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中图分类号：B812.4 文献标识码：A 文章编号：1001－5019(2013)06－0024－07
一、引言
推理在我们的生活和工作中不可或缺。日常推理最大的特点在于它的非单调性。当今良好发展的经典单调逻辑仍无法有效处理非单调性日常类推，而抽象论辩理论则是对各种非单调推理进行形式化研究最有力的工具之一。抽象论辩理论①很好地捕捉了日常推理的不同特征：有时我们需要严格的推理过程并且只接受那些绝对可辩护的事物或论证(基语义)，如案件侦查；有时我们只需要找出可能的推理路线并且可以接受所有可辩护的事物或论证(优先语义)，如辩论赛；我们也有可能需要对某个数据库中的所有数据进行处理(稳定语义)，如稳定婚姻问题、排座问题等；对一个理性的推理者来说，所有可以辩护的事物或论证都应该被接受(完全语义)；还有的时候，我们需要选出多个推理者都能接受的那些事物或论证(法庭辩论)，能够被大家都接受的结果是最理想的。
证明这些语义最常用的方法就是争议树(dispute tree)，争议树很好地结合了抽象的论辩框架与具体的推理过程。目前绝大多数的争议树证明都是从论证作为过程的角度出发，如理想语义的论辩证明②、基语义的论辩证明③、优先语义的论辩证明(轻信的证成和怀疑的证成)④。该方法对实时的论辩推理具有十分现实的指导意义，但存在一定的问题。
本文从论证作为结果的角度出发，给出了优先语义和基语义下的争议树证明理论。与论证作为过程的方法不同，论证作为结果的方法(1)不要求为某个论证辩护的正方所给出的所有论证都无冲突；(2)在轻信证成状态下，正方不需要赢得争议树中的所有争议链，而只需要对每一个攻击论证都有一条获胜的争议链；(3)在怀疑证成状态下，通过攻击论证的争议树来判断被攻击论证的正方是否获胜；(4)在基语义的证成状态下，正方也只需要对每一个攻击者都有一条获胜的争议链，并且该争议链的最后一个论证在基外延中。
二、预备知识
(一)抽象论辩框架
在实际的推理过程中，我们经常会在冲突、不一致或不完全的信息前提下进行推理并得出某个结论，而在新信息出现的时候可能推翻原有结论。我们把所有信息形式化为最抽象的论证(不包括论证的内部结构)，并且把论证间的这种冲突或不一致抽象化为二元攻击关系，因此得到一个论辩框架。
定义1 一个论辩框架(argumentation framework)是一个二元组AF＝〈A，R〉，其中A是所有论证的集合，R是A上的二元关系，即R
A×A。
对于两个论证a和b，R(a，b)意即a攻击b。类似地，当b受论证集合S中的某个论证攻击，我们说一个论证集合S攻击论证b(或论证b受S的攻击)。论证可以是简单命题、复杂命题，也可以是一条推理规则或一个事实，或者由多个从前提到结论的子论证组成。一个论证可以攻击另一个论证的结论、前提或者从前提到结论的推出关系。但在抽象论辩理论中不考虑论证的内部结构。
直观地，我们推出的结论之间不应该有冲突或不一致的情况，即要求所获得的论证集合是无冲突的。
定义2 一个论证集合S是无冲突的(conflict－free)，如果
a，b∈S使得a攻击b。
求解外延是一个论证集合不断被扩大的过程。判断一个论证是否可以被加入某个无冲突论证集合S有一定的标准：只有那些对S可接受的论证可以被加入。可接受性是一个论证a相对于一个论证集合S而言，即S可以对a进行防御。因为加入S的论证都是对S可接受的，因此，论证集合S是可相容的。可接受性和可相容性的形式化定义如下：
定义3 (1)一个论证a∈A对一个论证集合S可接受(acceptable with respect to)，当且仅当，
b∈A，bRa，都有SRb。(2)一个无冲突论证集合S是可相容的(admissible)，当且仅当S中的每一个论证都对S可接受。
一般来说，一个理性的推理者或论辩者会接受所有他/她可以辩护(或防御)的论证，因此会选择最大的可相容集合。因此，假设有论辩框架
＝〈｛A，B，C，D，E｝，((A，B)，(B，C)，(C，D)，(D，E))〉，一个理性的推理者应该会选择最大的｛A，C，E｝，而不是｛A｝和｛A，C｝。
定义4 论辩框架AF的一个优先外延(preferred extension)是AF的最大可相容集合(在集合包含的意义上)。
有的时候，我们需要给一个论辩框架⑤中的所有论证都指派状态：被接受或者被拒绝。
定义5 一个无冲突论证集合S是稳定外延，当且仅当，S攻击所有不属于S的论证。
定义6 论辩框架AF的一个特征函数(characteristic function)
，定义如下：
特征函数描述的就是可相容集合，把那些对某个集合可接受的论证加入该集合中。
在法庭辩论中，我们只能接受那些确定为真的证据。此时进行的是十分严格的怀疑推理，因此得出的结果最少，也就是特征函数取其最小不动点：最小的可相容集合。
定义7 论辩框架AF的基外延(grounded extension)是特征函数F[,AF]最小不动点。
定义8 一个可相容论证集合S是AF的完全外延(complete extension)，当且仅当每一个对S可接受的论证都在S中，即(S)S。
抽象论辩语义之间有如下关系：
1.优先外延是最大的可接受论证集合(在集合包含意义上)；
2.基外延是最小的完全外延；
3.优先外延是最大的完全外延(在集合包含意义上)；
4.稳定外延肯定是优先外延，反之不必然。
我们将任意论辩框架AF的基语义、优先语义、完全语义、稳定语义分别记作GR，PR，CO，ST，各个语义下的所有外延集合分别记作
(二)局部语义
局部语义旨在更高效地评估论证，即如何在不评估系统中所有论证的情况下对某些论证进行状态评估⑥。直观地，要评估某个论证，我们只需要考虑那些与该论证相关的论证，其余的论证则对该论证的状态没有影响。也就是说，待评估论证的相关论证集合不受其他论证的攻击。局部语义的应用有一个前提：论辩语义必须满足方向性。当然，我们要找的是某个论证或某个论证集合的最小相关论证集合，从而使得评估所需处理的论证数量最小。
定义9 (不受攻击集合)给定一个论辩框架AF＝〈A，R〉，论证集合UA不受攻击，当且仅当a∈(A\U)使得a攻击u中的论证。AF的所有不受攻击集合的集合记作US(AF)。
定义10 给定一个论辩框架AF＝〈A，R〉，一个论证集合BA。由B截取的AF子框架(也称为从AF到B的限制)定义如下：
。
定义11 一个语义S满足方向性标准当且仅当AF＝〈A，R〉，U∈US(AF)：
。
基语义、优先语义、完全语义和理想语义都满足方向性，但是稳定语义并不满足。
三、论辩语义的证明：论证作为过程
要在实时的推理过程中获胜，有两条基本的原则：(1)总是能给出最后一个论证；(2)不能自我矛盾。第一个条件就是，对反方的任何论证我们都能给出反驳论证，使得反方无法继续。第二个条件是，我们不能用反方的论证或自我攻击的论证。这是优先语义和基语义下的论辩博弈都必须遵守的，否则推理或论辩就不成功。
已有的论辩语义证明大多采用TPI争议树形式(two－party immediate response dispute，双方即时响应争议树)⑧。在一个TPI争议树中，如果反方使正反陷入自相矛盾(eo ipso)或无法继续(block)，则反方获胜，反之正方获胜。争议树的具体定义如下：
定义14 一个论证a的争议树T为
1.T的根节点是正方提出的论证a。
2.T的其余每一个节点都是一个论证，或者是正方节点，或者是反方节点，但不能同时既是正方节点又是反方节点。
3.对每一个标为论证b的正方节点N，对每一个攻击b的论证c，都存在N的一个子节点，为反方提出的论证。
4.对每一个标为论证b的反方节点，存在一个N的子节点，是正方给出的攻击b的论证。
5.除1～4所规定的，T中不存在其他节点。
T中正方给出的所有论证的集合称为T(或论证a)的防御集合(defence set)。在每一条争议链中，任何一方给出的论证都是针对对方上一步给出的论证。即在同一条争议链中，任何一方都不能回溯，当然在不同的争议链中可以而且有必要回溯。
(一)优先语义下的轻信证成
一个论证只要在一个优先外延中，我们就说它被轻信地证成。为此，正方只要能够为自己提出的论证进行辩护，争议就会获胜。也就是说，为了防御，正方可以重复自己的论证，只要反方无法给出新的论证，正方就获胜。反方如果要使正方不获胜，即使得正方提出的论证不在任何优先外延中，则必须赢得任何一条争议链，并且在每一条争议链中不能重复自己的论证。因此，正方只要赢得一条争议链，反方就不能成功地反驳正方。具体的，在某个论证的争议过程中，必须做到以下几点：
1.正方可以重复自己的论证(如有必要)，因为反方可能无法给出新的反驳论证。如此正方给出了最后一个论证并且正方给出的所有论证是可相容的。
2.反方可以重复正方的论证(如有必要)，因为这可能使得正方给出的论证之间有冲突。
3.正方不能重复反方的论证，因为这同样会使得正方的论证之间有冲突。
4.反方重复自己的论证是无意义的，因为正方可以用同样的论证来攻击反方的这个论证。
我们把轻信优先语义下的争议称为优先语义轻信博弈(credulous game)。正方无法获胜有两种可能：自相矛盾或无法提供新的论证反驳对方。来看一个正方自相矛盾的例子⑨：
例1 假设一位政治家P和一名记者J之间进行了如下对话：
P：两年内，目前的医保问题都将得到解决。
J：那么您就是说医疗保险金将会增加，因为政府已经决定不再向医保系统投入更多的资金，而您刚才承诺不会缩减基本医疗保障的范围。
对此，正反双方展开了下列辩论：正方认为政府会降低税收，而反方则从双方的共识出发，一步一步使得正方最后陷入自相矛盾的境地。
正方：我认为政府会降低税收。
反方：为什么？
正方：因为有一位政治家承诺了。
反方：那么你肯定也同意降低税收会导致预算赤字。
正方：是的，我同意。
反方：那么你肯定也同意这会使得政府受到欧盟的罚款。
正方：是的，我同意。
反方：那么你肯定也同意政府不会降低税收。
正方：哦，你是对的，我的想法错了。
在论证作为过程的方法中，正方和反方的每一步都要遵守一定的规则。因此，如果正方所持的观点(断言)在每一条争议链中都受到防御，则这个论证就在某个优先外延中。
命题1 一个论证在某个优先外延中，当且仅当该论证在每一个TPI争议链中都受到防御⑩。
例2 令
＝〈｛A，B，C，D，E，F，G，H｝，((B，A)，(D，B)，(C，A)，(E，C)，(F，C)，(G，F)，(H，G)，(F，H))〉。则关于论证A的一个完整争议树如下图所示。正方有可能首先用论证F来防御论证C的攻击，最后正方没有赢得该争议链，因而回溯到论证C(在已有的证明理论中，正反双方都被允许在不同的争议链中进行回溯)，用E来攻击C。因此正方要赢得争议树，并不一定要赢得所有争议链，而是对每一个攻击者都有一条获胜的争议链
图1 以及论证A的争议树
(二)优先语义下的怀疑证成
如果一个论证在所有的优先外延中，我们就说它被怀疑地证成。为此，正方要在任何情况下都能够为自己提出的论证进行辩护，争议才会获胜。也就是说，为了防御，正方不可以重复自己的论证，而反方可以重复自己的论证，因为正方有可能无法给出新的论证，如此反方就获胜。反方如果要使正方不获胜，即使得正方提出的论证不在某个优先外延中，则只需赢得某条争议链。具体地，在某个论证的争议过程中，必须做到以下几点：
1.反方可以重复自己的论证(如果有必要)，因为正方可能无法给出新的反驳论证。如此反方给出了最后一个论证并且反方给出的所有论证是可相容的。
2.反方可以重复正方的论证(如果有必要)，因为这可能使得正方给出的论证之间有冲突。
3.正方不能重复反方的论证，因为这同样会使得正方的论证之间有冲突。
4.正方重复自己的论证是无意义的，因为反方可以用同样的论证来攻击反方的这个论证。
我们把怀疑优先语义下的争议称为优先语义怀疑博弈(sceptical game)。一个论证如果不被轻信地证成，则该论证也不被怀疑地证成。换句话说，一个论证如果不在任何一个优先外延中，则该论证也不可能在所有优先外延中。因此，在轻信博弈中反方使得正方自相矛盾或无法继续的方法在怀疑博弈中同样适用。
同样地，如果正方支持的论证在每一条争议链中都受到防御并且该论证的任何攻击者都没有在任何争议链中受到防御，那么这个论证就在所有的优先外延中。
命题2 在每一个优先外延都是稳定外延的论证系统中，一个论证在所有的优先外延中，当且仅当，该论证在所有TPI争议链中都受到防御并且该论证的任何攻击者都没有受到任何TPI争议链的防御(11)。
例3 但是，这里似乎出了问题，来看下面这个例子
＝〈｛A，B，C，D｝，((B，A)，(A，B)，(B，C)，(A，C)，(C，D))〉：
图2
的优先外延为｛A，D｝和｛B，D｝，D在所有优先外延中。因此，D在优先语义下被怀疑地证成。D的所有攻击者(这里只有论证C)都没有被轻信地证成(如图3)，但是D却没有在争议树的所有争议链中都受到防御。
图3 论证D和论证C的争议树(12)
四、论辩语义的证明：论证作为结果
与论证作为过程的方法不同，在论证作为结果的方法中，我们并不要求正方或反方遵守一定的规则，而只是对论辩的结果进行分析，找出某个论证的争议树，对其进行判断，从而得出该论证是否在某个语义下被轻信地证成或被怀疑地证成。因此论证作为结果的方法主要分为两个部分，首先找出相关的争议树，然后对争议树进行分析和判断，从而得出结论。下面就分别介绍如何证明优先语义的轻信证成和怀疑证成以及基语义下的证成。
(一)优先语义下的轻信证成
再来看例3，为什么正方没有赢得所有争议链，但是论证A却被轻信地证成呢？在实际的推理过程中，虽然最理想的状态是我们没有自相矛盾并且对反方的每一个论证总是能给出反驳论证，但这并不是必然能做到的。当我们发现一条推理路线不成功时，可以回溯，重新选择一条推理路线。对于反方的每一次攻击，只要我们能够找出一条防御路线，我们所支持的论证就是被轻信证成的。因此，正方并不需要赢得整个争议树中的每一条争议链，而只需针对每一个反方论证(直接攻击者)，正方都有一条获胜的争议链。为此我们提出完整争议树、论辩子树和优先争议链的概念。
定义15 (完整争议树)一个论证a的完整争议树T为：
1.T的根节点是正方提出的论证a。
2.T中同一条争议链的某个论证不能既是正方节点又是反方节点。
3.对每一个标为论证b的正方节点N，对每一个攻击b的论证c，都存在N的一个子节点，为反方提出的论证c。
4.对每一个标为论证b的反方节点N，对每一个攻击b的论证c，都存在N的一个子节点，为正方给出的攻击b的论证。
5.除1－4所规定的，T中不存在其他节点。
与争议树不同的是，在完整争议树中，正方对反方的每一个论证也都给出所有的反驳论证。相同的是，在优先语义的轻信证成下，正方可以重复自己的论证，反方不能重复自己的论证。
定义16 (论辩子树)令AF＝〈A，R〉为一个论辩框架，论证a∈A的完整争议树为T，对于每一个攻击a的论证b都有一个论辩子树
，由T中所有经过b的争议链构成。
定义17 (优先争议链)令AF＝〈A，R〉为一个论辩框架，论证a∈A的完整争议树T，对于任意争议链
∈T，如果最后一个节点为正方节点并且正方给出的所有论证无冲突，则称为一个优先争议链。
定义18 令AF＝〈A，R〉为一个论辩框架，论证a∈A的完整争议树T，如果对每一个论辩子树
∈T，都存在一条优先争议链
，则论证a被轻信地证成。
命题3 一个论证在某个优先外延中，当且仅当，该论证的完整争议树的每一个子树都有一条优先争议链。
(二)优先语义下的怀疑证成
继续看例3，D无疑在所有的优先外延中，但是根据争议树定义，正方并没有赢得关于D的争议树。问题的根本在于，论证作为过程的证明理论规定，在优先语义的怀疑证成下，正方不能重复自己的论证，因此每条争议链的最后一个节点都是反方论证。如果我们允许正方重复自己的论证，D似乎就得到了防御。那么，是否正方重复自己的论证并且赢得所有争议链，就可以说正方获胜呢？答案是否定的，请看例4。
例4 如图4中的
，正方赢得论证B的争议树中的每一条争议链，但是论证B却不是被怀疑地证成的。
图4 和论证B的争议树
我们已经看到，要求正方不能重复自己的论证并且赢得每条争议链和要求正方可以重复争议链并且赢得每条争议链都不能使得正方获胜。即命题2的结论并不正确。此外，通过也能证明，一个论证要被怀疑地证成，既不需要正方赢得所有争议链，也不需要所有的优先外延都是稳定外延(优先外延为｛A，D，E｝，而稳定外延却不存在)。
判断一个论证是否被怀疑地证成，我们似乎无法从该论证本身的争议树中找到答案。一个替代的做法是，从该论证的攻击者的争议树着手。如果在任何一个攻击者的争议树中，存在一条优先争议链，那么该论证的反方就有一条防御路线，即有一个方法可以攻击正方。因此，这里我们要区分两个概念：“可以防御”和“无法防御”。前者是对正方而言，后者是对反方而言。在优先语义的轻信证成下，只要正方对每一个攻击论证都有一条成功的防御路线，正方就获胜；在优先语义的怀疑证成下，只要反方没有任何一条成功的防御路线，反方就获胜。因此，一个论证的怀疑证成状态定义如下：
定义19 令AF＝〈A，R〉为一个论辩框架，对于被轻信证成的任意论证a∈A，对b∈｛a｝[－]，如果b的完整争议树T中没有优先争议链，则论证a被怀疑地证成(13)。
命题4 (怀疑证成的可靠性和完全性)一个论证在所有的优先外延中，当且仅当该论证的每一个争议子树都有一条优先争议链并且所有攻击者在各自的完整争议树中都没有优先争议链。
(三)基语义下的证成
继续分析，｛A，D，E｝不仅是优先外延，也是基外延。一个论证在基语义下被证成，当且仅当该论证在基外延中。因此论证A在基语义下被证成。但是在A的完整争议树中，正方同样没能赢得所有争议链。与优先语义的轻信证成一样，基语义下的证成也只要求正方在每一个争议子树中赢得一条争议链。但是，这里赢得的争议链并不是优先争议链，而是基争议链：即正方不能重复自己的论证。
定义20 (基争议链)令AF＝〈A，R〉为一个论辩框架，论证a∈A的完整争议树T，对于任意争议链
，如果最后一个节点为正方节点并且正方给出的所有论证无冲突且不重复，则称为一个基争议链。
定义21 令AF＝〈A，R〉为一个论辩框架，论证a∈A的完整争议树T，如果对每一个论辩子树
，都存在一条基争议链
，则论证a在基语义下被证成。
命题5 (基语义下证成的可靠性和完全性)一个论证在基外延中，当且仅当该论证的每一个争议子树都有一条基争议链。
优先争议链和基争议链正是优先语义的怀疑证成和基语义下的证成之间的区别。一个论证在优先语义下被怀疑地证成，则该论证的防御集合不能包含该论证，但是并没有要求防御集合中的论证不能防御自身；而在基语义下，一个论证要被证成，则不仅它的防御集合不能包含该论证，并且防御集合中的论证也必须通过别的论证来防御。即正方不能重复自己的论证。
五、结论
通过分析已有的论辩语义证明理论——论证作为过程的方法(简称为AAP，argument-as-process)，我们提出了基语义和优先语义的新证明理论——论证作为结果的方法(简称为AAR，argument-as-result)。在AAP方法下，如果要证明一个论证在某个优先外延中，则支持该论证的正方需要构造一棵争议树，并且赢得争议树中的所有争议链；而AAR方法则首先构造出该论证的完整争议树，然后判断正方是否在每一个争议子树中赢得一条争议链(即有一条优先争议链)。
如果要证明一个论证在所有优先外延中，AAP无法通过论证本身的争议树来证明，无论是否允许正方重复自己的论证。在AAR方法下，我们通过对论证结果的分析可以得出：一个在优先语义下被轻信证成的论证，如果其所有攻击者都没有被轻信地证成，那么该论证就在所有的优先外延中。我们可以通过该论证的所有攻击者是否被轻信地证成来判断其是否也被怀疑地证成。AAP方法并没有明确区分基语义下的证成和优先语义下怀疑证成之间的不同。而AAR方法则用基争议链和优先争议链很好地呈现了两者之间的差异。
AAR方法是对论证状态进行评估的另一个视角，对论辩框架的其他研究也有一定的启发，如论辩树的修剪问题。两者的差异正好体现了论证作为过程和论证作为结果之间的本质区别：在论证过程中，我们总是尽可能做到不出错(自身的论证之间无冲突)，给出的每个论证都有用(能防御自身)；而在论证完成之后，有时候我们还是会发现自己犯了自相矛盾的错误(给出的论证之间有冲突)，有些论证并没有发挥作用(不能对自身进行防御)。但即使我们在论证过程中犯了某些错误，还是可能赢得论辩。另一方面，即使我们在论辩过程中完全按照规则，也有可能走到自相矛盾的境地或者无法继续给出论证来支持自己或反驳对方，从而无法赢得论辩。对论证结果的分析使我们更加清楚论证过程中应该注意的问题，在论证过程中遵守规则更能确保我们的论证结果。因此，AAP方法和AAR方法是相辅相成的。
注释：
①P.M.Dung,On the Acceptability of Arguments and Its Fundamental Role in Nonmonotonic Reasoning,Logic Programming and N-person Games,Artificial Intelligence,vol.77,no.2,1995,pp.321-357.
②P.M.Thang,P.M.Dung and N.D.Hung,Towards a Common Framework for Dialectical Proof Procedures in Abstract Argumentation,Journal of Logic and Computation,vol.19,no.6,2009,pp.1071-1109.
③S.Modgil,M.Caminada,Proof Theories and Algorithms for Abstract Argumentation Frameworks.I.Rahwan and G.R.Simari(eds.),Argumentation in Artificial Intelligence,Berlin Heidelberg:Springer,2009,pp.105-129.
④C.Cayrol,S.Doutre,J.Mengin,Dialectical Proof Theories for the Credulous Preferred Semantics of Argumentation Frameworks.In Symbolic and Quantitative Approaches to Reasoning with Uncertainty,Berlin Heidelberg:Springer,2001,pp.668-679; P.M.Dung,P.M.Thang,A Sound and Complete Dialectical Proof Procedure for Sceptical Preferred Argumentation,in Proceedings of the LPNMR-Workshop on Argumentation and Nonmonotonic Reasoning(ArgNMR07),2007,pp.49-63.
⑤若无特殊说明，“论辩框架”或AF均指AF＝〈A，R〉。
⑥Beishui Liao,Huaxin Huang,Partial Semantics of Argumentation,in Logic,Rationality,and Interaction,Berlin Heidelberg:Springer,2011,pp.151-164; Beishui Liao,Huaxin Huang,Partial Semantics of Argumentation:Basic Properties and Empirical Results,Journal of Logic and Computation,vol.23,no.3,2013,pp.541-562.
⑦即从b到a有一条有向攻击链，如：b攻击c，c攻击d，d攻击a。
⑧G.Vreeswik,H.Prakken,Credulous and Sceptical Argument Games for Preferred Semantics,in Logics in Artificial Intelligence,pp.239-253.
⑨M.Caminada,Preferred Semantics as Socratic Discussion,in Proceedings of the Eleventh AI * IA Symposium on Artificial Intelligence,2010,pp.209-216.
⑩G.Vreeswik,H.Prakken,Credulous and Sceptical Argument Games for Preferred Semantics,in Logics in Artificial Intelligence,pp.239-253.
(11)G.Vreeswik,H.Prakken,Credulous and Sceptical Argument Games for Preferred Semantics,in Logics in Artificial Intelligence,pp.239-253.
(12)B1表示在论辩过程中(除根论证外)第1次重复论证B。
(13)｛a｝＋表示攻击论证a的所有论证的集合；｛a｝－表示论证a攻击的所有论证的集合。