杨辉算书与南宋社会经济诸关系初探，本文主要内容关键词为：南宋论文,社会经济论文,关系论文,杨辉论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
[中图分类号]K245 [文献标识码]A [文章编号]1000-422x(2014)01-0039-11
宋本《杨辉算法》(1274-1275)早已不存，元代所流传下来的《杨辉算法》，今见多为残本。现流行本实为李迪先生在1985年得到由日本川原秀城所赠影印足本明洪武戊午本《杨辉算法》，亦即关孝和抄录本。从内容上看，杨辉算书可分为理论数学与日用算术两个组成部分，其中它在“贾宪——杨辉三角”、“纵横图”及高阶级数的研究等理论数学方面，所取得的成就代表着当时世界数学的巅峰。然而，自《九章算术》以来，中国古代数学著作的编纂体例基本上都采取问题集解的方式，注重在社会政治、经济、军事、文化等方面的实际应用，故其实用性特点尤其突出。如《九章算术》所收入的246个问题，几乎全部源于中国古代社会生产与生活实践活动，同样，杨辉强调“命题须责实有”，所以他的《乘除通变本末》、《田亩比类乘除捷法》、《续古摘奇算法》及《日用算法》等算术著作，其算题亦大多贴近实际。可惜，对于这样具有较高实用价值的算书，研究南宋社会经济史的学者却极少采信杨辉算书中的相关史料与数据，相反，秦九韶《数书九章》中有关南宋社会经济方面的史料却不断被学者征引。例如，李迪的《〈数书九章〉与南宋社会经济》①及吕兴焕的《〈数书九章〉中某些问题的经济角度浅析》②等论文，都一致认为秦九韶《数书九章》具有比较重要的经济史意义。相较之下，学界对杨辉算书中的经济史价值还重视不够，故本文拟对杨辉算书的社会经济史意义略作阐释，不足之处，请方家批评指正。
一、山间坡地与田亩计量
南宋经济比较发达的地区，其人口增长与土地不足的矛盾不断升级，结果导致土地兼并恶性膨胀和苛捐杂税超过北宋的严重后果。在这种生活背景之下，大量农民被迫逃亡山区，垦山造田，以求活命。如南宋陈造在《垦山叟》一诗中称：“家家垦田日嫌窄，荒林翳荟惜虚掷。劚荒作熟不挂籍，输官之余给衣食。”③非常真实和形象地描述了南宋相对宽松的垦田政策和当时人地关系不断恶化所造成的社会后果。当时，南方的山地丘陵多被开垦为梯田，如江西袁州仰山“岭阪之上皆禾田，层层而上至顶，名梯田”④；在安徽，“徽民凿山而田，高耕入云者十半”⑤；在福建，“闽地瘠狭，层山之巅，苟可置人力，未有寻丈之地，不丘而为田。泉溜接续，自上而下，耕垦灌溉，虽不得雨，岁亦倍收。”⑥由于山田开垦受自然条件的局限性较大，人们只能因山制宜，田块多窄小，宋人甚至有“指数十级而不能为一亩”⑦的说法，所以时人给梯田起得名称很多，如“岩田”、“山田”、“箭筈田”、“雷鸣田”以及“塝田”等⑧，表明其所开垦的山田多为形状各异的小块田。
从几何学的角度看，小块田除了传统的“直田”、“圆田”、“圭田”、“邪(斜)田”、“箕田”、“宛田”、“弧田”及“环田”之外，《田亩比类乘除捷法》还出现了“牛角田”、“梭田”、“墙田”、“圭垛”、“梯桗”、“腰鼓田”、“鼓田”、“三广田”、“曲尺田”、“方箭”、“圆箭”、“箭翎田”等新的地块形状，而这些不规整的山间地块，为几何土地丈量提出了新的课题。因此，杨辉算书的显著特点之一就是为丈量上述几何田亩提供了既简便快捷又准确可靠的算法。
例一，“《台州量田图》有曲尺田，内曲十二步，外曲二十六步，两头各广七步，问田几何？答曰：一百三十三步。”解法：“内曲即梯田上阔，外曲即梯田下阔，头广即梯田之长，步术用并内外曲，得三十八步，以一头广七步乘之，折半，合问。”⑨
实际上，这是一道梯田面积应用题，所得积为“一百三十三步”。如众所知，宋代一亩等于240步，又一步等于5尺。按宋代官尺31.68厘米计算，宋代一亩约为0.9市亩。据此算得上面的曲尺田约合0.55宋亩，经换算后约等于0.5市亩。
例二，“《台州量田图》有箭筈田(见下图)，两畔各长八步，中长四步，阔十二步。问田几何？答曰：七十二步。”解法：“倍中长，并两长，折半，以半阔乘之。”⑩
箭筈田实为两个“半梯田”，此田面积计72步，合0.3宋亩，相当于0.27市亩。
例三，“今有梭田，中阔八步，正长十二步，问田几何？答曰：四十八步。”杨辉释：“《台州黄岩县围量田图》有梭田棣即二圭田相并。”(11)
此题有三种解法：“半长乘阔”；“半阔乘长”；“长阔相乘折半”。面积“四十八步”合0.2宋亩，相当于0.18市亩。
考索有关宋代台州史志书，如《嘉定赤城志》、清人黄瑞所辑《台州金石录》、《黄岩县志》等，虽然它们都载有台州各县的田租或亩产量，但却乏于对山区农田开发的记载，尤其缺乏对山坡地形状和田块大小的描述，而杨辉算书弥补了这个缺憾。另从上述例题中不难看出，宋代台州各地的土地利用率比较高，它甚至可与宋代福建地区“虽硗确之地，耕耨殆尽”(12)的情形相提并论。限于史料，以往宋代经济史的研究对其山地小块农田的管理研究显得较为薄弱。如果不抱偏见，那么，杨辉算书为我们进一步研究宋代东南地区山地土地和农业的开发，提供了比较有价值的史料。
二、土地买卖与田亩比类算题
杨辉算书从算学的角度讨论了南宋的“田亩买卖”现象。
下面是杨辉给出的两道田亩买卖算题：
第一道：“钱二千七百四十六贯，买田每亩二十贯。问共买几亩？答曰：一百三十七亩七十二步。”(13)
第二道：“陆地一百七亩，每亩一十贯六百文，问值几何？答曰：一千一百三十四贯二百文。”(14)
这两道算题所讲的土地价格与南宋中后期江浙一带的实际田亩价格是否一致？我们不妨举几个参照实例如下：(1)《江苏金石志》记，宋宁宗嘉泰四年(1204年)，长洲的上田每亩价格为13贯900文(15)；(2)《江苏金石志》又记，宋宁宗开禧二年(1206年)，吴县的上田每亩价格为11贯100文(16)；(3)《宝庆四明志》载，宋宁宗嘉定七年(1214年)，鄞县上田每亩价格为30贯(17)；(4)赵与时《宾退录》载，宋理宗绍定年间(1228-1233年)，江浙地区上田每亩价格为20～30贯(18)；(5)《四明它山水利备览》载，宋理宗嘉熙三年(1239年)，四明它山每亩水田价格为21贯余足(19)；(6)《嘉靖浦江志略》记，宋度宗咸淳三年(1267年)，婺州浦江县上田每亩价格为24贯余足(20)；等等。所以漆侠先生说：南宋各地地价的差别是很大的，“有一二贯的，有三四贯的，也有十几贯、二三十贯的，绍定年间行在临安附近的菜圃竟达80缗”(21)。可见，杨辉算题给出的上田每亩价格是以南宋江浙某地某年的实际田亩价格为基础的，它并不是杨辉随意设定的土地价格数值。
诚如前述，《九章算术》方田章共有38道例题，其所求解的平面几何图形面积(即土地面积)主要有：方田(或直田)，圭田，邪田，箕田，圆田，宛田，弧田及环田。在此基础上，杨辉《田亩比类乘除捷法》根据南宋田亩开发的客观实际，尤其是在复杂地形条件下修筑的山地，奇形怪状，所以出现了《九章算术》所不曾有的田亩平面几何图形，例如箫田、墙田、圭垛、梯垛、腰鼓田、鼓田等。在这里，我们权且抛开上述山田的计算方法不说，仅就这些田亩的平面几何图形而言，它确实反映了一种田不择地的土地开发和利用状况。因而杨辉在《田亩比类乘除捷法》里特别注重对那些不规整地块的几何运算，并提出了许多新的几何解法，遂成为杨辉算书区别于南北朝及隋唐算书的一个重要特点。以丘田为例，杨辉之前《五曹算经》载有此类田块的算题，可惜没有给出“精确”解法，杨辉则根据“取象比类”的思维方法，提出了下面的解题方法和思路：
“丘田比附畹田，用周径相乘，四而一之法，田围凸外者可用。或围步凹里者未免围多积少，不合法理，常分段求之可也。”(22)
从杨辉草绘的示意图来看，“畹田”(《九章算术》作“宛田”)与“丘田”可以“比附”，但由于两者在几何形状及其具体算法方面，差异较大，所以可以“比附”却不能等同，图示见下(23)。
畹田/丘田
由于《九章算术》没有给出“宛田”的图形，故学界提出了“宛田”即球冠形、优扇形、凸月形、馒头形及抛物线旋转面等多种观点，争议颇大。实际上，刘徽在《九章算术》“宛田”注中，曾观察到宛田与圆锥面之间的类似性，指出：“今宛田上径圆穹，而与圆锥同术，则幂失之于少矣。然其术难用，故略举大较，施之大广田也。求圆锥之幂，犹求圆田之幂也。今用两全相乘，故以四为法，除之，亦如圆田矣。”(24)从刘徽的注文里，我们能深刻感受到中国古代科学追求“正确”而非精确的思维特征，尽管人们从中国古代天文学、机械制造等领域举出很多“精确”的实例，但从整体上看，正像有学者分析的那样，“中国古代科学有两个倾向，整体论是主流，得到了充分发展，还原论是非主流，未得到充分发展”，而“整体论体系考察对象的整体可把握特征，并用整体综合方法加以处置，其结果是宏观准确、微观不精确；还原论体系考察对象的局部可把握特征，并用局部分析方法对待之，其结果微观精确、宏观不准确”(25)。刘徽在处理“方”与“圆”、“直”与“曲”的相互关系时，提出了包含着极限思想的“割圆术”，可惜他在注解“宛田”算题时，并没有给出“精确”的计算公式。杨辉亦复如此，从前面的“丘田”图中，《九章算术》和《五曹算经》所给出的答案均不能令杨辉满意，这是因为用“圆田术”来求解“丘田”时，只能得到近似的结果。所以他提出了“常分段求之”的思想，至于怎样“分段”，杨辉没有说明。然而，从认识到这个问题到解决这个问题，中间还需要漫长的探索过程。我们知道，唯有解析几何和微积分诞生之后，“丘田”问题才找到了“正确”且“精确”的计算方法，而微积分则是建立在极限和连续“分段”的基础之上。由此可见，杨辉“常分段求之”的数学思想十分卓越。可惜元明以后，我国算学家没有继续把这个问题深入研究下去。这样，从杨辉的“常分段求之”到微积分的发明仅隔一步之遥，但就是这一步之遥，我们却止步不前了。
三、从头子钱和不系省钱看南宋的杂税
南宋的杂税繁多，仅头子钱就有官员请俸头子钱、经制头子钱、总制头子钱、官纲盐头子钱、常平场头子钱、曲引头子钱、堪合朱墨头子钱等诸多名目。根据史书记载，南宋头子钱有两种基本形式：一是在官府出纳时抽取的税钱；二是按照一定比例在法定租税外加征的税钱。而杨辉给出的例题，以官府出纳时抽取的税钱为主。如“官收税钱三百四十二贯，每贯克纳头子钱五十六文。问：收钱如何？答曰：一十九贯一百五十二文。”又“官支钱二万六千四百一十贯，每贯除头子钱五十六文。问：共得若干？答曰：一百四十七贯八百九十六文”(26)。此“纳头子钱五十六文”是乾道元年(1165年)的头子钱税率，它是在南宋绍兴五年(1135年)所规定出纳官物的头子钱每贯30文的基础上，逐渐增加税额的结果。据《建炎以来系年要录》记载：绍兴十年(1140年)头子钱已增至43文，其中“户部请州县出纳官物，每千增收头子钱十文，赴左藏为激赏之用”。故文后小注云：头子钱“通旧为四十三文，乾道元年十月戊子，又添十三文，至今为例。”(27)杨辉的《乘除通变算宝》成书于咸淳十年(1274年)，当时的头子钱按例为“五十六文”，与历史事实符合。
不系省钱即不属尚书省户部所领的中央财务系统而是地方政府所有的预算外收入的钱，从这种意义上也可将其视为一种乱收费现象，它既可供杂费，如支酬吏人、宴饷军兵吏卒、充修造文帐费用、补助救济下属僚员等，数额相对较少，也可用于奖赏、灾害、贫困群体救助等。杨辉举例说：“官收税钱二百四十七贯，每贯克纳不系省钱一文九分五厘。问：收几何？答曰：四百八十一文六分半。”(28)根据文献记载，诸如“上供经制，无额添酒钱并净利钱，赡军酒息钱，常平钱，及诸司封桩不封桩、系省不系省钱，皆是朝廷窠名也”(29)。但不系省钱的定额究竟是多少，宋代的史书阙载，而杨辉则提供了南宋晚期出纳官物的不系省钱税率为“每贯克纳不系省钱一文九分五厘”的一个实例，其史料价值显得十分珍贵。
南宋的杂税极其繁多，以致当时的官吏自己都不能列举清楚。如两浙运使耿秉在嘉定十六年(1223年)坦言：“盖今县邑所苦者，不过版帐钱额太重耳。额重而收趁不及，计无所出，则非法妄取。以纳斛斗则增收耗剩，交钱帛则多收糜费；幸富人之犯法而重其罚，恣胥吏之受赃而课其入；索到盗贼，不还失主；检校财产，不及其卑幼。亡僧、绝户，不候□实而拘籍入官；逃产、废田，不与销豁而逼勒填纳。远债之难索者，豪民献于官，则追催甚于正税；私纳之为罚者，仇家讼于县，则监纳过于赃钱。赊酒不至于公吏，而抑配及保正、户长。检税不止于商旅，而苛细及于盘合，奁具。今年之税赋已足，而预借于明年；田产之交易未成，而探契以寄纳其他。如罚酒、科醋、卖纸、税酱、下拳钱之类，殆不可以遍举，亦不能遍知，无非违法。”(30)从杨辉所列举的杂税算题看，除了前面的头子钱和不系省钱外，像盘合、奁具、酱、醋、纸或针头线尾等琐碎之细物，当然此中不乏贵重之物，也都需要纳税。杨辉在下面的算题里说：“细物一十二斤半税一，今有二千七百四十六斤。问：税几何？答曰：二百一十九斤一十两钱八分？”(31)如果仅仅从算题的角度看，杨辉所举这些杂税方面的例题，似乎只是一般的乘除捷法应用，并无特别引人注目之处，但是考虑到杨辉长期生活在社会的底层，他比较关注与民生联系密切的各种社会现象，其中杂税即是杨辉所关注的重大民生问题之一，因此，只要把杨辉的算题取材与当时南宋民生的实际状况结合起来，那么，杨辉关于杂税方面的几道算题就具有了特别重要的意义，因为它不单是提供了难得的历史资料，更体现了他本身具有一种比较强烈的社会责任意识。
四、足钱与省钱、足秤与省秤及足斛与省斛间的换算
唐宋时期钱制比较混乱，故有足钱与省钱之区别。所谓足钱是指一陌钱满百文者，然而，“自唐天祐中，兵乱窘乏，以八十五钱为百，后唐天成中，减五钱，汉乾祐初，复减三钱。宋初，凡输官者亦用八十或八十五为百，然诸州私用则各随其俗，至有以四十八钱为百者。至是，诏所在用七十七钱为百”(32)。南宋后期，公私出纳在原则上仍以此为“省钱”。故杨辉算题云：“足钱九十六贯二百五十，问：展七十七陌几何？答曰：一百二十五贯文。”(33)又云：“七十七陌，省钱七十四贯，问：为足钱几何？答曰：五十六贯九百八十文。”(34)题中“七十七陌”即“用七十七钱为百”，与宋代的“省钱”制相合。当然，正如洪迈所说：“但数十年来，有所谓‘头子钱’，每贯五十六，除中都及军兵俸料外，自余州县官民所当得，其出者每百才得七十一钱四分，其入者每百为八十二钱四分，元无所谓七十七矣。民间所用，多寡又益不均云。”看来，南宋“省钱”的情形比较混乱和复杂，既有“用七十七钱为百”者，又有“每百才得七十一钱四分”及“每百为八十二钱四分”者，等等。因此，对南宋“省钱”的考察，尚须根据具体史实，因地而异，因时而别。
南宋的斤制有足秤与省秤两种形式，杨辉在《乘除通变本末》里，出现了两道有关足秤与省秤换算的例题。其一：“足秤二百三十二斤，问：展省秤多少？答曰：二百九十斤。足秤八斤，即是十斤省秤。”(35)其二：“足秤一百二十六斤，问：为省秤多少？答曰：一百五十七斤半。”(36)对于南宋足秤与省秤之间的关系问题，元人方回有一段解释，可以与杨辉的算题相互参照。方回说：宋元时期“有定秤二百文铜钱重，有二百二十钱秤。民间买卖行用，鱼肉二百钱秤，薪炭粗物二百二十钱秤。官司省秤十六两，计一百六十钱重。民间金、银、珠宝、香药细色，并用省秤”(37)。经郭正忠考证(38)，上述文中所言“二百文铜钱重”即以20两为一斤制，而“二百二十钱秤”则为以22两为1斤制。至于省秤，南宋官定以16两为1斤制。可见，杨辉所讲的“省秤”对应于方回以16两为1斤之秤，“足秤”则对应于方回以20两为一斤之秤。两者的比例为：20︰16，或10︰8，或5︰4。按照此比例计算，“足秤二百三十二斤”÷10/8=290斤(省秤)；“足秤一百二十六斤”÷10/8=157.5斤(省秤)。对杨辉这两道算题的意义，郭正忠认为：“杨辉指明的宋代‘足秤’与‘省秤’的比例关系，还可以启发我们进一步分析‘加秤’与足、省秤的关系。”(39)
南宋的省斛有两义：一是该量器的容积不够足量标准；二是指官府颁布的规格，属官制量器。杨辉在《乘除通变本末》里所讲“省斛”是指第二层涵义。例一：“足斛二百二十九石八升，问：为八斗三升法斛几何？答曰：二百七十六石。”(40)例二：“米八百九十石，每石省斛八斗三升，问：为足斛几何？答曰：七百三十八石七斗。”(41)这里的“省斛八斗三升”为“文思院官斛”的一种，它在实际生活中应用最为普遍。因此，南宋的另一位数学家秦九韶直称：“官私共知者，官斛八斗三升。”(42)此外，尚有七斗五升省斛、六斗五升省斛、文思院五斗斛等。这是官方的标准，至于民间的斛量标准就更多了，而杨辉在算题中采用了比较普遍流行的“省斛八斗三升”，舍去了其他易于造成斛量局面混乱的各种省斛，一方面体现了他学术研究的严谨态度，另一方面亦反映了“省斛八斗三升”衡制已经成为一种比较普遍的现象。
五、南宋的稻谷产量与稻谷出米率
从土地开发的历史演变看，两宋的土地利用率最高，有些地区如闽浙、两川等甚至出现了“无尺寸旷土”(43)的现象。应当承认，在人地矛盾严重失衡的状态下，个别地区尽管为了调节人地矛盾，出现了以杀婴和溺婴等极端方式来缓解土地压力的恶劣习俗，但是，从总的发展趋势来看，人们更多的是想方设法发展高效农业，增加田亩单位面积的产量。所以宋人周纲有“讯之老农，以谓湖(即明州广德湖)未废时，七乡民田，每亩收谷六七石，今所收不及前日之半，以失湖水灌溉之利故也”(44)的议论。这种高产田的出现，尽管还不是普遍现象，但从南宋人口压力的特定历史背景下，为了生存起见，不排除个别田亩由于土质、灌溉、中耕、施肥、田间管理等环节均达到了一个历史时期的最佳水平，其高产效果的实现是完全有可能的。以稻谷为例，杨辉给出了两道有关稻谷的亩产量算题：第一题，“每亩收粟二石七斗，今共收粟(指稻谷，引者注)六百四十二石六斗，问原田若干？答曰：二百三十八亩。”(45)第二题，“二百三十八亩，每亩收粟二石七斗，问共几何？答曰：六百四十二石六斗。”(46)
此处所言“每亩收粟二石七斗”是否客观和具有普遍性，这个问题需要分析。沈括在《万春圩图记》中说：“岁出租二十而三，为粟三万六千斛。”(47)依此计算，则因万春圩田亩的总面积为“千二百七十顷”(48)，所以此圩稻谷的亩产量为。另据方健推断，以太湖流域为主地区的亩产量平均2.39石(49)。马兴东亦认为：“一般说来北宋的粮食亩产量比唐代增加25%以上，比汉代增加近一倍。南宋时，江南盛行定额租制的一些地区的粮食亩产已高达二至三石，其增长幅度之迅猛甚为后代所不及。”(50)考万春圩在安徽省芜湖境内，而杨辉算题的资料来源主要是江浙地区，故杨辉的例题反映了南宋时期该地区稻谷产量的历史实际。
稻谷出米率是指成品稻米数量与耗用稻谷数量的比率。在封建时代，因等级制的缘故，粮食加工的粗精程度是不相同的。下面我们拟参照秦汉时期禾黍出米率来考察宋代稻谷出米率的问题。《睡虎地秦墓竹简·仓律》规定：“粟一石六斗大半斗，舂之为粝米一石；粝米一石为凿米九斗；(凿米)九(斗)为毁(毇)米八斗。”(51)《算数书·程禾》亦载：“禾黍一石为粟十六斗泰半斗，舂之为粝米一石，粝米一石为凿米九斗，凿米九斗为毇米八斗。”(52)在此，我们从《仓律》中知道秦汉稻谷加工有严格的等级规定，精粗差异较大。其中“禾黍一石为粟十六斗泰(即“太”，引者注)半斗”表明在秦汉时期一石体积的粟等于“十六斗泰半斗”的粟重量。于是，《算数书·舂粟》题云：“禀粟一石，舂之为耗米八斗八升，今有秏米二斗廿五分升廿二，当益耗粟几何？曰：二斗三升十一分升八。”(53)对“禀粟一石”的理解，学界有两种认识：一种认为它是一个体积单位，即一石等于十斗；另一种则主张它是一个重量单位，即一石重的粟体积标准为“一石六斗大半斗”(16斗)(54)。实际上，如上所引，体积“一石”与重量“一石六斗大半斗”只是两种不同的度量衡单位，在内容上并无本质差别(55)。所以我们不难得出秦汉粟谷与其粝米之间的比例关系约为5︰3(56)。依此，如果把“禀粟一石，舂之为秏米八斗八升”中的“一石”理解为重量单位，那么，“禀粟”与“耗米”之间的比例关系约为2.1︰1.1。因此，邹大海认为“一石重的粟体积标准为16斗，由此舂出8斗8升粝米，这实际上是一个比由粟舂出粝米的标准率(3/5)还要低的比率”(57)。当然，导致这种比较低的粟(或稻谷)出米率，其原因主要有二：一是舂出来的米等级较高，二是采用杵臼这种原始的粟米加工工具，由于杵臼对粟谷的脱壳过程是一种间歇性的上下运动，不仅费时，而且出米率也低。所以为了改进粮食的加工方法，以提高出米率，我国古代发明了利用畜力和水力带动的石碾。科学实践证明，当利用畜力和水力带动的石碾出现之后，由于它变间歇性的上下运动为连续性的圆周运动，故而极大地提高了粟谷的出米率。目前，关于石碾的起源，尚没有定论。不过，从已发现的唐宋石碾实物看，唐宋石碾比较普及。与舂米相比，碾米效率明显要高。
所以杨辉在《法算取用本末》里举了一道有关稻谷出米率的算题：“谷一石取米九斗，今米二百七石。问：原谷多少？答曰：二百三十石。”(58)百分之九十的谷出米率是否太高了，高与不高取决于两个因素：一是精粗或脱壳完全还是不完全的要求；二是谷本身的质量。经科学研究，稻谷的营养成分主要集中在它们的皮层和谷胚内。因此，加工愈精细，其营养价值就愈低(59)。这样，上述百分之九十的出米率既较好地满足了人们多出口粮的要求，又最大限度地保存了谷物本身的营养，一举两得。当然，对于南宋后期的高出米率，我们应当重点考虑其粮食不足的问题。因为《夷坚志》载有一则南宋初期的出米率实例：“稻谷，每石可得米五斗或四斗。”(60)又南宋乾道六年(1170)有臣僚言：“其所纳米斛，如愿纳稻子，以稻子二石折米一石。”(61)即稻谷与稻米之比为2︰1，可见出米率很低。从南宋初期百分之五十(精米)的出米率到南宋后期百分之九十(粗米)的出米率，这种变化的原因比较复杂，仅从生活质量的角度看，精米反映着稻谷的相对充裕，而粗米则反映着稻谷的相对匮乏，它表明南宋后期人们的生活质量有所下降。
六、月息与南宋江浙地区的借贷关系
从法律的角度讲，北宋公私钱债取息，一般以6分为限，如《宋刑统》云：“诸公私以财物出举者……每月取利不得过六分，积日虽多，不得过一倍。”(62)而南宋利息率大多集中于月息二分到月息四分左右，总体而言，利息率呈现出缓慢下降的趋势(63)。例如，绍兴五年(1135年)诏令“诸路依旧质当金银匹帛等，每贯收息三分”(64)，即月利为3%。袁采亦说：“今若以中制论之，质库月息自二分至四分，贷钱月息自三分至五分。”(65)又《庆元条法事类》载：“诸以财务出举者，每月取利不得过四厘；积日虽多，不得过一倍。即元借米谷者，止还本色，每岁取利不得过五分，谓每斗不得过五升之类，仍不得准折价钱。”(66)在这里，“厘”与“分”义同(67)，即月利为4%，它反映了宋代利息率有逐渐走低的发展趋势。故《杨辉算法》有两道涉及月息的算题：其一：“解钱九贯文，月利一分八厘，在库十一个月零十七日，问息钱若干？答曰：一贯八百七十三文八分。”(68)由题设知，月利“一分八厘”，即1贯钱的月息为1.8%。其二：“每贯收息三十，今本利共二万七千八百一十贯。问元本钱？答曰：二万七千贯文。”(69)与之相类，《数书九章》也有一道涉及月息的算题：
“问典库今年二月二十九日，有人取解一号主家，听当事共计算本息一百六十贯八百三十二文，称系前岁腊月半解去，月息利二分二厘，欲知原本几何？答曰：本一百二十贯文。”(70)此处“月息利二分二厘”，即月息利2.2%。
当然，也有高利贷者。如《数书九章》有一道“累收库本”算题云：“有库本钱五十万贯，月息六厘半，令今掌事每月带本纳息，共还一十万。欲知几何月而纳足，并末后畸钱多少？答曰：本息纳足，共七个月。”(71)根据题意，算得月利为6分5厘(72)。显然，这已经属于比较典型的高利贷了。
综上所述，我们可以初步得出这样的结论，在多数情况下，南宋各地的月利基本上波动于《庆元条法事类》和《宋刑统》所规定的月利上限之间。因此，难以形成一个统一的利息率，这个事实表明公私钱债取息本身具有复杂性和多变性的特点。当然，除了个别情形之外，南宋的一般性高利贷，即所谓“豪民放债，乘民之急，或取息数倍”(73)中的“取息数倍”，大概是指高于《庆元条法事类》所规定之月利上限的息利。
七、物价与南宋经济的发展
关于南宋物价问题，王仲荦、漆侠、汪圣铎、程民生以及日本学者官泽知之等都曾有专文论之，尤其是程民生的《宋代物价研究》，无论在史料的收集方面，还是在论题的完整、系统与深入方面，该著都代表着本研究领域的最高学术水平。然而，或许是人们担心杨辉算题本身多有主观性，所以很少有人将杨辉算题中所出现的物价问题(74)，置于整个南宋物价发展的历史大背景中加以分析和研究。其实，《杨辉算法》不是一般的数学著作，而是宋代实用算术的杰作。我们前面讲过，“实用算术”的显著特点就是它的真实性。为了证明这一点，我们不妨略举几例如下：
1、“菽每石七百八十五文，麦每石一贯一百六十文。今用钱二百九十七贯，籴到菽、麦共三百石，问本各几何？答曰：菽一百三十六石，麦一百六十四石。”(75)
2、“香三千二百四十六两，每三两价钱四贯一百文。问钱几何。答曰：四千四百三十六贯二百文。”(76)
3、“六百七十五贯七百买绢，匹二贯三百三十。问合买几匹？答曰：二百九十。”(77)
4、“绢七匹一十二尺，每匹价钱九贯二百文。问：几何？答曰：六十六贯七百文。”(78)
5、“麦一百七十一石，每石二贯七百三十。问钱若千？答曰：四百六十六贯八百三十文。”(79)
6、“葛布二百三十七匹，每匹三贯七百五十文。问钱几何？答曰：八百八十八贯七百五十。”(80)
7、“银九斤六两六铢，每两三贯四百文。问：共几何？答曰：五百一十贯八百五十文。”(81)
由于上述算题不能准确体现物价的具体时间，所以它的真实性须结合其他宋人的史料记载进行综合考察。例如，杨辉算题所出现的绢价在“匹价二贯三百三十”至“每匹价钱九贯二百文”之间波动，而《宋会要辑稿》对南宋绢价记载亦复如此。如《宋会要辑稿》载，绍兴三年(1133年)宋高宗在诏令中说：北宋初“绢值不满千钱，以一贯三百计匹……其后尝因论例，遂增至二贯足目。今绢价不下四五贯，岂可尚守旧制耶？可每匹更增一贯，通作三贯足矣。”(82)此绢“3贯”价的上限，事实上不断被突破。如绍兴三年四月诏“令户部于樁管高丽绢内支一万五千匹，每匹作六贯”(83)。又淳熙四年(1177年)十一月十七日，有臣僚说：“临安府，钱塘、仁和两县岁敷和买折帛，下户常受其弊。盖本色所直不过四五千，折价所输其费七贯五百。”(84)《建炎以来朝野杂记》更云：建炎三年(1129年)“西川每匹至为钱十一千，东川每匹十千。绍兴二十五年每匹减一千，其后犹输七千或七千有半，绍熙末，又权减一千。”(85)故《宋会要辑稿》称：绍兴十七年(1147年)有些“州县折纳税绢，每匹有至十千者”(86)。由此可见，上述杨辉算题云绢“每匹价钱九贯二百文”，绝非是不符合实际的虚设。另外，南宋宁宗庆元四年(1198年)江东建康府因“绵帛颇多”，故“绢一匹只直二贯二百文足”，亦与杨辉算题所给出的绢价“二贯三百三十”(87)，比较接近。
南宋对香的消费，数量很大，以化妆香料为例，南宋佚名氏《枫窗小椟》卷上载：临安闺饰“如瘦金莲方，莹面丸，遍体香，皆自北传南者”(88)。又《宋史·张运传》载，绍兴年间，“户部所储三佛齐国所贡乳香九万一千五百斤，直可百二十余万缗”(89)。从当时香的贸易情况看，其香药不少于100种(90)，主要品种有胡椒、乳香、龙涎香、苏合油、沉香、檀香、安息香、龙脑等。由于香药为奢侈性消费，有一“焚”千金之说，其价格通常比一般生活消费品都高(91)。当然，因香药的等级不同，价格差别极大，如“诸香中龙涎最贵重，广州市每两不下百千，次等五、六十千”(92)。在诸香之中，乳香既可入药，也可用作香料，特别是普遍用于道场科醮，“乳香一色，客算尤广”(93)，故其价格相对比较低廉。但因杨辉所举香“每3两价4贯100文”，不明具体品种，故笔者止能从南宋香价的实际情况分析，估计应为士民消费的像黑塌香、乳香等一类普通香药。即便如此，与《中书备对》所记载的北宋部分香价相比，价格也增加了约20～40多倍。如北宋时黑塌香每斤1.6贯，宋代一斤等于十六两，则每两0.1贯；四色瓶香平均每斤价格3.5贯，每两约0.2贯；乳香每斤平均价格1.8贯，每两约为0.11贯(94)。而北宋末年龙涎香价则高得惊人，据《张氏可书》记载，二钱真龙涎香(由真甲鲸肠中分泌物干燥而成的一种香料)在北宋末已卖到30万缗的价格(95)。
至于银价，到南宋隆兴以后其每两价值多维持在3贯3百文左右。如《宋会要辑稿》载，乾道五年(1169年)杭州官价，每两银价值三千二百(即3贯2百文)至三千三百(即3贯3百文)(96)；乾道八年(1172年)，每两银价值三千六百(97)。端平元年(1236年)泉州价，每两银价值三千四百六十文(98)，等等。与上述杨辉算题所言银“每两三贯四百文”，较为接近。
以麦的价格变化为例，杨辉算题揭示了南宋粮价变化出现巨差的经济现象，如前举第1例“麦每石一贯一百六十文”，而第6例则变为“麦一百七十一石，每石二贯七百三十”，它说明南宋的粮食价格，在不同的时间段里波动和起伏较大。不过，由于宋金及宋蒙(元)交战及政治腐败等原因，南宋各地虽然在不同时间段里，麦的价格有高有低，走势很不稳定，但总的发展趋势是逐渐走高。比如，《鸡肋篇》卷上载，绍兴初年，江浙湖闽等地因北方人口的大量迁入，导致麦价飞涨，每石麦价值12000文(99)：绍兴四年(1134年)，杭州御前军器所士卒工匠月麦“四斗八升，斗折钱二百”(100)，即每石麦价值2000文；乾道六年(1170年)，江浙地区的麦价为每石3000文(101)；嘉定元年(1208年)，浙西镇江的小麦价格为每石4000文(102)；淳祐八年(1248年)江东建康府的小麦价格为每石25000文(103)，等等。从上述引证材料看，南宋麦价呈不断上涨的趋势，这与杨辉算题的麦价变动大体一致，引证材料见前。总之，杨辉算题所给出的物价数值不是虚拟的数字，而是某个时段和某个特定经济区域曾经出现过的实际数字。
八、简短结论
杨辉从实用数学的角度，选取了南宋社会经济生活中许多现实素材，作为其算书的题例，就这些题材的来源而言，大多是真实可靠的。如杨辉对南宋山田形状的几何描述，既有图形，又有计算方法，它为我们研究南宋的山地开发提供了宝贵的第一手史料，因为杨辉在一些选题前，特别标明其素材的来源是《台州黄岩县围量田图》及《台州量田图》等，可惜原籍已失，所以通过杨辉算题，我们将会在《宋史》、《宋会要辑稿》等史籍的基础上，对南宋山区经济开发的成果有一个更加直观和更加细致的认识与了解。
另外，杨辉算书所反映出来的借贷关系、物价问题、粟谷的出米率等等，仅从其比较关注下层社会现实生活特别是日用民生的层面观察，杨辉算书对南宋经济史的研究确有一定参考价值。
感谢姜锡东、刘秋根、汪圣铎、王菱菱等老师为本文提出的宝贵修改意见。
①载吴文俊主编：《秦九韶与〈数书九章〉》，北京师范大学出版社1987年版，第454-466页。
②吕兴焕：《〈数书九章〉中某些问题的经济角度浅析》，《中国科技史料》，2002年第3期。
③潘同生编著：《中国经济诗今释》，中国财政经济出版社2000年版，第105页。
④范成大撰，孔凡礼点校：《骖鸾录》，《范成大笔记六种》，中华书局2002年版，第52页。
⑤方岳：《秋崖集》卷三六《徽州平糴仓记》，文渊阁《四库全书》本。
⑥《宋会要辑稿》，二之二九。
⑦罗愿：《(淳熙)新安志》卷二《叙贡赋》，文渊阁《四库全书》本。
⑧游修龄等：《中国稻作文化史》，上海人民出版社2010年版，第186页。
⑨杨辉：《田亩比类乘除捷法》卷上，《中国科学技术典籍通汇》数学卷(一)《杨辉算法》，河南教育出版社1995年版，第1082页。
⑩同上，第1083页。
(11)同上，第1080页。
(12)脱脱等：《宋史》卷八九《地理五》，中华书局1985年版，第2210页。
(13)杨辉：《乘除通变算宝》卷上，第1052页。
(14)杨辉：《乘除通变算宝》卷中，第1055-1056页。
(15)(16)《江苏金石志》卷一四《吴学续置田记》，《宋代石刻全编》第2册。
(17)罗浚：《宝庆四明志》卷四《水》，文渊阁《四库全书》本。
(18)赵与时：《宾退录》卷三，文渊阁《四库全书》本。
(19)魏岘：《四明它山水利备览》卷上《赵都承淘沙米田牒魏都大》，文渊阁《四库全书》本。
(20)毛凤韶：《嘉靖浦江志略》卷6《学田》，宁波天一阁藏明嘉靖刻本。
(21)漆侠：《宋代经济史》上，《漆侠全集》第3卷，河北大学出版社2008年版，第375页。
(22)杨辉：《田亩比类乘除捷法》卷上，第1078页。
(23)转引自杨辉：《田亩比类乘除捷法》卷上，第1078页。
(24)刘徽注：李淳风注释：《九章算术》卷一《方田》，上海古籍出版社1990年版，第10页。
(25)马晓丹：《中国古代有科学吗？——兼论广义和狭义两种科学观》，《科学学研究》，2006年第6期。
(26)杨辉：《乘除通变算宝》卷中，第1054-1055页。
(27)李心传：《建炎以来系年要录》卷一三七“绍兴十年七月乙丑条”，中华书局1988年版，第2203页。
(28)杨辉：《乘除通变算宝》卷中，第1055页。
(29)脱脱等：《宋史》卷一七九《食货志下一》，第4369页。
(30)马端临：《文献通考》卷一九《征榷考六》，中华书局1999年版，第189页。
(31)杨辉：《乘除通变算宝》卷上，第1052页。
(32)脱脱等：《宋史》卷一八○《食货志下二》，第4377页。
(33)杨辉：《乘除通变算宝》卷中，1055页。
(34)杨辉：《法算取用本末》卷下，第1063页。
(35)杨辉：《法算取用本末》卷下，第1067页。
(36)杨辉：《法算取用本末》卷下，第1064页。
(37)方回：《续古今考》卷一九《附论唐度量衡·近代尺斗秤》，文渊阁《四库全书》本。
(38)郭正忠：《三至十四世纪中国的权衡度量》，中国社会科学出版社1993年版，第139页。
(39)郭正忠：《三至十四世纪中国的权衡度量》，第141页。
(40)杨辉：《乘除通变算宝》卷中，第1059页。
(41)杨辉：《法算取用本末》卷下，第1064页。
(42)秦九韶：《数书九章》卷二《分粜推原》，中华书局1985年版，第31页。
(43)张方平：《乐全集》卷三六《傅公神道碑铭》，文渊阁《四库全书》本。
(44)《宋会要辑稿》食货七之四五。
(45)杨辉：《乘除通变算宝》卷中，第1059页。
(46)同上，第1058页。
(47)(48)沈括：《长兴集》卷九《万春圩图记》，文渊阁《四库全书》本。
(49)方健：《南宋农业史》，人民出版社2010年版，第326页。
(50)马兴东：《宋代“不立田制”问题试析》，《史学月刊》，1990年第6期。
(51)蔡万进：《秦国粮食经济研究》附录二《睡虎地秦墓竹简〈仓律〉释文》，大象出版社2009年版，第186页。
(52)郭书春：《〈筭数书〉与〈算经十书〉的比较研究》，见李兆华主编：《汉字文化圈数学传统与数学教育——第五届汉字文化圈及近邻地区数学史与数学教育国际学术研讨会论文集》，科学出版社2004年版，第15页。
(53)郭书春：《〈筭数书〉校勘》，《中国科技史料》，2001年第3期。
(54)(57)邹大海：《关于〈算数书〉、秦律和上古粮米计量单位的几个问题》，《内蒙古师范大学学报》(自然科学版)，2009年第5期。
(55)邹大海认为，古代稻谷的出米率是：稻谷、毇米(粗米)、粲米(精米)三者按体积的比例为60︰30︰20，按重量之比约为100︰74︰58(引文见上)。
(56)朱桂昌：《赵广汉的“鉤距法”和汉代的物价》，《中国社会经济史研究》，1982年第3期。
(58)杨辉：《法算取用本末》卷下，第1067页。
(59)顾奎琴主编：《粮油干果营养保健与食疗》，农村读物出版社2002年版，第14页。
(60)洪迈撰，何卓点校：《夷坚志》三志辛卷八《湘潭雷祖》，中华书局2006年版，第1448页。
(61)《宋会要辑稿》食货一之四五。
(62)《宋刑统》卷二六《公私债负》，萧榕主编：《世界著名法典选篇·中国古代法卷》，中国民主法制出版社1998年版，第546页。
(63)王文书：《宋代借贷业研究》，河北大学2011年博士学位论文。
(64)《建炎以来系年要录》卷八六“绍兴五年闰二月壬申”，中华书局1988年版，第1432页。
(65)袁采：《袁氏世范》卷下，文渊阁《四库全书》本。
(66)《庆元条法事类》卷八○《杂门·关市令》。
(67)刘秋根：《试论两宋高利贷资本利息问题》，《中国经济史研究》，1987年第3期。当然，学界对这个问题亦有不同观点。
(68)杨辉：《算法通变本末》卷上，第1050页。
(69)杨辉：《乘除通变算宝》卷下，《中国科学技术典籍通汇》数学卷(一)，第1069页。
(70)《数书九章》卷一八《推求典本》，第459页。
(71)《数书九章》卷一二《累收库本》，第321页。
(72)刘秋根：《试论两宋高利贷资本利息问题》，《中国经济史研究》，1987年第3期。
(73)卫泾：《后乐集》卷一九《潭州劝农文》，文渊阁《四库全书》本。
(74)尽管王仲荦在《南宋绢价》中把《杨辉算法》算题里出现的绢价，作为研究南宋物价变化的重要史料之一，但响应者寥寥。
(75)杨辉：《日用算法》，郭熙汉：《杨辉算法导读》，湖北教育出版社1996年版，第455页。
(76)杨辉：《详解算法(辑佚)》，郭熙汉：《杨辉算法导读》，湖北教育出版社1996年版，第448页。
(77)杨辉：《乘除通变本末》卷下，第1071页。
(78)杨辉：《田亩比类乘除捷法》卷上，第1075页。
(79)同上，第1065页。
(80)杨辉：《乘除通变算宝》卷中，第1060页。
(81)杨辉：《田亩比类乘除捷法》卷上，第1076页。
(82)《宋会要辑稿》刑法三之五、之六。
(83)《宋会要辑稿》食货四○之一七。
(84)《宋会要辑稿》食货七○之六九。
(85)见王仲荦遗著，郑宜秀整理：《金泥玉屑丛考》卷一○《宋物价考》，中华书局1998年版，第299页。
(86)《宋会要辑稿》食货九之四。
(87)《宋会要辑稿》食货七○之八七。
(88)佚名氏：《枫窗小椟》卷上，见金沛霖主编：《四库全书子部精要》下，天津古籍出版社、中国世界语出版社1998年版，第754页。
(89)脱脱等：《宋史》卷四○四《张运传》，第12220页。
(90)漆侠著：《中国经济通史·宋》下，经济日报出版社2007年版，第797页。
(91)关履权：《宋代广州香药贸易史述》，见氏著《两宋史论》，中州书画社1983年版，第238页。
(92)张世南撰，张茂鹏点校：《游宦纪闻》卷七，中华书局1981年版，第61页。
(93)《宋会要辑稿》职官四四之一七。
(94)杨万秀，钟卓安主编：《广州简史》，广东人民出版社1996年版，第133页。
(95)张知甫：《张氏可书》，见金沛霖主编：《四库全书子部精要》下，第801页。
(96)《宋会要辑稿》食货九六之一一。
(97)《宋会要辑稿》食货五一之四八。
(98)秦子卿，任兆凤等主编：《江苏历代货币史》续表引，南京大学出版社1992年版，第670页。
(99)庄绰：《鸡肋编》卷上，中华书局1997年版，第36页。
(100)《宋史》卷一九四《兵志八》，第4846页。
(101)《宋会要辑稿》食货六三之二一七。
(102)《嘉定镇江志》卷五《宽赋》，宋元方志丛刊本。
(103)《景定建康志》卷二八《立义庄》，中国台北大化书局1981年影印本。