动态死亡率建模与长寿风险量化研究评述，本文主要内容关键词为：长寿论文,死亡率论文,建模论文,风险论文,动态论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
长寿风险量化与管理专题研究最初是从寿险行业引发出来的，主要是源于人类死亡率持续下降，平均预期寿命不断延长引发的寿险公司年金产品定价的风险问题，通常是低估了年金产品的价格。然而，这种动态的死亡率改善并不局限于寿险年金产品，或者说个人的商业养老保险，我国养老保险计划的三大支柱——基本养老保险、企业补充养老保险和个人商业养老保险中都隐含着这种系统性的长寿风险，甚至我们的健康保险，尤其是医疗保险、长期护理保险中都充斥着长寿风险。因此，对该专题的研究非常有必要。 通常，我们把长寿风险定义为个人或总体人群未来的平均实际寿命高于预期寿命而产生的风险。其中，个人面临的长寿风险称为个体长寿风险，总体人群面临的长寿风险称为聚合长寿风险。个体长寿风险是指个人死亡率围绕死亡率最佳估计的基础假设的正常波动，是非系统性风险或特定风险；而聚合长寿风险是指源于死亡率与死亡率改善水平的不正确的基础假设导致的风险，是无法根据大数法则进行分散的系统性风险，对养老金计划和寿险公司的影响非常显著，需要进行量化和管理。下页图1简单绘制了长寿风险量化与管理研究的基本框架。 从图1可知，长寿风险量化的最基础最核心的工作就是死亡率建模方法的研究。目前的研究已经从静态死亡率模型转变为随机死亡率模型，或称动态死亡率预测模型，这是因为在静态死亡率模型下，我们根本无法刻画死亡率随时间的动态改善。本文旨在系统梳理已有的动态死亡率建模方法存在的问题，并提出改进的思路，总结长寿风险定量分析所采用的各种模型与方法，以期更全面、有效地量化我国基本养老保险体系、保险公司年金产品中蕴含的长寿风险。在此基础上，结合国外长寿风险管理工具的应用及发展，主要包括保险公司年金产品与寿险产品的自然对冲、再保险、长寿风险证券化的理论研究与实践效果，探讨其在我国实施的可行性及实施中可能存在的问题。这些研究可以扩展应用于我国养老保险计划的三大支柱（基本养老保险、企业补充养老保险和个人商业养老保险）中的长寿风险量化与管理，也有望为人口老龄化背景下我国政府制定相关的公共政策、推进公共管理创新提供借鉴。
本文第一部分是引言；第二部分系统梳理国外长寿风险理论研究与实践探索中，动态死亡率建模与长寿风险量化及管理的研究现状及发展动态；第三部分总结分析国内关于动态死亡率建模与长寿风险量化及管理的已有研究；第四部分讨论国内已有研究存在的不足，探讨国外最新研究对我国长寿风险量化与管理的启示和建议。 二、国外研究现状与发展动态分析 （一）死亡率建模方法 1.静态死亡率模型 在过去的几十年里，国外学者已经提出了各种为人口死亡率建模的方法。就全年龄段人口的静态死亡率模型而言，Heligman和Pollard（1980）提出了描述整个生命周期的死亡率模型。该模型含8个参数，分婴幼儿时期、青壮年时期和老年时期三个阶段对死亡率进行修匀，简称为HP模型。目前，该模型在描述澳大利亚、德国、美国、瑞士、西班牙、英国等国家的全年龄段人口死亡率规律中都取得了良好的效果。类似地，Carriere（1992）提出了另一种描述整个生命周期的死亡率模型。该模型是由Gompertz、逆Gompertz、Weibull和逆Weibull组成的混合分布模型，简称为CR模型。Carriere（1992）在分别使用HP模型和CR模型分析美国全年龄段人口死亡率规律时，得出CR模型比HP模型的拟合效果更好。 比较而言，由于高龄人口的死亡统计数据不如低龄人口的死亡统计数据充足，加之超高龄①人口死亡统计数据的缺乏，以及死亡年龄存在误报或记录准确性很难考证等数据质量问题，使得高龄人口死亡率建模方法变得更复杂。实际中，我们经常采用Gompertz模型、Makeham模型、Weibull模型、二次多项式模型、Logistic模型、Kannisto模型②来拟合高龄人口死亡率，在此基础上，采用不同数学形式的参数方法来外推超高龄人口死亡率。这主要表现在，一方面，Panjer和Russo（1992），Panjer和Tan（1995）在分析加拿大个人保险业务的高龄人口死亡率经验数据时，将相应的估计过程分为三个阶段。其中，第一阶段是使用London（1985）提出的Whittaker-Henderson方法外推死亡率；第二阶段是通过加权最小二乘估计，应用Makeham第二定律来拟合外推的死亡率；第三阶段是使用三次多项式外推100～105岁超高龄人口的生存分布。另一方面，在描述全年龄段人口死亡率的CR模型和HP模型中，都采用Gompertz模型来描述高龄人口死亡率。然而，诸如Kannisto等（1994），Olshansky和Cames（1997）等研究已表明，Gompertz模型对于超高龄人口死亡率的分析并不理想。不同于Gompertz模型中死亡力以固定比率增加，一些学者探讨了死亡力增速递减的高龄人口死亡率模型，如二次多项式模型、Logistic模型、Kannisto模型、Coale和Kisker（1990）提出的CK模型等。其中，CK模型基于死亡率服从线性递减比率的假设来外推85～110岁的超高龄人口死亡率。目前，该模型已被应用于发达国家的高龄死亡率建模与外推中。Thatcher等（1998）分别将Gompertz模型、Weibull模型、二次多项式模型、Logistic模型、Kannisto模型应用于欧洲、日本等13个国家80～120岁的高龄人口死亡率建模中，研究结果表明Kannisto模型的拟合效果最好。此外，Himes等（1994）根据生命表的外推方法提出了一个标准的死亡率时间表，应用Logistic回归构建的相关模型来校准那些低死亡率国家的高龄人口死亡率，进而也可以外推超高龄人口死亡率。然而，这些参数外推方法都是主观假定年龄外推的起点和终点，很难以统计的观点给出外推起点和终点选取的科学依据。 近年来，基于极值理论的统计建模方法的研究为这一问题提供了一种替换的解决方法，相关的研究论文频频出现。Aarssen和de Haan（1994），Galambos和Macri（2000）应用极值理论研究了人类寿命分布有限上界的存在性问题。Kathryn等（2006）在极值分析的建模框架下，应用广义帕累托（GP）分布和广义极值（GEV）分布研究了加拿大和日本的生存分布的尾部特征。Li等（2008）提出了一种称为门限生命表的方法，系统地集成了利用极值理论进行参数化死亡率建模的各种方法。随后，Li等（2011）使用门限生命表分别构建了澳大利亚、新西兰的高龄人口死亡率模型。 总结来看，上述所有模型仅考虑了死亡率与年龄之间的关系，也称为静态死亡率模型，它们往往很难刻画死亡率随时间的动态演变特征，进而无法对未来死亡率进行预测。为此，可以引入含年份或出生队列的时间协变量来同时刻画死亡率与年龄、日历年和出生年之间的关系，这些模型称为随机死亡率模型，亦可称为动态死亡率预测模型。 2.动态死亡率预测模型 （1）离散时间随机死亡率模型 ①Lee-Carter模型及扩展 Lee和Carter（1992）提出了一种流行的同时考虑死亡率与年龄、年份两因素之间关系的离散时间序列模型——Lee-Carter模型，该死亡率模型被广泛应用于许多国家和地区的死亡率预测中。随后，很多学者对该模型进行了各种变形、改进和扩展。其中，作为变形，Brouhns等（2002a）基于Lee-Carter模型，提出了描述死亡人口数的泊松模型。在此基础上，Brouhns等（2005）将Bootstrap方法应用于泊松模型中来量化长寿风险。此外，Cossette等（2007）提出了Lee-Carter模型的另一种变形，采用二项分布为死亡人口数进行建模。 作为改进，一方面，由于Lee-Carter模型没有考虑误差项的异质性，Li等（2006）提出了一种将异质性融入到Lee-Carter模型及其变形中的方法。Delwarde等（2007b）进一步建议使用负二项分布来考虑异质性。另一方面，由于Lee-Carter模型最初考虑的是五龄组数据，这种近似相对比较粗糙，为此，Renshaw和Haberman（2003a）首先提出了使用单龄组数据估计模型参数，然后使用诸如三次样条等方法进行光滑处理。此外，Delwarde等（2007a）使用Brouhns等（2002a）中提供的惩罚对数似然方法来光滑Lee-Carter模型中的参数。 作为扩展，Renshaw和Haberman（2006）提出了考虑出生年效应的扩展Lee-Carter模型，简称为RH模型。随后，Currie（2006）提出了RH模型的简化形式，简称为Currie模型。同年，Cairns等（2006a）提出了基于年龄、出生队列（世代）效应的两因素CBD模型。Cairns等（2009）提出了含有世代效应的扩展CBD模型，在该扩展模型中，作为年龄效应的二次项，随时间的推移，世代效应将消失。Haberman和Renshaw（2009）在扩展Lee-Carter模型的基础上，基于年龄、时期、出生队列效应进行死亡率预测。其他扩展模型也可以参考Lee（2000），Renshaw和Haberman（2003b），Koissi等（2006）。 ②广义线性模型（GLM） 除Lee-Carter模型之外，Haberman和Renshaw（1996）在介绍GLM在精算学中的应用时，介绍了应用GLM研究死亡率与年龄因子、死亡率与年龄和年份两因子、死亡率与年龄和保单期限两因子之间关系的可行性。在此基础上，Renshaw等（1996）将年份因素包含在解释变量中，应用GLM对英国1958～1990年的人口死亡率数据进行拟合，然而，遗憾的是，该模型并未预测未来死亡率的变化趋势。为此，Sithole等（2000）进一步应用GLM对英国1958～1994年即期年金和养老金计划中参保人群的死亡率数据进行拟合和预测，通过选取低阶Legendre多项式，同时保证了模型的估汁精度和拟合曲线的光滑性，使得外推结果更为合理。 ③其他离散时间随机死亡率模型 Olivieri（2001）将HP模型扩展为动态模型，从精算学角度探讨了死亡率预测的不确定性。类似文献也可以参考Felipe等（2002）。Milevsky等（2006）通过使用三种假设情景来考虑未来死亡率建模的不确定性，并展示了这一框架下对长寿风险的影响。Cairns等（2008）对近20年来所讨论的各种随机死亡率模型进行了系统整理。Yang等（2010）使用主成分分析方法为长寿风险建模，并对提出的死亡率预测模型与已有死亡率模型进行了比较。 （2）连续时间随机死亡率模型 除离散时间随机死亡率模型之外，也有不少学者探讨了连续时间随机死亡率模型，这主要借鉴了金融经济学领域广泛采用的连续利率模型。Milevsky和Promislow（2001），Dahl（2004），Dahl和
（2006），Biffis（2005），Cairns等（2006b）都观察到死亡力和连续利息力非常相似，进而可以借鉴已有的利率模型来为动态死亡率建模。其中，Dahl（2004）基于死亡力与连续利息力的相似性，给出了死亡力的期限结构，将随机利率模型应用于死亡率建模中。Dahl和
（2006）进一步探讨了含系统性死亡率风险的寿险产品负债的评估和对冲问题。Biffis（2005）基于死亡风险和信用风险的相似性，利用仿射跳跃扩散过程模拟金融和人口风险因素，进而提出了包括人口参数统计特征的死亡力仿射模型。Cairns等（2006b）根据死亡力的期限结构，详细探讨了如何将已有的利率模型平移为随机死亡率模型的思路和方法。然而，这些研究往往把研究的重点放在死亡率随机模型的形式和对历史死亡率数据的拟合上，围绕这些模型的实际应用的讨论相对较少。 显然，两类随机死亡率模型都可以量化未来死亡率概率分布的不确定性。其他综述类文献也可以参考Benjamin和Soliman（1993），Pitacco（2004），Booth（2006），较新著作见Girosi和King（2008），Pitacco等（2009）。总体来看，目前关于死亡率预测模型的研究结论具有两个共同点。第一，将特定年龄死亡率的对数表述为时间的线性函数。第二，体现了死亡率随年龄和时间的变化特征，即随着年龄的增长，死亡率的相对增长率是上升的，且死亡率改善程度降低。 （二）长寿风险量化 MacMinn等（2006），Stallard（2006），Brown和Orszag（2006）都明确地把长寿风险定义为个人或总体人群未来的平均实际寿命高于预期寿命产生的风险。目前，已有不少研究阐述了长寿风险的重要性。其中，Biffis和Blake（2009）的研究报告显示，65岁的预期寿命每增加1年，估计英国的养老金负债的现值至少增加3%。来自欧盟统计局2009年的报告也显示，新生儿的平均预期寿命每增加1年，将使英国公共养老金支出占GDP的比重平均增加0.3%，参见欧盟委员会和经济政策委员会2009年的老龄化报告③。此外，以往长期关注于金融投资风险的监管部门已逐渐认识到精确量化和管理养老金和保险负债的风险也同等重要。例如，欧盟偿付能力Ⅱ计划的目的是在欧洲重构保险公司的金融监管，这表明他们已越来越重视对养老金和保险负债的评估和管理。 1.长寿风险量化的理论研究 就长寿风险量化而言，其量化的最基础或者说最核心的工作就是死亡率建模方法的研究。目前的研究已经从静态死亡率模型转变为动态死亡率模型。在此基础上，已有文献主要涉及负债现值贴现、资金比率波动、破产概率三种量化方法。 具体来说，一些文献关注于年金投资组合中的长寿风险的量化问题，通常使用的方法是负债现值贴现方法，即在固定利率期限结构下，确定其对所有未来给付的现值概率分布的影响。相关文献见Olivieri（2001），Brouhns等（2002b），Dowd等（2006），Cossette等（2007）。然而，负债贴现方法仅从负债角度考虑，忽略了金融风险对长寿风险的潜在影响。 为了克服负债贴现方法的缺陷，另有一些文献关注于长寿风险对养老金的资金不足概率的影响，通过确定对未来时期资金比例的概率分布的影响来量化长寿风险，即资金比率波动方法。相关文献见Olivieri和Pitacco（2003），Hári等（2008）。这方面的研究结论主要包括：第一，随着资金规模的增加，归因于池效应，个体死亡率风险递减为0；而长寿风险并不可忽略不计，它基本上独立于投资规模。第二，如果金融市场风险可以完全被对冲，即可以将未来寿命的不确定性视为唯一的风险来源，那么养老金就暴露了一个相当大的不确定性。第三，如果金融市场风险也包含在内，那么长寿风险对整体风险的贡献将减低。然而，无论投资策略是否有风险，长寿风险仍可能持续显著。 此外，还有一些文献通过考虑长寿风险对一个联结长寿债券的投资组合的破产概率的影响来量化长寿风险，即破产概率方法。破产概率方法同时考虑了资产和负债两方面，可视为对前两种方法的有益补充。相关文献见Olivieri和Pitacco（2003），Stevens（2011）。 2.目前国外保险实务中的量化技术 保险公司和再保险公司、养老金计划的政策制定者以及政府面临的一个最大且最不被理解的风险就是长寿风险。国际精算师协会定义了长寿风险的四个组成部分，即水平、趋势、波动性和灾难性。这四个部分可以进一步细分为两大类，即系统性风险和非系统性风险（即特定风险）。为了确保保险公司能够有效地管理长寿风险，精算师必须首先了解当前可获得的量化和管理长寿风险的方法。只有这样，他们才能在识别和创造更多的、更有效地应对长寿风险的风险管理技术中发挥积极作用。 （1）美国的做法 对于美国保险公司来说，评估任何形式风险的一种历史性方法是基于因素的方法，采用美国保险监督官协会（National Association of Insurance Commissioners，NAIC）规定的基于风险资本（Risk-Based Capital，RBC）的偿付能力监管框架。这不但适用于死亡率风险和长寿风险，而且适用于市场风险。就目前美国基于RBC的偿付能力监管体系来说，在计算资本公式中，关于保险风险的计算就忽略了长寿风险。通常情况下，关于风险的讨论只反映高于预期死亡率的死亡率风险，很少讨论低于预期死亡率的死亡率风险。未来死亡率改善存在很大的不确定性，这导致保险行业更需要采取行动了解长寿风险的根本驱动力。 总体来说，目前美国保险公司大部分还是继续使用比较基础的方法来量化长寿风险，通常依赖于应用标准死亡率生命表，如整体死亡率都下降15%的压力测试。缺乏成熟的量化方法的原因之一是缺乏被保险人的死亡率数据。美国最完整的数据集来自于人口普查报告。然而，这些数据对应于所有人群，其死亡率特征不同于参保人群的死亡率特征，对保险公司来说，可能并不适用于死亡率风险和长寿风险的量化。 综上所述，当前长寿风险管理技术在美国市场仍比较有限。虽然从基础因素方法到压力测试已有一定转变，但是大多数保险公司还是希望评估长寿风险的水平。随着近年来非市场风险的随机建模技术的发展，包括各种随机死亡率模型的研究将有助于保险公司量化长寿风险。随机死亡率模型的趋势部分将允许保险公司量化围绕死亡率改善水平的潜在波动风险。 （2）英国的做法 虽然这个市场在美国仍处于起步阶段，但在英国却发达得多。英国持续死亡率调查局（Continuous Mortality Investigation Bureau，CMIB）负责搜集参保人群的死亡率数据。事实上，英国保险公司还披露他们的长寿风险暴露。目前英国监管机构要求保险公司每年进行个体资本评估（Individual Capital Assessment，ICA），这与欧盟正在开展的一系列量化影响研究（Quantitative Impact Studies，QIS）以开发集中的偿付能力Ⅱ监管标准规定类似。根据ICA，保险公司必须全面识别其承担的风险。通常由保险公司评估的风险包括市场风险（投资回报率、利率、外汇和违约率）、保险风险（死亡率、长寿风险、退保率和费用率）和操作风险（欺诈和法律诉讼案件）。 未来量化这些风险的影响，要求模型基于基础假设进行两个方向的压力测试，然后将这些结果使用相关矩阵组合起来，以更好地量化各种风险。例如，对于市场风险，通常是通过随机模型进行分析，以确定需要满足偿付能力要求的资本需求。对于长寿风险的一个典型的压力测试是将基础死亡率调低20%～30%，与QIS3的偿付能力资本要求中规定的25%是一致的。笔者注意到，QIS的做法稍微更简单，因为它结合了长寿风险的所有来源为一体的压力，而在ICA中，公司可以分开量化趋势、波动性和参数不确定的风险。 由ICA的结果，据估计，在英国上市的保险公司有300亿英镑以上的直接长寿风险，而非英国上市的保险公司有高达762亿英镑的更显著的长寿风险。类似的风险并不适用于美国市场，这是因为在美国市场上，目前并未要求披露长寿风险。 虽然目前量化长寿风险的方法因地而异，并在一定程度上因公司而异，但是保险公司已越来越多地开始寻求更有效的方法来减少对任一特定风险的资本需求。传统方法是保险公司直接使用产品设计、核保、自然对冲和再保险。此外，由于长寿风险与传统的金融风险是不相关的，投资于基于长寿的证券将提供更加多元化的投资组合。保险公司已经开始进入资本市场寻求解决方案，以管理和转移一些他们面临的长寿风险。虽然目前市场上还没有成熟地应对长寿风险的工具和手段，但为了适应这种需求，未来这种工具有着巨大发展潜力。 （三）长寿风险管理 为了寻求更有效地管理方法，近20年来，国外学术界对长寿风险管理专题研究已成为一个热点，但到目前为止，围绕这些模型的实际应用的讨论相对较少。比如，我们认为，对于寿险公司来说，从寿险产品生命周期的各个部分（定价、准备金评估、资本管理、对冲长寿风险等）探讨实施随机死亡率模型的相对成本和收益，以及针对各类产品创新（如支付年金、寿险保单贴现等），结合随机死亡率模型进行深入分析，会更有价值。遗憾的是，截止2008年，学术界可能并不太关注于这些应对长寿风险的产品创新方面的研究。金融危机之后，在长寿风险管理方面，国外逐渐积累了不少理论研究和实践经验。跟随Cairns等（2008），逐渐涌现出一些管理长寿风险的工具和方法，主要包括资产负债管理（ALM）方法、年金产品与寿险产品的自然对冲、长寿风险再保险、长寿风险证券化等。 1.ALM方法 Wang等（2010）提出了基于死亡率久期与凸性的免疫模型，基于Lee-Carter模型计算了规避长寿风险的寿险产品与年金产品的最优比例。此外，Stevens（2011）中第三章详细介绍了如何确定偿付能力缓冲区，以保证养老金计划或寿险公司在一个可接受的水平上降低其资金不足的概率。 2.年金产品与寿险产品的自然对冲 Milevsky和Promislow（2001）研究了年金产品的套期保值问题。该文献假定年金产品和死亡保险产品的投保人群相同，分别在确定性利率和随机利率条件下对寿险公司的年金产品和死亡保险产品之间的套期保值方法进行了分析，指出可以运用死亡保险产品和零票息债券的资产组合对年金产品进行套期保值。然而，Blake和Burrows（2001），Cowley和Cummins（2005）的研究则表明，由于年金产品和死亡保险产品的投保人群存在差异，并且保险公司的保单设计一般不以实现产品间的套期保值为目标，而且私人及国家养老金计划并没有相应的死亡保险产品进行对冲，因此长寿风险的完全自发套期保值很难实现。Cox和Lin（2007）指出，利用寿险产品与年金产品对死亡率改变的交互影响可以自然对冲长寿风险。此外，Tsai等（2010）在CBD模型的基础上，通过最小化损失相对变化率的条件在险价值（CVaR）来决定最优产品销售结构。关于这些产品混合的讨论见Stevens（2011）。 3.长寿风险再保险 养老金计划或保险公司也可以考虑各种类型的再保险，相关文献见Blake等（2006b），Blake等（2008），Biffis和Blake（2010）。 4.长寿风险证券化 （1）长寿风险证券化的产品设计 由于长寿风险包含了系统性的死亡率改善风险，传统基于大数法则的风险管理工具很难对其进行有效管理，加之再保险市场的不充足性，不少学者逐渐寻求通过成熟的资本市场来转移长寿风险。显然，相比保险行业来说，资本市场在降低信息不对称和促进价格的发现机制中更有效率。长寿风险证券化已成为新的研究热点。目前，长寿风险证券化的产品设计主要包括生存债券（也称为死亡债券或长寿债券）、生存互换、生存期货、生存期权等。 这方面最早尝试是Blake和Burrows（2001）开创性地提出可以运用生存债券来规避长寿风险。自此之后，很多学者对用于规避长寿风险的金融衍生品的形式和定价问题进行了深入研究。例如，Cowley和Cummins（2005）详细介绍了针对具有高额长寿风险业务打包，并进行证券化的思路和方法。Lin和Cox（2005）绘制了生存债券的现金流动图，并推导了给付额和息票的计算公式。Blake等（2006b）进一步给出设计生存债券应考虑的各种因素，主要包括发行的债券是否可以作为长寿风险的套期保值工具、蕴含长寿风险的寿险产品类型、使用的死亡率指数、支付函数的性质及其与生存函数的关系等。基于这些因素，该文献进一步探讨了零息票生存债券、经典生存债券、本金存在风险的生存债券、反向生存债券、抵押生存债券等不同形式的生存债券。同年，Blake等（2006a）探讨了生存价差债券、延期生存债券，并提出再保险、养老金计划的转售、限制年金的购买年龄（如使购买年龄延迟至退休日）、采用分红年金替代传统的非分红年金、长寿风险套期保值的金融产品的应用等各种管理工具和方法。Cairns等（2006b）也探讨了死亡率衍生品和带死亡率保证的负债评估的定价框架和模型。此外，也有不少学者认为政府应该发行长寿指数债券，并指出政府和资本市场应更多关注超高龄人口的生存概率，目前资本市场只能覆盖65～90岁人群的长寿风险。 Lin和Cox（2005）采用现金流动图研究了生存互换的交易机制，Dowd等（2006）进一步研究了生存互换的设计与定价。Blake等（2006a）探讨了生存互换的应用。与生存债券相比，生存互换存在交易对手风险。 Blake等（2006a）基于金融期货发行的成功经验和失败教训，提出了生存期货的两种实现方式。一种是以发行的生存债券为标的，另一种是以死亡率指数为标的。此外，Blake等（2006a）也介绍了不同形式的生存期权，Cairns等（2006a）对生存期权的定价和风险管理进行了初步探讨。有关死亡率和长寿远期的金融衍生品的文献见Blake等（2008）。关于长寿风险证券化的最新进展见Boyer和Stentoft（2013），Hanewald等（2013）。 （2）长寿风险证券化的定价问题 目前关于长寿风险套期保值的金融产品的市场是不完全的，无套利分析方法不再适用。对此，相关学者主要运用传统金融定价方法（如风险中性定价）、精算定价方法（如概率分布转换定价）两类方法对长寿风险及相关金融产品进行定价。其中，Milevsky和Promislow（2001），Dahl（2004），Dahl和
（2006），Biffis（2005），Cairns等（2006a，2006b）将风险中性定价方法应用于长寿风险套期保值的金融产品定价研究中。特别指出，Cairns等（2006a）运用风险中性定价方法对欧洲投资银行（EIB）发行的EIB/BNP生存债券中蕴含的长寿风险进行了定价，为长寿风险的风险中性测度提供了具体应用。 Wang（2000，2002）将概率分布转换方法应用于金融风险和保险风险的定价中，提出了一类概率分布转换模型（Wang转换），并将其与资本资产定价模型（CAPM）、Black-Scholes期权定价公式进行了比较，结果表明Wang转换可以复制CAPM和Black-Scholes期权定价公式的结果，因此Wang转换适用于金融风险和保险风险的定价。Lin和Cox（2005）运用Wang转换对生存债券定价，并得出长寿风险的市场价格。Denuit等（2007）定义了一种新的死亡率指数，并运用Wang转换研究了长寿风险的定价问题。Cox等（2006）运用多元Wang转换对Swiss Re Bond证券和死亡风险的定价进行了研究。这些研究结果都表明概率分布转换方法适用于长寿风险套期保值的金融产品的定价。此外，关于长寿风险证券化的定价方法的全面评述也可以参考Bauer等（2010）。 综上所述，虽然国外学者已经对应对长寿风险的金融定价方法和精算定价方法有了大量研究，但是由于市场的不完善，导致目前校准这些定价模型仍然很困难。 （3）长寿风险证券化的实践探索 2004年11月，EIB发行了EIB/BNP生存债券。该生存债券与Blake和Burrows（2001）提出的经典生存债券较为接近。不同之处在于，经典生存债券的期限是人口全部死亡时的随机日期，而EIB/BNP生存债券具有25年的固定期限。令人遗憾的是，EIB/BNP生存债券并没有成功引入市场，最终以发行失败而告终。Blake等（2006b）详细讨论了EIB/BNP生存债券发行失败的原因。主要包括：第一，采用固定期限的生存债券不能有效实现长寿风险的套期保值。第二，生存债券的投资成本过高。第三，死亡率指数的模型风险和过程风险都很高，降低了潜在投资者的购买意愿。第四，采用全体人群的死亡率代替投保人群的死亡率的计算基础会导致基差风险，套期保值者认为基差风险过高。第五，构造的死亡率指数采用的是中心死亡率，这可能导致生存概率被低估，更合适的死亡率指数应考虑条件死亡概率。 三、国内研究现状与发展动态 （一）死亡率建模方法 1.静态死亡率模型 就高龄人口死亡率建模方法而言，较早的文献是：曾毅和金沃泊（2004）结合国际上通常使用的Gompertz模型、Weibull模型、HP模型、二次多项式模型、Logistic模型、Kannisto模型六种高龄人口死亡率模型对中国1990年80～96岁单龄组男性和女性的死亡率进行了估计，结果表明，Kannisto模型对中国高龄人口死亡率的拟合效果最好。在此基础上，该文献进一步分析了中国、瑞典、日本的高龄人口死亡模式的异同点，指出三个国家96岁以上的年龄别死亡率比较接近，而中国96岁以下的年龄别死亡率明显高于瑞典和日本。此外，与发达国家类似，中国的高龄人口死亡率随着年龄增加而升高的趋势在96岁以后的超高龄会减缓。近年来，孙佳美和段白鸽（2010）以统计的观点给出了一套高龄死亡率模型适合性的检验方法，指出采用Gompertz分布为中国65～89岁的高龄死亡率建模是合适的，而美国、日本、瑞典65～89岁的高龄死亡率并不满足Gompertz分布，加入90岁及以上超高龄死亡率数据，则更不满足Gompertz分布。鉴于中国85岁以上超高龄人口死亡统计数据的有限性，孙佳美和郭利涛（2012）分别采用CK模型和改进后的CK模型来估计日本1970～2009年85岁以上人口的死亡率，结果表明，当85岁以上人口的死亡率数据已知且数据质量较可靠时，改进的CK模型的拟合效果更好。为了更好地刻画我国高龄，尤其是超高龄人口的死亡率特征，段白鸽和孙佳美（2012）基于Li等（2008）提出的门限生命表，考虑分段形式的生存分布，使用Gompertz分布和GP分布研究了我国高龄人口的死亡率特征，得出我国人口寿命分布的极限年龄是存在的，并进一步给出了最高到达年龄的均值估计和区间估计。 就全年龄段人口死亡率建模方法而言，较新文献如：孙佳美和许素英（2012）分别应用HP模型和CR模型来拟合我国0～89岁男性和女性的人口死亡率，在此基础上，应用参数Bootstrap方法评估两种模型的拟合精度，结果表明CR模型的拟合效果更好。 2.动态死亡率预测模型 目前，国内学者大多关注于离散时间随机死亡率模型。就Lee-Carter模型而言，王建平和涂肇庆（2003）分析了我国香港地区1971～1999年人口死亡率的动态演变，并利用Lee-Carter模型预测了未来50年香港男性和女性的人口死亡率，结果表明该模型预测的死亡率下降趋势比官方预测的要小。李志生和刘恒甲（2010）基于1992～2007年我国分年龄组人口死亡率数据，探讨了Lee-Carter模型对中国人口死亡率数据进行拟合和预测的适用性，并分别采用奇异值分解法、最小二乘法、加权最小二乘法（WLS）和极大似然估计法估计Lee-Carter模型的参数，得出WLS具有最好的拟合和预测效果。在此基础上，结合WLS的估计结果，对未来我国人口平均预期寿命进行了预测，并应用Bootstrap方法给出了区间估计。韩猛和王晓军（2010）针对我国死亡率数据样本量小以及数据存在缺失的实际情况，通过使用一个双随机过程对Lee-Carter模型中的时间项进行建模，得出改进后的Lee-Carter模型更适合于预测目前中国的人口死亡率。随后，王晓军和黄顺林（2011）结合我国男性人口死亡率历史数据，利用贝叶斯信息准则、似然比检验，对目前广泛采用的随机死亡率模型（Lee-Carter模型、RH模型、Currie模型、CBD模型、考虑出生年效应的三种扩展CBD模型）的拟合效果进行了比较分析，结果表明基于CBD的一种扩展模型的拟合效果最好。在此基础上，利用该模型预测我国男性人口死亡率，并对我国养老保险个人账户在领取阶段的长寿风险进行了评估。王晓军和任文东（2012）通过构建有限数据下的中国人口死亡率预测模型，对商业保险公司采用死亡率改善因子及现行基本养老保险个人账户使用的计发月数进行了实证分析，研究结果表明，一方面，每年1%的死亡率改善因子仍不能适应实际死亡率的改善程度，建议商业保险公司应加强对死亡率改善的经验研究；另一方面，目前的计发月数明显偏低，建议政府尽早建立计发月数的调整机制。吴晓坤和王晓军（2014）结合中国1994～2010年分年龄、分性别单龄组死亡人口数据，使用泊松极大似然估计Lee-Carter模型参数，并运用再抽样方法考察了模型参数估计及年金产品定价的不确定性。段白鸽（2015）基于Lee-Carter模型在拟合和预测全年龄段人口死亡率、计算平均预期寿命和构造动态生命表中的应用三方面，深度诠释了我国大陆1994～2060年、台湾地区1970～2060年0～100+岁男性、女性和合计人口死亡率及平均预期寿命的动态演变规律，并针对台湾地区充足死亡率数据和大陆地区有限死亡率数据，探讨了Lee-Carter模型预测结果的有效性。 就GLM模型而言，张连增和段白鸽（2012）探讨了基于GLM的动态死亡率修匀方法，应用GLM中的泊松回归模型、负二项回归模型拟合我国1994～2009年0～89岁男性和女性的死亡率，研究结果表明负二项回归模型的拟合效果优于泊白松回归模型。在此基础上，应用B-样条函数对负二项回归模型的拟合结果进行了光滑处理。 （二）长寿风险量化与管理 在我国，由于资本市场尚不完善，金融衍生工具的品种相对较少，很难在短期内寻求长寿风险的资本市场解决方案，而由于保险公司经营的寿险产品和养老年金产品的负债对死亡率呈反向变动关系，故可以运用自然对冲策略实现对长寿风险的管理，即通过对两类产品销售结构的组合对冲长寿风险。然而，相比其他国家而言，我国关于长寿风险量化与管理的理论研究起步较晚，系统性综述见陈秉正和祝伟（2008）。同年，祝伟（2008）基于中国人寿保险业两张经验生命表（CL 1990～1993、CL 2000～2003）数据，分析了CL 2000～2003中死亡率改善对个人年金产品价格变动的影响，为寿险公司衡量年金产品中蕴含的长寿风险提供了参考依据。 1.长寿风险量化 在长寿风险量化研究中，近年来的研究更多关注于目前保险公司个人年金产品定价和准备金评估存在的风险问题。已有不少学者基于随机死亡率预测模型度量了长寿风险对保险公司年金产品定价的影响，如长寿风险对未来年金净保费的影响、度量长寿风险的风险价值和资本需求、度量长寿风险对即期年金保单组破产概率和破产时间的影响等。 具体来看，金博轶（2012）基于有限数据条件下的贝叶斯方法，研究了动态死亡率建模与年金产品长寿风险的度量。祝伟和陈秉正（2012）在动态死亡率建模框架下，分析了长寿风险对个人年金产品定价的影响，并引入基于Wang转换的风险定价方法来度量长寿风险的市场价格。韩猛和王晓军（2013）基于韩猛和王晓军（2010）提出的改进后的Lee-Carter模型，将年金保险合同定价问题与年金保单组的破产概率相结合，对我国年金业务中蕴含的长寿风险进行了实证研究，不但探讨了保单规模和性别对长寿风险的影响，而且讨论了长寿风险对保单组破产概率和破产时间的影响，以及在对冲长寿风险时对资产回报率的要求。韩猛和王晓军（2014）使用前述改进后的Lee-Carter模型度量了长寿风险对未来年金净保费的影响，指出年金购买者现在购买延期年金比未来购买即期年金更划算。孙佳美和刘志鹏（2014）使用蒙特卡洛（MC）方法模拟了静态死亡率和基于Lee-Carter模型的动态死亡率下寿险公司的责任准备金的分布。结果表明，死亡率改善对寿险公司责任准备金的影响显著，并建议寿险公司在产品设计时要考虑死亡率改善因素。王志刚等（2014）基于Lee-Carter模型和Bootstrap再抽样技术度量了我国个人年金产品中蕴含的长寿风险对资本要求的影响。 最后指出，受限于无法获得保险公司参保人群的死亡率经验数据，目前研究基本上都是基于中国人口普查和抽样调查的死亡率数据进行预测和定量分析。 2.长寿风险管理 此外，也有学者已开始涉足长寿风险证券化等相关管理工具的研究。例如，黄顺林和王晓军（2011）提出了基于在险价值（Value at Risk，VaR）的寿险产品与年金产品的长寿风险自然对冲模型。艾蔚（2011）分析了长寿风险发展趋势和现有管理工具的缺陷，研究了死亡率巨灾债券、EIB/BNP长寿债券和死亡率远期合约等最近发展起来的长寿风险管理工具创新及发展动态，在此基础上，分析了长寿债券、死亡率互换、死亡率期货和死亡率期权等基于资本市场的长寿/死亡率风险相关衍生品的设计与交易，并对完善这一市场提供了启示和建议。高全胜等（2011）基于JP摩根公司提出的Life-Metrics基本架构及计算软件，初步测算了我国人口死亡率模型，在此基础上，探讨了利用人口寿命指数进行长寿风险管理的应用流程。田梦和邓颖璐（2013）通过双指数跳跃扩散模型对Lee-Carter模型中的时间序列因子进行拟合，较好地刻画了我国人口死亡率的长寿跳跃和死亡跳跃；并引用Swiss Re死亡债券度量了长寿风险的市场价格，在预测未来我国人口死亡率的基础上，得出了寿险衍生品Q型远期的中国定价。金博轶（2013）通过构建考虑随机利率因素的长寿风险自然对冲模型，通过实例研究表明，忽略利率风险将使保险公司不能充分地对冲长寿风险，并指出使用Lee-Carter模型将存在过度对冲长寿风险的可能，即该模型高估了长寿风险水平。 四、启示和建议 本文系统梳理了国内外关于死亡率建模与长寿风险量化及管理的已有研究。汇总这些研究可以看出，目前国内外学者还没有形成一套规范、系统的长寿风险定量分析的研究成果。 长寿风险量化的最基础工作就是动态死亡率建模方法的研究。在这方面，国内外学者更多关注于各种随机死亡率模型的解析形式和对历史死亡率数据的拟合效果。具体来说，各种随机死亡率模型在保证可获得的各年龄死亡率的拟合效果的基础上，主要涉及年龄外推和趋势预测两个问题，针对这两个问题，目前的研究仍存在很多不足。这主要表现在：第一，对超高龄人口死亡率的分析尚不够充分，或者说缺乏对生存分布的尾部风险特征的合理量化。第二，缺乏同时涵盖低龄、高龄及超高龄在内的死亡率的性别差异、人群差异、区域差异和国别差异的系统性研究，尤其是这些差异随时间推移的演变规律的研究相对还比较少。第三，已有研究表明，不同出生年代人群的死亡率改善情况存在差异，这涉及从基于日历年的死亡率模型到基于出生年的死亡率模型的转换，然而，在这种转化过程中可用的数据就会减少，对模型年龄外推和趋势预测的有效性都会产生问题。目前国内关于死亡率预测模型的研究中，仅有极少文献考虑了不同人群死亡率的出生年效应。第四，对各种随机死亡率模型预测期间的时间长度的研究仍较少，这涉及各种死亡率模型在短期、中期和长期预测中的适用性问题。目前尚没有对各种死亡率预测模型的比较与选择、模型的适用性及稳健性方面的系统性研究。为此，本文绘制了基于日历年和出生年的动态死亡率修匀、年龄外推和趋势预测的图解（见图2和下页图3），以期为这些问题的深入探索提供更清晰地直观解释。在这两个图中，ω表示极限年龄，也称最高死亡（到达）年龄。此外，作为最新统计分析技术，分层模型在人口学中已经得到了广泛应用，较新著作见Kéry和Schaub（2012）。未来有望考虑将极值理论和分层建模技术融入到已有的动态死亡率建模方法中，来弥补已有研究的不足。
就长寿风险的量化与管理而言，笔者认为，只有在合理量化长寿风险的基础上，才能对其进行有效的管理。为了更好地量化长寿风险，可以将长寿风险分解为模型风险和过程风险两部分。也就是说，在动态死亡率建模方法的基础上，结合负债现值贴现、资金比率波动、破产概率等量化方法，从模型风险和过程风险两方面来量化长寿风险，并开展比较研究。其中，模型风险包含了特定情况下的参数风险。参数风险是指给定一个选取的模型，如经典Lee-Cater。模型，源于抽样误差导致的风险，即由于缺乏对未来死亡率的概率分布的正确认识导致的风险；过程风险是源于即使可以确定未来死亡率的精确概率分布，死亡率趋势仍可能存在的不确定性。 总之，长寿风险量化与管理专题研究具有交叉学科研究特点，需要综合应用人口学、保险精算学、统计学、金融学、定量风险管理的理论与方法来开展系统性的研究工作。随着非金融风险的随机建模技术的发展，结合更好的参保人口数据的积累将有助于获得更有效地应对长寿风险量化与管理的解决方案。 ①超高龄（Oldest-Old，Advanced Ages or Advanced Old Ages）也称高高龄，是指高龄人口中的一些更高的年龄组别。目前，关于超高龄具体如何界定的问题，尤其是超高龄人口年龄起点的选取问题，尚没有公认的一致的说法。已有研究文献大多考虑的超高龄是指85岁及以上的年龄组别。也就是说，目前已有研究中关于超高龄人口年龄起点的选取大多是人为主观确定的。 ②Kannisto模型中仅含有两个参数，是Logistic模型的简化模型。 ③European Commission（DG ECFIN） and the Economic Policy Committee（AWG）.The 2009 Ageing Report:Economic and Budgetary Projections for the EU-27 Member States（2008-2060） European Economy,2,Brussels,Tab.Graph.Ann,2009.
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