总体几何均值的参数估计及其在社会和谐度评价中的应用研究，本文主要内容关键词为：几何论文,社会和谐论文,均值论文,总体论文,参数论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
算术平均作为随机变量两大数字特征之一，是各类现象统计估计的基本参数。这不仅是因为算术平均是最常用的平均，也是因为算术平均是一种线性平均，具有许多鲜明的优良性质。但在现实生活中，算术平均并非是唯一的统计平均数，在计算各类比率、速度的平均时，通常就是采用几何平均。几何平均具有“易受小数值影响”的特点，当被平均的数值中有异常小的数值，几何平均值将会趋小，因此，几何平均是一种“惩罚型平均”，它鼓励均衡发展（注：此处所说的“鼓励均衡，惩罚落后”是基于“越大越好”的现象。对于取值越小越好的现象，则几何平均是属于“激励型平均”。关于各类平均值的评价性质，可参阅文献[1]或[2]。）。这一特点使得几何平均在注重“均衡性”的现象测度中显得尤其重要。在社会经济统计领域，几何平均数不仅应用于全面调查数据（如平均发展速度），同样也应用于抽样调查数据。例如，在各类商品价格指数（如社会商品零售价格总指数、生活费用价格指数、房地产商品价格指数等）的编制中，代表规格在不同观察点（时间空间二维点）上的价格波动率（即个体价格指数）可以采用Jevons指数公式确定，实际上就是用“样本的几何平均值”估计“总体几何均值”（注：设第i(i=1,2,…,m)代表规格品在第
。参阅，Jevons,W.S.,1965,"The Variation of Prices and the Values of the Currency Since1782",Journal of the statistics Society of London,Vol.28,PP.294～320,reprinted in Investigations in Currency and finance,London; Macmillan,PP.119～150；此外，还有如younger指数也是加权几何平均，东北财经大学统计系徐强博士在其博士论文中对经济指数理论与实践作了非常好的归纳研究，可参阅文献[3]。）；在各类基于群组系统的综合评估领域，用几何平均值来度量评价对象的平均水平，可以突出“群组意见一致性”要求。例如，“和谐社会”的测量应该包括“客观水平”与“主观感受”两部分指标，其中的“主观感受”是广大居民对社会各方面和谐程度的心理感受所做出的评分，显然用“几何平均值”来测量广大居民心理感受的平均水平更加符合“和谐社会”评估的“鼓励均衡”宗旨，在评估实践中通常是随机抽取部分居民进行问卷调查，由样本居民主观感受评分的几何平均值（样本）来估计全体居民评分的几何平均值（总体）（注：设第i个居民对“社会和谐度”（某单项指标或者综合状态）的主观感受评分为
（N为总体内的居民总数），则几何平均为；
。实际通过抽样，获得了n个居民的相应主观感受评分，记为：
，则人们通常是直接采用样本的几何均值对总体几何均值进行估计，即：
）。
可见，研究总体几何均值的抽样估计有着重要的现实意义。而目前文献关于平均数的估计都是指“算术平均数”，并没有涉及到总体几何均值的抽样估计理论。因此，本文拟对几何平均数的抽样估计问题进行探讨。
一、有限总体情形
众所周知，无偏估计的线性函数是相应参数线性函数的无偏估计，但是无偏估计的非线性函数不是相应参数非线性函数的无偏估计，因此q不是Q的无偏估计。下面利用大样本理论证明Q的估计量q是有偏估计，且偏差为正，同时导出了Q的一个新估计。
二、无限总体情形
首先分析应该如何定义无限总体的几何均值。为此，先分析有限总体几何均值的定义，有限总体的几何均值定义为：
类似于定理2的证明方法，可以证明这估计量是Q的近似无偏估计，且其均方误差小于q的均方误差（注：定理3的
的结果也可应用于其它分布，证明方式完全类似于定理2。）。
三、两个实例：总体几何均值估计方法在社会和谐度评价中的应用
例1：为调查浙江省居民对“和谐社会”的心理感受，笔者设计了一份调查问卷。采用随机抽样，共收回有效调查表1358份。问卷通过26个评价性变量（态度问题）来测量被调查者对“社会和谐程度”心理感受，累计计算总得分（修正为百分制）。要求对“社会和谐程度”几何均值进行估计，并计算相应的估计平均误差（均方误）（注：原始数据从略，有兴趣的读者可向作者索取。文献[4]不仅提出了一套很有价格的“和谐社会统计监测指标体系”，同时也给出了相关的统计评价标准。因此，基于几何均值和谐度指标的统计估计是有应用前景的。）。
利用SPSS软件，对1358个分数作自然对数变换，计算相应的均值与方差，如表1所示。
表1 描述性统计量
样本 均值 标准差 方差
COMPUTE修正LN=LN1358 3.976511 0.1793503410.0321665448
（修正总分）(COMPUTE)
虽然此例样本的直接几何均值与基于无偏修正的几何均值之间相差甚微（注：本例修正前后差异不是特别显著，不仅是因为方差不大，更是因为样本量非常大，由修正因子exp
可以看到，样本量足够大时，修正因子趋向于1。），但毕竟是有差异的。在多个同类现象的样本几何均值比较时，这种细微的差异恰恰就会导致完全相反的比较结论。当样本几何均值比较接近时，离散程度较大的样本通过无偏估计修正之后，参数的估计值“打折”幅度较离散程度小的样本几何均值大，从而就可能出现：直接通过比较样本几何均值所得出的结论，与基于无偏修正之后的样本均值对比得到的结论完全相反。下例正是说明了这一点。
例2：表2是随机抽样的10位居民对A、B两个社区综合和谐程度的评价（注：也可以是各社会分别选择了10位居民进行评价。此例也可看作是“学评教”中10位学生代表（随机抽取）对两位教师的授课质量评分。），要求估计A、B社区“平均和谐水平”（采用几何平均数）。
采用SPSS，计算对数化后的均值与方差，如表3所示：
表2 两社区综合和谐程度评价
表3 描述性统计量
样本 均值
标准差 方差
LNX1 10 4.380675
0.01496575 0.00022397
LNX2 10 4.381630
0.23302749 0.05430181
显然，
。导致这种“逆转”的根本原因在于B社区的评价意见不够“集中”，分歧很大（表现为方差大）。抛开样本几何均值差异的统计显著性检验，仅就点估计的大小方向来看，直接基于样本几何均值所作的估计与基于无偏修正之后所作的估计是有很大的不同，代表了不同的含义。在社会经济统计领域，通常是直接利用点估计进行统计分析的，因此基于点估计值作“和谐程度”优劣评价时，样本几何均值是否修正就大不相同。