并约定相应的正负即可。联系到实际，只要选取生活中在负数范围内可以取值的情境即可，像长度的变化，温度的变化，收支的变化，利润的变化，质量的变化，路程的变化，时间的变化，速度的变化，水位的变化等等。
“负负得正”的生活情境较难创设，其原因是“被乘数”、“乘数”、“积”所代表的量一般是三类（种）量，并且“被乘数”、“乘数”、“积”这三类（种）都要有负的可能。若要与实际相联系，则一般要确定三个基准，并且约定三对相应的正负，如果这三个量都在三维空间，必然引起混乱。为此，必须有一个量是时间，其余量在三维空间。正因为此，新课标下的教学情境都在时间这个维度上，在四维空间中构建问题的情境，即是说，“负负得正”的生活情境，必须借助于四维空间来建构模型。
教无止境。笔者期待有更好、更优、更科学的“负负得正”的教学案例在教学实践和教学研究中诞生，让我们及我们的学生分享教与学的快乐！