戴德金对理想论的贡献，本文主要内容关键词为：贡献论文,理想论文,戴德金论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
[中图分类号]N0112 [文献标识码]A [文章编码]1000-0763(2013)04-0058-06
理想又叫理想子环，源于理想数，是抽象环论中的重要概念，在环论里的地位同不变子群在群论里的地位类似。经历一百多年的发展和完善，在20世纪30年代形成了完善的理想论。很多杰出的数学家参与其中，做出重要贡献，格廷根大学的哲学博士戴德金(R.Dedekind，1831-1916)就是这一过程中重要的代表人物。他的许多成就赋予数学深刻的内核，其中他的理想论成就，继承和发扬了库默尔(E.E.Kummer，1810-1893)的理想数理论，使理想论取得重大进展。
理想论源于唯一因子分解问题的讨论。高斯(C.F.Gauss，1777-1855)为了解决高次互反律问题引入复整数，解决了四次互反律问题。雅可比(C.G.J.Jacobi，1804-1851)等数学家在此基础上推进了互反律问题。最终彻底攻克一般高次互反律问题的数学家是库默尔，他引入先进的理想数的思想，不但使上述问题圆满落幕，还使费马大定理的研究进程迈出了关键性的一步。戴德金在集合意义上提出理想概念，建立了严密的理想理论。同时代的数学家克罗内克(L.Kronecker，1823-1891)也给出了自己的理想论，但没有戴德金的理想论影响广泛。希尔伯特(D.Hilbert，1862-1943)、斯坦尼兹(E.Steinitz，1871-1928)、弗兰克尔(A.H.Fraenkel，1891-1965)、拉斯克尔(E.Lasker，1868-1941)、麦考莱(F.S.Macaulay，1862-1937)等在戴德金之后对理想论有一些推进。1926年E.诺特(E.Noether，1882-1935)在集合上定义了一些抽象关系，即用结构的思想建立起抽象理想理论，并把理想论有机地并入抽象环论当中，对抽象代数学的发展有积极的促进作用。鉴于戴德金在理想论发展中的重要作用以及国内还未有详实论述戴德金理想论成就的论文问世[1]，[2]，所以我们在搜集整理戴德金文献以及代数数论、抽象代数学等相关文献的基础上，通过戴德金理想论各版本的演化以及与同辈数学家克罗内克的比较，剖析戴德金对理想论的贡献。
一、戴德金对理想论的贡献
作为高斯的学生，戴德金继承了格廷根学派的血脉，在数学上有很多创新。现在很多概念和定理是以他的名字命名的。他提出的理想概念及理论引导了大批数学家的研究方向。比如，全才数学家希尔伯特在1900年的数学家大会上高度赞扬戴德金的工作。德国女数学家E.诺特更是对戴德金推崇备至，不但建议她的学生反复学习戴德金的思想，而且在别人赞扬她的新方法时，她总是情不自禁地说：“Es steht alles schon bei Dedekind(在戴德金那里已经全有了)”。从1854年起，戴德金在格廷根大学讲授概率论和几何学课程。从1855年起，他在教授课程的同时，还通过聆听和讨论狄利克雷(P.G.L.Dirichlet，1805-1859)的数论、势论、定积分和偏微分方程课程以及黎曼(G.F.B.Riemann，1826-1866)的阿贝尔函数和椭圆函数论课程来拓展学术视野。戴德金潜移默化地继承了高斯、狄利克雷和黎曼三人的概念方法，在学术研究的同时也成为狄利克雷和黎曼的好友，编辑整理了狄利克雷和黎曼的全集。戴德金正是在编辑狄利克雷的《数论讲义》(Vorlesungen über Zahlentheorie)时在附录中加进了自己的理想论成就。
理想概念的前身是理想数，是库默尔为了实现分圆数域中的因子分解在1844年引进的，不但解决了一般高次互反律问题，推进了费马大定理解决的进程，而且建立起崭新的理想论，并和高斯一起开创了早期代数数论的新学科。
戴德金大约从1856年起长期研究库默尔的理想数，继承和发扬了库默尔的理想数思想，得出结果后还多次进行修订，体现了戴德金严谨的学风。戴德金认为理想数是它所整除的全部复整数的集合，他把这个全部复整数的集合命名为理想。理想数是数，理想是集合，这样，从理想数推广到理想，实际上是从数推广到集合，这是数学思维方式的一次大的革新。后来，理想论又进一步推广和延伸，从分圆数域到代数数域、数环，直至推广到一般的环上。这种逐层的深入和推广是数学研究的重要方法，也使得理想论一步步登上更高的理论层次，发展为一个相对独立的数学理论，应用到许多领域，产生了不可忽视的影响[3]。
戴德金具有良好的哲学素养，把深刻的概念方法运用到理想论的研究中，是代数结构思想的萌芽。戴德金的理想论是为了讨论代数数域中的唯一因子分解问题建立的，先后出版四个版本。在这四个版本中，反复强调概念方法，基本思想大体相同，只是运用的概念越来越完善。其中三个版本是戴德金在编辑狄利克雷《数论讲义》的时候，把理想论作为其中的附录出版的。戴德金把他的理想论的第一个版本编辑在狄利克雷《数论讲义》1871年版的第十个附录当中。他1876-1877年用法文发表理想论的第二个版本。把理想论的第三个版本和第四个版本分别编辑在狄利克雷《数论讲义》1879年和1894年版的附录十一当中。为了更好地了解戴德金深刻的概念方法，下面我们分析这几个版本的内容和思想。
1.戴德金理想论的第一个版本
科学研究总是沿着继承和创新的道路不断前进，戴德金在编辑整理学习狄利克雷的《数论讲义》的同时，开展自己的创新工作。他重视概念的深化和运用，按照由已知到未知的顺序引入一些重要概念，并用朦胧的集合论思想把这些概念进行升级。戴德金在格廷根大学的就职演说强调，把新概念引入数学在巩固和阐释现有知识，探索新知识的过程中发挥着主导作用。
戴德金在理想论第一个版本当中，首先介绍了现今代数数域的基本概念代数数和代数整数，它们是满足有理整系数代数方程
的根，当
时，则根称为代数整数。代数数和代数整数与理想论关系十分密切，这里表面上是在阐释代数数和代数整数，实则为理想论的阐述进行铺垫。他证明，代数整数经过加、减、乘之后仍是代数整数。而代数数经过加、减、乘、除之后仍是代数数。戴德金证明了代数整数的一些基本性质，重点比较了代数整数与通常整数的异同。戴德金接着给出了域的概念，但他所讨论的域还仅仅局限于数域的范畴。数域就是对加、减、乘、除(除数不为零)四种运算封闭的数的集合。代数数的集合构成代数数域。而代数整数的集合构成环。他在238页还指出，已知α，β为代数整数，如果存在一个代数整数γ，使得α=βγ，那么就说α可由β整除。对任一代数数α，总能找到一个无限代数整数h，使得hα是一个代数整数。任一代数整系数首一多项式的根也是代数整数。这一结果对戴德金理论至关重要，是证明因子分解定理的关键。用现代的语言，就是代数整数环是整闭的。然后，他把通常整数的同余理论推广，得出模的概念。并把模定义为：对加、减两种运算封闭的实数系或复数系。虽然与现代定义的形式类似，但是作用差之千里。他还推广可除性理论得出素数及单元的概念。
有了以上这些概念和性质作为基础，戴德金在附录十的§163节，给出了理想和素理想的定义，这是早期代数数论的最为基本的概念。他的理想定义如下：
然后他在253页定义了整除和素理想。素理想有两种定义方式，第一种定义是：已知一个理想P，它与主理想U不同，如果它只有U和P两个因子，那么称它为素理想[4]。第二种定义是：已知一个理想P，如果对于P中的每一个乘积αβ，α或β其中之一在P当中，那么P就是一个素理想。这两个定义不同，第一个定义以理想的包含性质为基础，揭示概念的内在特点，而第二个定义依赖于一些特殊整数的选择来判断一个给定的理想是不是素理想，相当于一个判别准则。为了完成因子分解定理的证明以及确定因子的重数，他还引入单理想的概念。单理想不是抽象定义的，而是满足一种具体的同余关系的集合[5]。单理想的幂比较容易定义，只是有些依赖于理想中的特殊元素。戴德金运用它证明了因子分解定理。戴德金又证明了每个素理想都是一个素的单理想，因而不必引入单理想，只通过素理想就可以论述因子分解定理。最后定义理想的乘积，即已知两个理想A和B，它们的乘积AB就是由所有形如ab(a∈A，b∈B)的数以及所有乘积ab的和构成的理想。满足结合律、交换律及其他一些性质[5]。戴德金得出理想论基本定理，即代数数域每个非单位的理想可唯一地表示为素理想的乘积。这是一般整数论的理论系统，但是代数整数与有理整数有很大的区别，就是一般代数整数不能进行唯一因子分解，这反映在代数数域理想的类数问题上，理想在等价关系下分成理想类。戴德金还研究代数数域的分歧理论，定义基本理想，即共轭差集，得出两条主定理。
戴德金的理想论的第一个版本，是在出版人的催促下仓促出版的，因此只是用理想的语言对库默尔的结果进行了翻译或者转化，缺乏深入细致的剖析，知道者寥寥，没有产生广泛的影响。
2.戴德金理想论的第二、三个版本
1876-1877年，戴德金应邀在《数学科学通报》(the Bulletin des sciences mathématiqes)上发表了关于理想论的法文报告“代数整数论”(Sur la théorie des nombres entiers algébriques)。为了使理想论普遍推广，戴德金做出一定的妥协，放弃原有的习惯，改进论述方式，他不再铺垫一般概念，从具体问题直接切入，比起第一个版本的论述更具有信服力。理想论1879年的版本在本质上与1876-1877年法文版本相同，因此下面我们重点讨论1879年的版本[5]。
这一个版本是狄利克雷《数论讲义》第三个版本的一个附录。和第一个版本不同，没有叙述代数数(满足整系数代数方程的数)等一些已知的概念和性质，直接讨论理想论的内容。把第一个版本的结尾作为开始，先给出理想的乘积的定义，然后讨论它的性质，对理想进行讨论。避开了单理想的讨论，叙述更加简洁。第一个版本中根据包含在理想中的整数的乘积阐述的定理，现在可借助理想本身及其乘积来阐述。特别是素理想的刻画。他把素理想的第二个定义重新表述为：如果理想(或数)的乘积由素理想p整除，那么至少有一个因子可由p整除。他还用理想的乘积来刻画奇异理想。他在303页给出，如果一个理想A可由一个素的单理想整除，那么称为奇异理想[6]。每一个不包含数字1的理想或是一个奇异理想，或是可以唯一地表示为奇异理想的乘积。这些奇异理想是互素的。这是这一个版本的创新之处[6]。
戴德金理想论的第一个版本把代数整数环(algebraic integar domain)作为证明因子分解定理的结构，当时没有明确说明。这里，他不但明确这一点，而且在305页引入更为一般的概念戴德金体。它是满足下列三个条件的一个数集，用D表示：
(1)D是一个由n个数字构成的有限集生成的模。同时，这n个数字生成一个数域，作为参照结构。
(2)D对乘法运算封闭。
(3)1∈D。
这样，就把代数整数环看成了体的特例。他接着证明了体中的几个结果。除规定体的一般性质，还规定了代数整数环的性质，最为重要的性质是整闭性。文章最后回到问题的核心，论述理想的因子分解理论。他把理想论基本定理表述为：代数数域中每个非单位的理想可唯一地表示为素理想的乘积[6]。
总之，戴德金理想论的1879年版本不仅从叙述方式上还是从涵盖的内容和思想上都与第一个版本有很大不同。例如，一开始就定义理想的乘积，还建立了“是某一个理想的倍数”的两种定义的等价性。说明戴德金对问题的理解更加深入，理清了理想论中的一些概念的关系，特别是为何只有当考虑整个代数整数集合时，唯一因子分解定理才成立。这一个版本为未来指明方向，理想在代数整数环中的唯一因子分解理论是更一般理论的特殊情形，但遗憾的是没有深入剖析这一点[7]，[8]。之所以这样，不是因为戴德金的技术能力达不到，而是缺乏这样的动机。戴德金只是把理想论作为研究因子分解的工具，而不是研究对象。他把目标定位在对理想进行唯一因子分解，因此把体的一般理论放在次要位置，也就没有得出一般的理论。
3.戴德金理想论的第四个版本
以概念主导研究的信念使得戴德金不断深化理想论的概念和方法，1894年，戴德金理想论的第四个版本同样在狄利克雷《数论讲义》的附录中发表[9]。戴德金不但进一步发展了一些概念和结果，而且介绍了更加深刻的方法和革新，使理想论站在更加坚实的基础之上。
在这一个版本当中，戴德金首先论述了上述版本所没有讨论过的伽罗瓦(E.Galois，1811-1832)理论，然后细致分析了模代数的概念和性质。与上述各个版本不同，戴德金把模代数作为因子分解理论的基础。他用模代数的语言重新阐释概念，如最小公倍数、最大公约数、整除、乘积等等。证明了通常整数的代数性质对于模的运算同样成立。他还指出模代数具有一些重要特性，如模恒等式。他定义了模的商。模的商B∶A就是使得nA包含在B中的全部n构成的集合N。然后，他利用模的乘积和模的商定义了体。一个模的体是使得αA包含在A中的数α的全体构成的集合。他也定义了模的负数幂。戴德金的模代数的主要意旨是：如果人们研究由任意多个有同一体的模构成的集合，那么模的幂的乘法和除法性质就等同于有理数的乘法和除法性质。我们知道理想是这样一个集合，即模的体是已知数域的全体整数构成的集合。所以，前面的结论对理想也成立。他在后面的一节把它作为理想的另一个定义。他还给出模的一个重要结果，对抽象理想论至关重要。它就是升链条件及其证明。升链条件(a.c.c.)即为：如果一个模链
包含在一个已知的有限生成模N当中(即一个有有限个生成子的模)，使得对所有下标i，满足
的一个倍数，那么存在一个下标k，使得对全部k＞i，有
。由此，戴德金依据数集的包含性质引入新概念和新结果。不但使得模不再孤立地存在，而且可以避开模中的特殊元素的讨论。升链条件的一般抽象形式及其在有关抽象理想的唯一因子分解中的重要作用是E.诺特的重要成就之一。
与以前的版本相比较，这一个版本更加系统。戴德金在阐述了以上大量概念和结果之后，才给出了代数整数的定义。他运用模代数的语言表述了代数整数的定义及性质。一个代数数是一个整数当且仅当它包含在某一个模A的体中。整数对加、减、乘三种运算封闭。任一整(不必是有理整数)系数多项式方程的根也是整数。戴德金理想论的这一个版本的核心定理是：对于每一个非零有限生成模M，若它的代数数中只包含整数或分数，则存在另一个模N，可以通过M中元素的有理运算得到它的全部元素，同时使得乘积MN只包含整数且整除有理整数模Z[9]。
戴德金在论述了模和代数整数的大量有关结果之后，从§177节开始，阐述理想论。较容易地得到理想论的其余结果，包括理想的唯一因子分解定理。他把理想刻画为真模M，它的体是整个代数整数环D，且满足MM[-1]=D。这样来刻画理想，就能够运用前面模代数的结果，使得问题及方法变得简单。总之，在这一个版本当中，理想论是由模代数推导出来的。戴德金注重集合，而不再注重集合中的数，从集合的包含性质得出模代数的一些运算。戴德金遵循长期秉持的原则，首先表述新的概念，然后将其运用到具体的内容当中，这是戴德金有意识的工作，而不是无意识的推广或者是由抽象定义得出的[5]。
从以上讨论可以看出，戴德金重视概念，以概念方法为主导，各个版本的概念逐渐深化，使得理想论越来越完善。他曾计划写理想论的第五个版本，其中包含更为深厚的概念，但没有能够实现。他把数之间的关系(被…整除，是…倍数)系统地表述为集合论的语言(如包含于…中)，这样，数论的定理主要表现为数学结构的定理。由于数的关系清楚而明确，这样使得代数数的结构理论成为抽象代数的一些分支，特别是交换代数的原型和主要依据，反过来结构数学的框架也使理论大大推广，形成丰富的内涵[1]，[2]。不过，在戴德金的理想论中，理想还仅限于是一种数集，并没有发展成为具有抽象运算的非空集合，也没有发展成为更一般的代数结构，即环。戴德金体虽然在形式上与环是等价的，但不是理想的一般结构，而环在现代代数概念中具有一般结构的特点。这也是早期代数数论的特点，主要把目光局限在理想论的层次，很少上升到环的层次来讨论问题。
二、戴德金与克罗内克理想论的比较研究
克罗内克同样是一位卓越的德国数学家，1823年生于富裕的犹太商人家庭。小时候聘请私人教师授课，后进入利格尼茨预科学校，有幸成为数学家库默尔的门生。在良师的指导下，他很快显露数学才华，并对哲学、音乐、语言学、军事和政治都颇感兴趣。1841年顺利进入声名显赫的柏林大学，受到狄利克雷的深刻影响，同时雅可比的椭圆函数论影响了克罗内克的一生。1845年顺利取得博士学位。在数学界沉寂八年后发表“论代数可解方程”，只有不超过三位的数学家能跟上他的思路。1855年，他重返柏林，成为库默尔的同事，以极快的速度发表了一系列论文，内容涉及数论、椭圆函数论及代数，还讨论了这些学科间的关系。1861年成为柏林科学院院士。1883年在库默尔退休后继任柏林大学教授席位。1880年成为著名的克雷尔杂志编辑。他交游广泛，频繁参加欧洲的各种科学会议，并成功吸引德国及外国的数学家到柏林工作，也成为他国许多重要科学团体的成员，因此被誉为德国数学界的无冕之王。一生共发表论文150篇。很多工作被后人称道。比如克罗内克-韦伯定理以及由此定理出发提出的著名猜想：每个虚二次域K的极大阿贝尔扩域是将K添加某种椭圆函数(这是双周期函数)的全部有理点处的取值而得到的域[10]。他在给戴德金的一封信中称其为最迷恋的青春之梦。他试图统一数学，通过算术为整个数学奠定稳固的基础，他一生的理想是把数学算术化。他说：“有一天人们将成功地将所有数学算术化，就是说将数学建立在最狭义的数概念的单一基础上。”他还说：“上帝创造了整数，其余一切都是人造的。”他的数学成就正是在这种直觉主义的哲学观念下创造的，同时开启了构造性数学研究的新起点。
在1845年的博士论文“论复单位元”中，涉及了代数数理论。他延续库默尔对代数数的研究，用漂亮的方法克服了唯一因子分解的困难。但因克罗内克本人希望得到更一般的结果而迟迟没有发表。直到1881年，才在庆祝库默尔取得博士学位50周年的纪念文章“代数量的一种算数理论概要”(Grundzüge einer arithmetischen Theorie der algebraischen)中公布，次年发表。作为和戴德金同时代又有相同志趣的数学家，从不同角度共同开创了代数函数论的算术或代数方向。他们曾有过一面之缘，1859年戴德金陪黎曼到柏林大学访问期间，遇到克罗内克。1880年在克罗内克的直接引荐下，戴德金成为柏林科学院通讯院士。
克罗内克的除子理论，其基本定义很难理解，可以看成戴德金理想论的另一种形式，本质上是一种算法：确定代数数域K中的已知整数b是否在由K中的已知整数组
生成的理想当中。他的理论重点讨论除子概念，一个除子被另一个除子整除的概念，除子的绝对相等的概念以及如何把代数整数转化成除子。他的理论的核心思想是将所讨论的域的整数环嵌入到一个更大的多项式环中，这些多项式的系数在整数环中。他与戴德金的方法有本质的不同。
首先，戴德金定义理想的概念，目的是使对代数数不成立的唯一因子分解定理对于理想成立。而克罗内克认为素数的概念是相对于所考虑的数域的。假如域扩张了，那么原来的素数就相应地变化。因此应该在对域的一些基本概念定义之后，才考虑素数的唯一因子分解定理。在戴德金的理想论中，从一个域到另一个域时必须考虑理想，而克罗内克的理想论与域的扩张和收缩无关。
其次，克罗内克是直觉主义的先驱，可以被称作算法家，他的目标是完善技巧，对从一步到下一步的数学过程给出直观的简明表达式。克罗内克通过计算的方法来定义除子，等于给出了一种算法，如果已知一组理想的生成元素，确定域的一个已知元素是否也在理想当中。这体现了克罗内克的哲学思想，是戴德金理论中所没有的，戴德金注重概念的运用。
然后，他的理论基础是可除性操作技术，不是强调唯一因子分解，而是强调最大公因子。他不但把库默尔理论推广到了一般的代数数域，而且推广到了代数函数域[1]。他的除子概念与戴德金的理想概念一一对应。
最后，克罗内克自称，大约在库默尔之后10年，约1858年，就得到了这些结果，但是1882年才以“代数量的一种算术理论概要”为题发表。由此看来，他的除子理论早于戴德金的理想论，但发表得晚一些。他们的优先权之争，众口不一[10]，[12]。
虽然他们的理论几乎同时发表，研究内容也相似，但影响差之千里。虽然外尔(C.H.Weyl，1885-1955)等一些杰出数学家认为克罗内克的方法优于戴德金的方法，但是由于克罗内克的方法及其表述晦涩难懂，所以没有得到更多数学家的普遍认可。而戴德金理论则被数学家普遍称颂。究其原因，主要在于：①戴德金和韦伯(H.Weber，1842-1913)合作研究，把理想论发扬光大，应用到黎曼曲面上。②戴德金的理想论，文字简洁，表达清晰，这是科学认识和推广必不可少的因素。③戴德金虽然运用了当时还被看做数学中另类的集合论方法，但是，人们把攻击的矛头主要对准了集合论大家康托尔(G.F.L.Ph.Cantor，1845-1918)，而对戴德金却表现出了难得的宽容和理解。④戴德金的合作伙伴以及好友韦伯时任柯尼斯堡大学的主讲教师，他自然在授课过程中采用了戴德金的思想方法，从而广大的学生，包括希尔伯特了解和接受的是戴德金的理想论。因为以上几点，人们淡忘了克罗内克，相反把戴德金的理想论奉为经典，希尔伯特富有综合性和创建性的《数论报告》一文更是为广泛地传播和应用戴德金方法推波助澜。
通过对戴德金理想论背景、方法、影响以及与克罗内克的比较研究，我们得到以下结论。戴德金以概念方法为指导，在继承和发扬库默尔的理想数理论的基础上，在理想论中把研究对象从简单的数扩展到一般的集合，不仅是知识层面的扩展，也是方法和观念的革新，实现了早期代数数论的系统化。后来很多数学家对这一理论进行补充和发展，希尔伯特使得代数数论更加完备，E.诺特在集合上定义了一些抽象关系，从而形成现代的抽象理想概念，建立起严密的抽象理想论，并把理想论有机地并入抽象环论中，促进了现代代数学的发展。