借助数和简单控制的困难--“不求定”思想在平面几何解题中的精彩应用实例_平行四边形论文

以数助形，以简驭难——例析“设而不求”思想在平面几何解题中的妙用，本文主要内容关键词为：平面几何论文,妙用论文,不求论文,思想论文,数助形论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。

      在初中阶段解一些代数应用题时，由于题意中的等量关系较为隐晦，若直接设置一个未知数，等量关系不是十分明晰，解题就会陷入困境，这时如果再设一些未知数，那么根据题意较易列出方程（组），再通过消元转化，使问题顺利获解，而增设的未知量可以不求，就可达到以简驭繁的解题效果.这种方法俗称“设而不求”.将“设而不求”解题思想迁移到求解（求证）几何问题，当某些几何题碰到无从下手时，类比地增设图中的某些角度或线段，用它们作为桥梁，建立方程（或函数）模型，把几何推理演变成代数变形，使问题求解变得容易.由此揭示以数助形、以简驭难的解题妙境，体现数形结合万般好的解题王道.本文通过具体实例介绍“设而不求”思想在平面几何解题中的若干应用，与大家分享.

      一、解决有关角度问题

      例1如图1，在△ABC中，AB=BC，在BC上取点M，在MC上取点N，使MN=NA.若∠BAM=∠NAC，则∠MAC=________.

      解 如图1，设∠BAM=∠NAC=α，∠B=β.由MN=NA，则∠AMN=∠NAM=α+β.所以∠BAC=3α+β.又由AB=BC，所以，∠BAC=∠ACB=3α+β.

      

      又因为∠BAC+∠ACB+∠B=180°，所以，2（3α+β）+β=180°.即2α+β=60°.于是∠MAC=60°.

      例2 如图2，矩形ABCD中，CE⊥BD于E，AF平分∠BAD交EC延长线于F.求证：CA=CF.

      证明 如图2，设矩形的对角线AC、BD交与点O，AF、BC交与点G.

      

      因为矩形ABCD，则∠BAD=∠ABC=∠BCD=90°，OB=OC.因为AF平分∠BAD，所以∠AGB=45°.又因为CE⊥BD，则∠DCE=∠DBC=∠ACB.令∠CAF=α，∠F=β，∠DCE=y.

      

      ①×2-②得，α-β=0，即α=β.所以CA=CF.

      评注 以上两题解决之道：若一个几何问题的图形中出现两个及以上等腰三角形时，如果先增设等腰三角形的若干底角（一般设较小的角），然后其余相关的角用它们的代数式表示，再用三角形的内角和或外角定理建立方程（组），最后通过消元或整体代换求解.通过以数助形，数形结合，从而避免角度间的复杂转换或省去辅助线，使整个解题过程变得更加明快、清晰.

      二、解决有关线段问题

      例3 AD、BE是△ABC两条中线，且AD⊥BE于点G，若BC=8，AC=6，求AB的长.

      解 如下页图3，由题意得，点G是△ABC的重心，所以AG=2DG，BG=2EG.设DG=x，EG=y.则AG=2x，BG=2y.因为BC=8，AC=6，AD⊥BE，

      

      

      例4 △ABC中，AB=7，BC=8，CA=9，过△ABC的内切圆圆心作DE//BC，分别与AB、CA交于点D、E，则D的长为________.

      解 如图4，设BC的边上的高为

，△ABC内切圆的半径为r.

      

      

      评注 上述两题，通过增设两个未知量，用勾股定理或相似三角形的性质建立方程（组），而后进行代数变形，巧妙解决.这种“设而不求”思想方法，就像过河搭桥一样，不需涉水，顺利到达彼岸.

      三、解决有关周长问题

      例5 如图5，平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF=60°，AE+AF=2

，则平行四边形ABCD的周长是________.

      解 如图5，设B=x，DF=y.因为平行四边形ABCD，则AB//CD.又AF⊥CD，所以AF⊥AB.又因为∠EAF=60°，则∠BAE=30°.因为AE⊥BC，则AB=2BE=2x，AE=

x.同理可得，AD=2DF=2y，AF=

y因为AE+AF=2

，所以，

x+

y=2

.因此，x+y=2，从而2x+2y=2×2=4.即平行四边形ABCD的周长是8.

      

      评注 求平行四边形的周长，实质是求一组邻边和.通过分设一组邻边，将题意中的两条线段分别用平行四边形的边表示，代入已知的等式，整体解决.本题增设两个未知量，把它们作为已知量，实质是增加了题目中的题设，降低思维的难度，从而达到以简驭难的效果.

      四、解决有关面积问题

      例6 如图6，已知平行四边形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上.若△ADE、△BEF、△CDF的面积分别为5、2、6，求△DEF的面积.

      解 如图6，过点F画AB的垂线，交AB于点G，与DC的延长线交与点H.

      

      

      例7 如下页图7，边长为a的正方形被两条与边平行的线段分割成四个小矩形，EF与GH交于点P.若Rt△GBF的周长为a，求矩形EPHD的面积.

      证明 如图7，设BF=x，GB=y，则GF=a-x-y，AE=x，CH=y.所以DE=a-x，DH=a-y.

      

      

      评注 我们知道：三角形与平行四边形面积计算公式中都有两个独立的变量，当三角形周长一定时，三边中也只有两个独立的变量.以上两个例题也是通过增设两个独立的变量，结合题设，将相关的线段用它们的代数式表示，再根据面积公式建立方程，方程的求解过程中巧妙地穿插整体思想，最终实现“设而不求”的问题解决之道.

      五、解决有关最值问题

      例8 如图8，已知△ABC的周长为2p，在AB、AC上分别取点M和N，使MN//BC，且MN与△ABC的内切圆相切.求MN的最大值.

      

      

      例9 已知△ABC的内切圆半径为r，∠A=60°，BC=2

.求r的最大值.

      解 如图9，设△ABC的内切圆分别切BC、CA、AB于点D、E、F，连接IA、IE、IF.则∠IEA=∠IFA=90°，∠IAE=∠IAF=30°，AE=AF=

r.令B=a，CD=b，则BF=a，CE=b.

      

      

      

      评注 这两题都涉及三角形的内切圆，自然联想到与内切圆相关的面积公式，用等积法建立方程，由于方程中涉及多个变量，因此先假设题意中没有涉及的变量，通过代数变形，把问题转化为求最值的常用方法：配方法及构造一元二次方程来解决.上述两题看似“山重水复疑无路”，通过“设而不求”，最终实现“柳暗花明又一村”的解题妙境.

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