助学生完成认知上的飞跃——“用字母表示数”教研纪实，本文主要内容关键词为：用字论文,认知论文,纪实论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
“用字母表示数”是上海版《数学》五年级第一学期第四单元的内容，本节课是小学代数的起始课.对于小学生来说，这是认识上的一次重大转折.教参上是用“一个飞跃”来形容的——“从具体的、确定的数过渡到用字母表示抽象的、可变的数，是认识上的一个飞跃.” 如何帮助学生经历从“具体”到“抽象”，理解从“确定”到“可变”，直至成功完成这个“飞跃”，是本次课例研究重点思考并着力解决的关键问题. 一、教材研读——厘清知识的“序” 1.“用字母表示数”这一内容的“序” 教材是按一定的“序”来编排的，而每一教学内容本身其实也蕴含着“序”.“用字母表示数”这一教学内容的“序”又是怎样的呢？笔者在研究了他人教学经验的基础上，将这一教学内容的“序”呈现如下. 序一：认识一个数的状态——不确定的，有范围的； 序二：接受一种数学规定——不确定的，有范围的数在数学中可以用字母来表示； 序三：在同一事件中，通常用不同的字母来表示不同的数； 序四：在同一事件中，表示不同数的两个字母间存在着“＞”、“＜”、“=”三种比较关系； 序五：在同一事件中，明确两个数之间存在相差或倍比的关系时，在用一个字母表示某个数的前提下，另一个数也可以用这个字母式表示； 序六：体会用字母式与字母的区别，字母式既可以表示数的大小，又可以表示与另一个数之间的关系.因此，同一个事件中两个数若有联系，尽量用字母式表示比较方便. 2.本课的重点与难点 （1）结合具体情境，理解字母可以表示一定范围内变化的数. （2）理解含有字母的式子既可以表示数量，也可以表示数量关系. 二、学情分析——摸清认知的“路” 1.学生对“用字母表示数”的理解水平 在英国的儿童数学概念发展水平研究（CSMS）中，柯利斯（K.Collies）提出，学生对“字母表示数”的理解可以概括为6级水平： （1）赋予特定数值的字母：一开始就对字母赋予一个特定的值； （2）对字母不予考虑：根本忽视字母的存在，或虽然承认它的存在，但不赋予其意义； （3）字母被看成一个具体的对象：认为字母是一个具体物体的速记或其本身就被看成一个具体的物体； （4）字母作为一个特定的未知量：把字母看成一个特定的、但是未知的数量； （5）一般变化的数：把字母看成代表了，或至少可以取几个而不只是一个值； （6）字母作为一个变量：把字母看成代表一组未指定的值，并在两组这样的值之间存在系统的关系. 2.学生的学习经验和学习困难 从我们对学生的调查中也可以得出，大部分学生对字母表示数的理解仅处于第（2）（3）级水平，要达到第（6）级水平的理解是存在困难的.学生比较容易接受的是字母表示缩写的含义，看到字母会直接联想到具体的事物，如“KFC——肯德基”；大部分学生能把字母看作符号，并能用字母来表示运算定律、运算性质及计算公式等. 我们又对已经学过这一内容的学生进行了如下问题的调查： ●同样是字母n，“徐老师今年n岁”与“n×3=15”有什么不同？ ●你能将“1只青蛙1张嘴，2只眼睛4条腿”这首儿歌往下编吗？ ●为什么要用字母“a+b=b+a”来表示加法交换律？ 调查结果显示，对第一个问题，绝大多数学生认为这两个字母n是一样的.这说明学生没有关注到用字母表示一个不确定的、有一定范围的数，与之前已经认识的用字母表示一个确定的、唯一的数之间的本质区别. 对第二个问题，近50%的学生是按着自然数的顺序一直往下编，有部分学生想到了用字母来表示，其中约80%是编成“a只青蛙b张嘴，c只眼睛d条腿”，有少数学生编的是“a只青蛙a张嘴，b只眼睛c条腿”，只有极个别的学生会用“a只青蛙a张嘴，2a只眼睛4a条腿”来概括，当这句话呈现在学生面前的时候，学生有恍然大悟之感，觉得看着这句话来编的话省力多了，而且计算起来还不容易出错. 第三个问题大多数学生的回答是：不知道，因为书上是这样写的.说明其简明概括的特点学生没有体会或体会不深. 3.教师的理解对学生的影响 上述调查结果既证实了这一知识内容确实是教学中的一个难点，也反映了教师教学中的问题.于是，我们对部分教师进行了访谈.当被问及“是否知道学生的经验和困难有哪些”“为什么说这个内容是学生认识上的一个飞跃”时，多数教师坦诚教学前没有深入地思考过这些问题，因为觉得学生学习这个内容不会有太大的困难，要错的话也就a2容易计算成a×2；对“飞跃”的理解，大多数教师觉得是指“这个内容标志着学生开始学习代数知识了”. 因为我们选择访谈对象时有一定的局限性，所以以上的访谈结果不一定具有普遍意义，但不可否认确实暴露了部分教师的真实想法.因此，对这节大家已经上了又上的“熟”课还是有一定的研究价值，尤其是对如何引领学生成功完成这个“飞跃”，首先要让这些教师在教学目标的制定上有一个理念上的“飞跃”. 基于以上对教材、对学生、对教师的分析与了解，我们制定了如下教学目标： （1）结合具体情境理解字母不仅可以表示特定的数，还可以表示一定范围内变化的数； （2）能用含有字母的式子表示简单的数量和数量关系，渗透符号化思想； （3）理解含有字母的式子既可以表示数量，也可以表示数量关系； （4）体会用字母表示数的简洁性和概括性. 三、实践反思——追求课堂的“真” 1.简化感知的“材” 对于“用字母表示数”这一知识的教学，基于对教材的研读，基于对学生学习经验与学习困难的分析，我们选择了最朴素、最简单的教具——黄、白信封各一，粉笔若干，以期让学生直面数的状态，帮助他们产生探求知识的需求感. 【教学片断1】 师：（取出一个黄信封，放入1支粉笔）仔细观察，想一想，可以用哪个数来表示黄信封里所放粉笔的支数？ 生：可以用1来表示. 师：（倒出，放入2支粉笔）现在你用几表示？ 师：（将黄信封放到桌子下面——增加神秘感，装进若干支粉笔）现在呢？ 生：可能是3. 生：可能是5. 生：不一定，有很多可能. 师：为什么前面两次大家的意见很统一，现在却不一致了呢？ 生：因为刚才我们看着老师放进去的，这回老师没让我们看，所以吃不准究竟放了多少. 师：既然有多种可能，那怎么没人说可能是100的呢？ 生：不可能，100支粉笔肯定装不下的. 师：那也就是说，尽管有多种可能，但还是有一个范围的.我们可以用一个字母来表示.（教师把黄信封固定在黑板上，在下面写上字母“a”）比如用字母a来表示，那么就可以说——黄信封里现在有a支粉笔. 由于信封不带情境因素，没有附加的情境趣味，因而将学生的思考集中在数的表示上.当学生看见教师往信封里放粉笔时，数的表示是明确的；当学生看不见教师往信封里放粉笔时，数的表示就不确定了.在对比中，学生开始面对并认识了“一个数的状态”，信封有一定的大小，它的大小决定了它的容量，可以帮助学生感悟“数是有一定范围”的. 【教学片断2】 师：（拿出一个放了粉笔的白信封）这个白信封内的粉笔数，可以怎么表示？ 生：也可以用a表示. 生：我觉得刚才黄信封已经用a了，白信封应该用另外一个字母…… 生：随便用哪个字母都行，只要不是a. 师：真不错！已经想到用字母来表示了.老师把刚才大家提到的字母归成两类，一类是已经用来表示过黄信封的a，还有一类是除a以外的任何一个字母，我们用b作代表.大家认为是用a好呢，还是用b好？ 生：用b好. 师：理由？ 生：因为信封不同了，数也不一定相同，所以换个字母比较好. 生：因为白信封和黄信封里的粉笔数可能是不同的，a和a表示的是相同的量，用b比较好. 师：同学们说得有道理，我们用a表示了黄信封里的粉笔数，就用b来表示白信封里的粉笔数…… 两个不同颜色的信封更能帮助呈现字母与字母式的数学意义.当第二个信封出现时，矛盾冲突，学生有了表示不同数量的需求，从而产生了用不同字母的解决方法. 2.优化教学的“序” 在认识a+2的环节中，我们原本设想——当两个信封之间建立明确的比较关系（白信封的粉笔比黄信封多2支）的时候，学生会有新的认知，有的用a+2表示，有的还用b表示，于是，又形成一个数学问题：a+2和b都可以表示自信封里的粉笔数时，用哪个表示更合适呢？从而将字母式与字母的认识放在学生面前，通过对比，应该很容易得出用字母式表示更合适，因为它还表示了与另一个数之间的关系. 可是，实际教学时，并不像预设那样—— 【教学片断3（A）】 师：我们用a表示黄信封里的粉笔数，用b表示白信封里的粉笔数，那么a和b，你认为谁大呢？ 生：a大…… 生：a＞b、a＜b、a=b，都有可能. 师：那接着选择其中的一种来研究一下，增加了一个条件，白信封里的粉笔比黄信封多2支，符合吗？（指着a＞b）现在白信封里的粉笔数又可以怎么表示呢？ 生：我觉得还是可以用b，因为它们的支数不相同. （学生接连说出a+2、b-2、5+2等，让教师有些措手不及） 师：把你们的想法全都罗列出来了，对于这么多不同的表示方法，哪一种是正确的，或是更合适呢？理由又是什么呢？四人小组讨论一下. 生：5+2不对，因为这样一来，白信封里的粉笔数就确定是7支了. 生：（赞同，补充）白信封里的粉笔数量是一个不确定的数. 生：我们小组认为b-2是不对的.因为b代表白信封里的数量，b-2就代表了黄信封里的数量.而这里要表示的是白信封里的粉笔数呀. 师：对啊！那剩下的表示方法呢？谁再来说说？ （学生有些冷场） 生：我们觉得a+2是正确的，因为我们刚才知道，白信封里的粉笔比黄信封多2支，这就是它们之间的关系. 师：这个词用得真好，你们感受到它们之间的关系了吗？ （再次冷场） 生：我发现，知道它们的关系也就能得出结果. 师：（如获至宝）你能举个例子吗？ 生：比如a=10，a+2=12. 师：（帮助规范语言）我们可以说，当a=10时，a+2=12. 师：谁再来举个例子？ 师：两个同学互相说一说. （生互说后，汇报交流） 师：“a+2”这个简简单单的式子，将那么多个“当”全都包含在内.a+2不仅表示白信封与黄信封之间的关系，还表示白信封里粉笔数量的多少.这就是用字母式子表示数的优势. 意外的生成让教师措手不及，两次冷场反映出“a+2”的认识走得有些艰难，若不是学生的突然感悟救了场，这一部分的教学效果可想而知. 那么，问题出在哪里呢？“b-2”“5+2”怎么会出来的呢？学生在感悟字母式与字母表示的区别时，为什么显得那么牵强呢？ 学生的想法大多有源可溯，“b-2”“5+2”的出现自然也不例外. “5+2”的出现—— 再次观看课堂实录，果然找到了原因.原来，在认识a的过程中，有这么一段—— 师：你们都想到了用字母来表示，我们选择26个字母里的第一个字母a来表示可以吗？（板书：a） 师：现在来看一看.到底是几.（倒出黄信封里的粉笔，一支一支地数） 生：a=5. 师：对，现在的a等于5. 就是因为这个“现在的a等于5”，就有了后来的“5+2”. “b-2”的出现—— 由于之前学生已经知道用不同的字母来表示不同的量，用b来表示白信封里的粉笔数量，因此增加“白信封比黄信封多2支”的条件后，学生很容易从b出发去思考，根据条件的理解，得出b-2. 然而，正是由于这两个答案的出现，使得学生需要处理和思辨的信息陡然增加，严重干扰了学生进行信息对比的指向，一部分学生也许还能跟着教师向前走，而另一部分学生可能已经云里雾里了.虽然教师最后将学生引回了“b”与“a+2”的对比中去，救场的学生提到了“关系”这一重要的词语，但学生学习与感悟的序却被打乱了，效果自然差强人意. 于是，我们将教学顺序作了调整. 调整前：尝试—思辨—发现—举例—感悟 调整后：举例—揭示—验证—发现—感悟 【教学片断3（B）】 师：现在增加一个信息，白信封里的粉笔比黄信封多2支，a和b的大小关系确定了吗？ 生：a＜b. 师：你能举个例子吗？ 生：黄信封里有1支，白信封里就有3支. 生：如果黄信封里有10支，白信封里就有12支. 师：他刚才用了一组关联词，有谁注意到了？（众生茫然）请你将刚才的话再重复一遍。（生重复） 生：他用了“如果……就……”. 师：这个词用得好！为什么要说“如果……”？ 生：因为这样的例子有很多，我是假设黄信封里有10支，那么白信封里就有12支. 师：是呀！这样的例子确实有很多.老师也想来举一个，你能猜出是什么吗？ 生：如果黄信封里有18支，白信封里就有20支. 师：很遗憾，没猜对.谁能保证一定猜对？ 生：有这么多可能，谁都不可能保证猜对的. 师：你们猜不出我的例子，但我却能表示出你们所有人举的例子，信不信？ （学生将信将疑，教师板书：a+2） 师：用你的例子来验证一下，符合不符合？ 生：黄信封里有0支，白信封里有0+2支. 师：小胖也举了个例子，a是200，a+2就是200+2.符合吗？ （一些学生点头后又纷纷摇头） 生：不对的，信封里装不下这么多的粉笔. 生：a是有范围的. 师：说得真好！这里的a不可能取200，如果是这个信封（出示一个超级大信封，学生哗然），那小胖的例子就成立了.所以，在用字母表示数的时候，这个字母的取值范围要根据实际情况而定. 师：现在白信封里的粉笔数有两种表示方法：b和a+2，你认为哪种表示方法更好？为什么？同桌可以交流交流. 生：用a+2表示更好.（大家都同意） 生：因为a+2可以看出多2支. 生：因为只要知道黄信封中的a是几，就知道白信封里的粉笔数了. 生：因为a+2可以把所有同学举的例子都包括进去. 师：你说得太好了！如果将“包括”改成“概括”就更好了！谁来用“概括”再说一遍？ 这一次，学生的感悟有着“水到渠成”之感，主要归功于以下三点—— 大量的例子——举例环节提前，学生根据增补的条件，轻松地举出了若干例子，而这些例子为学生提供了大量的对比与感悟的材料. 强烈的对比——“你们猜不出我的例子，但我却能表示出你们所有人举的例子.”教师的一句话激发了学生的学习兴趣，也唤醒了新知学习的需求感.而“a+2”这一简单的字母式又与学生之前所举的大量的例子形成强烈的对比，学生自然而然地在对比中感悟字母式的优势所在. 精准的点拨——教师的每一次点拨与追问，都是围绕着知识的本、认知的序来进行的，效果也就不言而喻了. ●他刚才用了一组关联词，有谁注意到了？（“如果……就……”） ●为什么要说“如果……”？ ●你说得太好了！如果将“包括”改成“概括”就更好了！谁来用“概括”再说一遍？ 对比调整前后的两段实录，我们清晰地认识到，在实际教学过程中，还要不断优化教学的“序”，即在有序的教学活动中，把数学知识结构中的“序”和学生心理发展过程中的“序”统一到教学活动中的“序”上来，并采取有力的措施帮助学生解决认知过程中可能出现的种种障碍，以此促进学生心理结构与教材知识结构的主动适应，从而推动学生认知结构沿着教材知识结构的逻辑顺序向前发展. 3.感受学生的“变” 一节课是否有价值，可以通过学生上这节课的前后是否有变化来检验.在上完这节“用字母表示数”的两天后，笔者找了3位学生进行了一对一的诊断. 【问题1】“徐老师今年n岁”与“n×3=15”中的字母“n”有什么不同？ 生1：“n×3=15”中n=5；“徐老师今年n岁”中“n”是不确定的. 生2：徐老师的年龄不知道，所以用n表示，可能是四十几岁，也可能是三十几岁. 生3:一个是只能表示5，一个是可以表示很多数，但是有范围的，老师也不可能是100岁吧. 【诊断】对于字母n，3位学生都能关注到前者表示的数是不确定的，并且有学生还能关注到是有范围的，说明目标1已达成. 【问题2】你能将“1只青蛙1张嘴，2只眼睛4条腿”这首儿歌往下编吗？ 生1：a只青蛙a张嘴，b只眼睛c条腿. 生2：2只青蛙2张嘴，4只眼睛8条腿；3只青蛙3张嘴，6只眼睛12条腿；……编不完的.哦，对了，可以是a只青蛙b张嘴，c只眼睛d条腿. 生3：2只青蛙2张嘴……让我想想，a只青蛙a张嘴……嗯……a只青蛙a张嘴，2a只眼睛4a条腿. 【诊断】3位学生都能想到用字母来表示，但对数量之间的关系不敏感.有2人能感知到相等的量（青蛙的只数与嘴巴的数量），并会用相同的字母表示，只有1人能关注到眼睛和腿的数量与青蛙只数的关系，但用字母式表示很不熟练，勉强说出的那个是班上的数学尖子生.说明用字母式表示数量关系对学生来说真的很难，需要后续的反复巩固. 笔者在生1、生2回答完后随即让他们对如下三个选项进行选择： A.a只青蛙b张嘴，c只眼睛d条腿； B.a只青蛙a张嘴，c只眼睛d条腿； C.a只青蛙a张嘴，2a只眼睛4a条腿. 生1：应该是C.我怎么没想到啊！老师上课讲过的，这样编的话关系也清楚了. 生2：老师，A和B一样的.哦……不一样的，B比A好.让我再看看C，好像C还要好，算起来更方便. 【诊断】当之前出错的2人看到正确的编法时，都能意识到比自己原来编的好，还能够回想起当日课堂上的情境.这说明目标2和3基本达成. 【问题3】为什么要用字母“a+b=b+a”来表示加法交换律？ 生1：如果不用字母来表示的话，一个式子只能写出一种情况，比如说3+4=4+3. 生2：这个我不太清楚，书上就是这样写的.大概是为了让我们可以背得快一点. 生3：用字母来表示加法交换律可以把所有的例子都写进去，比较概括. 【诊断】虽然学生对这个问题的回答不一定很规范，但都表达了“概括明了”的意思.说明目标4是达成的. 上述问题依旧是本文前面提及的用于其他平行班调查时的那三个问题，从调查结果的对比中可以看到学生学了以后是有变化的，可以认为学生已经初步完成了“认知上的飞跃”. 可见，唯有实践才是硬道理，在实践中才能追求教学的真，实现教学价值的最大化.