数学教育中的疑难问题，本文主要内容关键词为：疑难问题论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
自从1989年踏上美国的土地，我就开始了以一个全新的视角来审视和思考教育.一方面，美国的教育似乎为自己打开了一扇新的大门，另一方面，自己常不自觉地回眸中国的教育.除了博士课程的学习和研究，我也参与导师的课题研究，从而有机会走进美国的课堂，通过观课来了解教师的教和学生的学.由于中国的教育在我内心留下了深刻印记，因此，每次走进美国课堂，中美教育之间的那种巨大差异常常让我感到耳目一新，甚至是一种冲击.特别是美国课堂二三十人的小班教学，学生大都很活跃，即使面对外来的、陌生的观课者也丝毫都不怯场，在课堂活动中仍然积极参与，表现得落落大方，这给我留下很深的印象.回想自己在国内师范大学学习期间，第一次走上讲台时会脸红，这让人不得不思考不同的教育所带给人的全方位差异.同时，我发现美国的课堂很重视小组合作学习，学生座位的安排就是以小组为单位，同组学生围坐在一个大的课桌旁，虽然有的人可能会背向教师而坐，却便于小组成员间的讨论和交流.即便是这些课堂教学的表面因素，也引发了我对教育更多的思考，进而影响到我对教育的一些看法. 值得一提的是，其中一门博士班课程是有关教育评估与测量的，涉及跨国的数学教育评估.其间，我有机会阅读了一些亚洲国家与美国教育的比较研究资料，发现多数研究结果表明亚洲学生的表现远比美国学生的好.这样的研究结果让我觉得很意外，与之前自己对美国学生的预期几乎是矛盾的.在我看来，与亚洲的课堂相比，美国课堂里教与学的活动是如此新颖，学生课堂参与积极性也很高，为什么在那些跨国研究的测试中成绩却反而不高呢？带着这些问题，我开始了一系列数学教育的实证研究，至今获得了一些数据和富有意义的研究成果.感兴趣的读者可以参阅我于2007年在教育科学出版社出版的《中美学生数学学习的系列实证研究——他山之石，何以攻玉？》一书：以下是结合自己多年的研究，介绍一些对数学教育的概括性的思考，希望能激发读者的思考和对数学教育的探索. 一、中国学生在创造性上的表现真的不如美国学生吗？ 从下表中有关中美两国学生在计算题、简单问题解决、过程限制的复杂问题和过程开放的复杂问题上的平均得分的百分比，可以看出中国学生在前三类问题的得分高于美国学生，但在第四类问题上的得分却低于美国学生.而且，每类题上的差异在统计学上都是显著的，也就是说，这些差异在很大程度上反映了两国学生的实际差异，是误差的可能性很小.这也表明，具备常规问题解决能力，并不意味着具备创造性的、非常规问题解决的能力.
我的这些研究也从一定程度上揭示了中国课堂教学在培养学生常规策略上的有效性，而美国课堂在培养学生创造性思维上的有效性.显然，理想的教育应该既能促进学生对常规问题解决策略的学习，又能发展他们的创造性思维能力.那么究竟怎样的环境有利于学生创造性潜能的发展呢？这的确是一个很复杂的问题，我们也只能关注于学校教育这一环境，或者更进一步聚焦于数学课堂这个更小的环境来讨论这一问题.那么，能否构建这样的数学课堂，即给学生适当的挑战、教师多放手、让学生独立自主地思考呢？因为中国的课堂向来以组织精心、结构严谨著称，在我们的研究中也探索过结构严谨的课的优缺点.为了保证课堂教学结构的严谨性，教师要对整个教学过程进行周密的思考、精心的设计，从而为学生铺路，希望学生系统地了解概念的来龙去脉或解题过程的详细步骤. 我们来看一堂有关分数比较的课.这堂课的结构非常严谨，教师安排了一系列由简单到复杂的系统变式的例子，学生大都能找到答案，从而掌握比较两个分数大小的一套程序，但是这样很结构化的课，由于教师“把路铺得平平整整”，把所有的挑战都回避掉或者替学生克服了，以至于学生不用做太多的思考就可以得到答案，这是结构严谨的课的致命弱点.例如，在比较分数
和
的大小时，其中一个学生说出了
比
大，然而任课教师和班上学生之间仍有下面的对话. 师：许多同学都同意这个结论，为什么它是对的？在比较这两个分数的大小时，首先比较什么？ 生1：分子. 师：比较两个带分数时，我们首先应该看什么？ 生1：整数部分. 师：对的.我们首先比较整数部分，那么接下来呢？ 生1：比较分数部分. 师：什么？ 生1：分子. 师：分子.谢谢.大家还记得前面学过的比较两个分数时，首先看什么吗？（教师面向全体学生）生2你说说看. 生2：分子. 师：那…… 生2：分母. 师：分母.我们首先应该看分母是否相同，是吗？ 生：（齐）是！ 师：对，我们先比较整数部分，因为它们一样大，所以再看分母.
和
哪个更大？把一块蛋糕平均分成5份，3份和1份哪一个更大？ 生3：3份. （在师生对话期间，老师在黑板上板书：“整数→分数→同分母”） 这个教学片段大约占用5分钟时间，教师的提问与学生的回答使得整个课堂教学按很细碎的步子走下去，同时引导学生按照规定的具体步骤（整数→分数→分母）检查分数的不同部分，不鼓励学生跳过任何一步.类似这样的课在中国课堂上也许并不少见. 在这个教学片段中，表面上看，师问生答，似乎互动很热烈，但是，我们来分析师生对话的过程.师生的讨论关注于比较分数大小一般程序的探讨，当生1针对教师的设问回答首先比较分子时，教师否定了他的回答，后来生1改口说“整数部分”.教师在肯定这一回答之后，继续探讨比较两个分数的接下来的步骤.显然，教师也没有接受生1的回答“比较分数部分”，生1再次将回答改为教师能接受的答案，整个对话过程几乎称不上是讨论，学生的回答似乎是为了迎合教师而始终在猜测其意图.学生依赖教师——这一课堂教学中唯一的权威，教师很少关注学生回答的合理性，只是关心比较两个带分数的一般程序的获得.被教师所否定的生1的两个答案其实都是正确的，生2的回答也是对的.因此，这类结构化的教学尽管不乏师生之间的对话，但不是真正的师生互动，从长远来看势必会阻碍学生思维灵活性的发展.这方面的问题在后面《小学数学教师的专业素养》一文中会继续讨论. 二、这到底是不是数学？ 教师的教学行为是决定教学效果的关键因素之一，而它又受教师教学信念的影响.在以前关于教师教学信念和教学表征的研究中我们发现，如果学生的解答过程用到了画图或列表，中国教师通常会给一个比较低的分数，尽管这种方法是获取正确答案的合适方法之一.中国教师给那些使用直观或具体化方法解答的学生较低的分数，这有多方面的原因，其中包括“当数量很大时就很难用这种方法解答”“这种方法太笨拙”和“画图而不去找数字的规律是非常麻烦的”.总之，画图法在一些中国教师的眼里似乎不是数学. 但许多美国教师认为画图是得出正确答案的可行的数学方法，而且几乎所有被访谈的美国教师都认为这些直观方法清晰地展现了学生是怎样思考和解决这些问题的. 例如，在解决下页所示平均数问题时，学生借助画图，用“均分过程”来解答此问题.把平均数7作为基准来排列第1、2、3周卖出的帽子数.因为第1周卖出9顶，所以有2顶额外的帽子.第2周卖出3顶，必须再有4顶剩余的帽子来达到这个平均数.第3周卖出6顶，必须再有1顶剩余的帽子来达到这个平均数.为了使在4周之内卖出的帽子数达到这个平均数，第4周应该卖出10顶帽子. 一商店出售帽子.下图列出了该商店在前3周售出的帽子数：
这家商店在第4周应该卖掉多少顶帽子才能使售出帽子的平均数为7？写出你解答的全部过程. 以下是中美教师根据学生使用的不同问题解决策略所给的分数分布情况（满分是4分）：
从上表可以看出，一些中国教师认为通过画图解决数学问题似乎不是数学，因此，他们对图画策略解决问题给予较低的评分.中国教师似乎有一个明确的目标，即学生应该学习和使用更多的一般化的、形式化的方法.尽管中国教师对画图策略的评价有较大分歧，但其中一位教师的观点仍具有一定的代表性：“有能力解决一个问题是好的，但这只是第一步.通过数学教学，我们想让学生掌握解决问题的一般方法.他们应该能够做到一般化并能举一反三.”然而，在访谈中，没有证据表明美国教师有如此明确的目标.相反的，美国教师的目标是让学生能解决问题，无论他们用什么方法.从对访谈记录的分析可以看出，所有参与访谈的美国教师都至少有一次表示，只要他们的学生可以用一种适当的方法解决一个问题，他们就会满意. 我认为画图解决问题是问题解决中一种有效的表征和策略，也是一种数学方法.对于一些数学问题而言，借助画图能很有效、快速地获得问题的正确解答.同时，能正确地画图也是相应的数学理解的体现，因此，对小学生来说，不能过分追求数学的形式化，而忽视数学的其他表征. 三、熟练计算与数学理解之间的关系应该是怎样的？ 关于什么是理解，尽管在数学教育界并没有形成一致的意见，但对于理解的重要性的强调却是没有任何异议的.从一定程度上来说，教师的教学就是在促进学生的理解.理解与纯粹关于数或符号的操作是两码事.不可否认的是，理解了的内容会让学生学习起来更有兴趣，也更有利于将所学到的数学概念和其他知识运用到实践中.在解决上述“帽子平均数”的问题时，我们发现，部分学生由于在平均数概念的理解上存在偏差，他们在解决这一问题时，犯了如下6类的错误： 1.将前3周所卖的帽子数加起来得到18，然后用这个和除以3，得到6.但是题目中所指的平均数是7，于是在前3周的和的基础上再加上3，然后除以3，即得7，于是给出最后答案是3. 2.将前3周所卖的帽子数加起来得到18，然后用这个和除以3，得到6，6+1=7，于是给出最后答案是1. 3.将前3周所卖的帽子数加起来得到18，然后用这个和除以3，得到6，就用6作为最后答案. 4.将前3周所卖的帽子数，再加上平均数7，得到一个和，用这个和除以4，取商的整数部分6作为最后答案. 5.将前3周所卖的帽子数加起来得到18，然后用这个和除以4，就用商4.5作为最后答案. 6.将前3周所卖的帽子数加起来得到一个和，然后用这个和除以7，取商的整数部分2作为最后答案. 在后面4个错误类型中，学生都是试图直接使用算术平均数的算法而得到答案，而忽视了题目的条件（平均数是7）和要求（第4周应卖多少只帽子才能使平均数是7）.前2个错误类型中，学生都能够意识到平均数必须是7，于是采取一些拼凑的方法，得到一些不合理的答案.但无论哪一类错误，都表现出这部分学生缺乏对平均数的概念性理解，也许他们只是熟悉标准的解决平均数问题“先加再除”的计算程序. 小学数学中的算术平均数，有一些不同的定义方式，比如，一组数据的和除以这组数据的个数就是平均数.这样的定义方式强调了平均数的三个构成要素：和、个数和除法运算.还有的定义是先求出一组数的和，再平均分以找到这组数的平均数，这里强调了动态的、可操作性的“均分”的过程，却没有强调除法运算.但无论如何，只有正确认识和理解了“和”与“个数”对平均数的决定性意义，才能得到正确的平均数，否则，对除法运算再熟练，也不一定能得到正确的结果. 计算上的熟练大都体现在对数和符号的操作上，往往是一种程序性的过程，并不一定表示学生理解了有关概念，但有些理解可能来自于对基本技能的熟练掌握，最终，学生又必须将他们的数学技能建立在扎实理解的基础上.当数学学习强调概念性理解时，学生可以通过对一些问题（或情境）的探究理清概念间的关联，以达到真正的理解.仅有符号操作是不够的，需要有对知识的整合和概念性的理解. 四、合作学习是目标还是手段？ 当今社会全能型人才越来越少.随着专业分工越来越细，无论是高科技的研究或产业还是粗放的劳动力密集型的生产，都要求在集体的合作中完成.中国和美国的学校或企业，在聘用人员时，不仅要求专业水平高，而且需要有高度的合作精神和敬业精神.中央电视台国际频道2005年12月16日的《让世界了解你》的节目中，中国东南大学校长与美国宾夕法尼亚大学校长之间的对话也透露出这样的一个重要信息，即社会、企业对“三高”人才的需求：高合作精神、高专业水平、高敬业精神. 美国大学生创办的一份杂志在2005年岁末的一期中，刊发了一篇对微软公司总裁比尔·盖茨的访谈录.当比尔·盖茨被问及什么是天才时，他回答道：“我认为天才不仅仅关乎纯粹的智力，而且还需要具备在开辟或探索一个全新的领域时的合作共进的能力.” 然而，许多人对合作学习的理解往往是一种要么目标、要么手段的割裂的取向.事实上，合作学习既是目标也是手段.我们注意到，在中国的数学教育界，以往讲到数学教育的目标，无论是以前的教学大纲还是正在使用的新的课程标准，大致可归纳为：知识、技能、能力、活动经验和态度.这些方面固然是非常重要的，但没有突显出数学教育在培养学生合作精神方面的作用. 合作学习是一种学生之间相互帮助或支持，相互启发，相互促进学习和理解的手段.合作学习更是一种目标——合作技能的发展及合作精神的培养.在进行合作学习时，学习者组成一个团队，为解决一个问题、完成一项任务或达到一个共同的目标而团结协作.小组的成员是这个团队的一部分，分享或承担本组的成功或失败.正如美国数学教师协会的《学校数学课程和评估标准》一书所指出的那样：“小组学习为学生提供了一个讨论的平台，在其中，学生可以发问、讨论一些想法、犯错误、学会倾听别人的理念、提出建设性的批评以及对一些发现进行书面小结.”所以，小组合作学习不只是将学生分成一些小组，然后给他们布置一点任务那么简单，而是在团队合作中解决问题、学习和理解数学，同时学生合作的意识、能力和技巧也得到了提高. 五、学生的数学解答到底规范到多大程度才是可以接受的？ 从中美教师教学信念的研究中我们还发现，美国教师对数学解答的规范性要求比中国教师宽松得多.可能中国教师对解答的书写格式的细节和规范性的关心直接来自于“考试文化”的影响.事实上，各级各类统考的一些评分标准成了教师日常教学的规范，而且中国的教师似乎认为，在问题解答过程中使用规范的书写格式可以帮助学生提高他们的逻辑思维能力.有趣的是，数学解答在书写上的不规范似乎一点儿都不令美国教师担忧，他们认为这样的小错误仅仅是记下了学生头脑中所想的，是一种包括成人在内的自然的思维方式.我们认为两国教师的这些观点都有可取的成分，问题的核心是“度”的问题.比如，学生将一个分数写成2/3的形式可以接受吗？学生在解方程3x+2=x+4时，采用如下书写格式可以接受吗？ 3x+2=x+4 =2x=2 书写规范的确是数学严谨性的体现，但问题是对中小学生来说，严谨性是相对的.因此，对书写规范性问题的讨论实际上是对数学严谨性的讨论.我们不能否定数学的严谨性，像上述解方程的步骤，我们是不能接受的，因为即使是最后获得了正确的解，但整个过程混淆方程的平衡，是一种数学上的错误.然而，又不能过分强调数学的严谨性，因为数学探索和学习的本身也包括了直觉、归纳、猜想、类比等过程，而这些过程在严格意义上都不是严谨的，但它们都是数学探究和创造性发展的主要过程.因此，如何把握严谨性的“度”是一个值得进一步探讨的问题.
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