考虑作业空间干涉的工程项目时间 -成本均衡优化研究
李 迁, 陶 莎, 周晓园，盛昭瀚
(南京大学工程管理学院，江苏 南京 210093)
摘 要： 工程现场的空间资源是制约工程活动开展的重要影响因素。本文研究考虑空间干涉的工程调度优化问题，定义作业空间干涉的度量方式和作业效率函数，建立工程调度的工期-成本双目标优化模型。针对问题特征设计相对延迟编码方式和解码机制，采用NSGA-II算法求解模型。以某工程案例为研究对象，通过与传统方法对比实验验证了模型和算法的有效性，接着分析了算法的最大延迟时间参数对算法性能的影响。实验结果表明，本文提出的模型和算法能有效提升工程进度和成本目标。
关键词： 工程调度；作业空间干涉；作业效率；工期-成本优化；NSGA-II
1 引言
工程施工进度计划以及资源的有效配置是施工项目管理的重要科学问题[1-2]。除了人力、设备等资源，施工现场的空间也是重要资源之一。实践表明，施工活动安排不合理引起的活动作业空间不足、作业空间相互占用易造成作业效率低下、返工、安全隐患等不良后果，大大阻碍了工程目标的实现[3-5]。因此，在优化施工调度方案时充分考虑施工活动的空间需求以及空间约束条件对工程管理实践具有一定的现实意义。
九华河：发源于九华山七贤峰，流长29.4 km，流域面积310.73 km2，河道宽60～80 m，平均坡度1/705，估算梅梗段20年一遇洪水流量1 300 m3/s，最小流量河水断流(1958年、1978年)。
目前大多学者借助可视化仿真技术对施工中的空间干涉问题开展研究[6-8]。这类研究通常基于已知的调度方案，借助数字化技术识别空间干涉，并通过制定规则来局部地调整计划方案，以消除或解决空间干涉问题。Moon[6]等人提出一种序列检查算法来避免并行活动之间发生空间干涉。Choi[7]等人设计了一种作业空间规划的流程框架，包含识别4D BIM、识别作业空间、表征空间占用、识别空间干涉、解决空间干涉五个阶段。Zhang[8]等人利用GPS定位系统和BIM实时地判断人员的作业空间，进而识别潜在的空间干涉并及时采取防范措施。然而，这类方法缺乏对调度计划进行预先的整体性优化设计。此外，少部分学者对具体资源(如人、机械设备)的运行方位和动作轨迹等细节上进行建模，避免其作业过程中发生冲突[3,9]。例如，Isaac[9]等人采用时间-空间图描述员工的动态运动过程，将员工作业路径表示为粒度函数，对并行活动进行时间和空间的分配。该类研究从资源运动的微观视角，而非从整体工程项目的宏观视角根据活动的空间需求信息优化工程调度方案。
资源受限的项目调度问题(RCPSP)是运筹学和运作管理领域的重要研究方向，旨在研究考虑资源供给限制的项目调度优化问题，其应用领域涉及建设工程、工业生产、物流交通等[10]。RCPSP将资源类型大致分为可再生资源(如人力资源)和非再生资源(如原料)，空间资源属于一类有限的可再生资源[11]。一些学者结合RCPSP与有限工程空间资源开展研究。Frene[12]等人设计空间资源的请求活动(Call activity)、中间活动(Interval activity)、释放活动(Release activity)三类活动，基于RCPSP并提出采用串行方案生成机制的启发式算法解决问题。Semenov[13]等人在RCPSP中考虑空间拥堵和作业流扰动约束，建立以工程工期最短为目标的优化模型。Tao[14]等人将空间拥堵作为优化目标之一，建立时间-成本-拥挤度多目标工程调度优化模型。
本文创新性地从空间干涉降低施工作业效率的现实出发，以工期和成本为目标，基于RCPSP相关理论，建立考虑空间干涉的工程调度时间-成本双目标优化模型。与以往研究假设工期已知不同，该模型定义了活动的作业效率曲线和实际工期变量。此外，不同于传统求解RCPSP算法的序列或权重编码方式，本文针对性地设计了相对延迟编码方式和相应解码机制，采用NSGA-II算法有效求解问题。
2 问题定义与数学模型
4.2.1 标准参数下的结果分析
本文的研究问题可概括为：在已知活动工序、计划工期以及作业空间需求等参数条件下，考虑活动执行过程中的空间干涉对作业效率和实际工期的影响，如何合理选择各活动的执行模式并安排活动执行时间，以达到工程工期和成本均最小化的目标。
2.1 作业空间干涉
作业空间干涉(Workspace Interference)或简称空间干涉是指在活动执行过程中，其作业空间被其他活动占用，从而对自身产生一定的干扰和影响。空间干涉发生要求两个或两个以上的活动在同一时间有相同的空间需求，即作业空间重叠[6]。假设任意活动i 的作业空间记为Ω i ，函数v (Ω i )表示该作业空间的体积，则活动i 的资源密度表示为资源占用的空间体积与总体作业空间体积之比，如公式(1)。
佛罗里达的迪士尼乐园里主要的云霄飞车，最高点“只有”两百尺（约十五层楼高）。云霄飞车从十五层楼高的地方俯冲下来，很恐怖吧，怎么会说“只有”呢？
(1)
为了更容易理解，以图1的效率函数为例，计划工期等于效率函数曲线与时间轴围成的阴影区域的面积。可以看出，在第t 时段上活动i 是否结束与第t -1时段及之前各时段内的累计工作量有关。当累计工作量小于总工作量要求，则活动i 未完成，第t 时段将继续执行活动i ；否则，活动i 完成且完工时间为t -1。基于这一思想，初始化t 为活动i 的开始时间，循环上述操作直至活动i 完成，即能确定其结束时间。下一节将基于该思想设计算法的编码方式和解码机制。
进一步地，定义任意t 时段上活动i 的空间干涉程度S i (t )为其它活动在t 时段内与活动i 重叠空间内的资源密度加和，如公式(2)[13-14]。
[26] [德]卡尔·施米特：《陆地与海洋——古之“法”变》，林国基、周敏译，上海：华东师范大学出版社，2006年，第50-51页。
S i (t )=∑i′∈N\i (ρ i′ ·v (Ω i ∩Ω i′ )·y it ·y i′t ),∀i ,k
(2)
其中，Ω i ∩Ω j 表示两作业空间Ω i 和Ω j 的重叠部分。y it 为0/1变量，当活动i 在t 时段上执行时，y it =1；否则，y it =0。可以看出，对于任意活动i ,i ′，若v (Ω i ∩Ω i′ )=0(作业空间不重叠)或者y it ·y i′t =0(作业时间不重叠)，则空间干涉为0。
而“东西”从表示物品到表示人这一演变，则可能是一种隐喻衍生而来的。我们现在也会说“某某是某某人身边的一条狗”这样的话来以“狗”来比喻人，那古时候也许存在同样的情况，把人比作“东西”来达到辱骂、讽刺的目的。可能一开始只是在特定的语境中才表示这样的意思，但使用次数增多之后被加工定形称为了一个义项，于是沿用至今。
2.2 作业效率函数
安永会计师事务所的贸易问题专家哈姆斯表示：“大型在线服务提供商正在稳步扩大其市场力量，并且以不惜损害实体零售贸易的手段来确保自己获得越来越大的蛋糕。”从利润丰厚的圣诞节生意中就可以看出这一点。根据安永会计师事务所的调查，每五个德国人中就有一人喜欢在网上购买圣诞礼物。而在一年前，德国的电子商务用户数量只是目前的一半。
e i (t )
(3)
其中，β 为Sigmoid函数的形状参数，
和d i 分别表示活动i 的开始时间和实际工期。当
活动i 在时段t 上正在执行，此时根据公式(3)求解t 时段上的作业效率；否则，令作业效率为0。显然，当空间干涉为0，作业效率为1。
公式(4)-(5)刻画了作业效率和实际工期之间的关系，即在执行时段
上的累计作业效率(或称累计工作量)应恰好大于或等于计划工期。
(4)
(5)
其中，υ k 表示每单位资源k 占用的空间体积。R imk 表示活动i 执行模式m 所需资源k 的数量。x im 为0/1决策变量，当选择模式m 执行活动i 时，x im =1；否则，x im =0。
图1 作业效率和实际工期的关系示意图
2.3 数学模型
某办公楼装饰工程由19个活动构成的，活动基本信息如表1所示[3,17]，各活动的作业空间布局如图3所示。其他参数设置如表2，不妨称为标准参数设置。
编码由2n 个整数元素构成，记为DML =(Δ1,…,Δn ,m 1,…,m n )。其中，前n 个元素中，Δi 表示活动i 的相对延迟时间，即相对于活动i 的最早可开始时间再延迟Δi 单位时间，活动i 才开始执行。活动i 的最早可开始时间指的是活动i 的前序活动全部完成的时刻。Δi =0表示活动i 不延迟，即其前序活动均完成时立即开始执行。Δi 的取值范围为{0,1,…,MAX Δ}，参数MAX Δ表示最大延迟时间。DML 后n 个元素为活动的模式选择，m i ∈M i 。由于NSGA-II算法的染色体x =(x 1,…,x 2n ),x ∈[Minx ,Maxx ]为实数向量。针对本文问题特征，设定染色体的每个基因位的取值区间分别为x j ∈[0,1],∀j ∈{1…n }和x j ∈[1,Max |M i |],∀j ∈{n +1…2n }。接着，根据公式(11)和(12)对任意实数向量x 进行离散化处理，将x 映射为DML 。其中，函数round 表示四舍五入。
(6)
f C =∑i,m ∈M i x im ·C im +C P ·max{f T -T dl ,0}
(7)
(8)
∀i ∈N ,t ∈T
(9)
∑i,m ∈M i x im =1
(10)
约束(1)-(5)
3 元启发式算法
NSGA-II是经典的多目标优化算法之一，它具有全局优化性好、通用性强和易于实现等优势，且在算法收敛性、鲁棒性等方面展现出良好的性能，因而在经济管理、工业工程等领域得到了广泛应用[16]。本文采用NSGA-II求解问题，由于未涉及改变NSGA-II算法框架和算子，关于NSGA-II算法介绍请参考相关文献，此处不再赘述。
求解RCPSP的启发式算法的编码方式一般包括活动排序和活动权重两种，排序和权重均体现活动占用资源的优先权。传统的解码机制通常采用贪婪准则，即在资源允许的情况下活动尽早开始。这种方式难以灵活控制活动执行时间上的重叠程度。然而，本文研究的问题需要更精细地控制活动执行时间，从而调整空间干涉对作业效率及实际工期的影响。因此，传统的RCPSP编码和解码方法难以适用本文问题。为此，本文针对性地设计了基于相对延迟编码方式和相应解码机制。
minF =(f T ,f C )
Δi =round (x i ·MAXΔ ),∀i ∈{1…n }
(11)
m i =round (x i+n ),∀i ∈{1…n }
(12)
解码过程是将任意一个DML 解码成一个调度方案并求出目标值，本文设计的解码机制的伪代码如图2所示。首先，根据DML 容易确定每个活动的执行模式，从而确定活动的计划工期、资源需求量和成本。接着要确定活动的开始时间和实际工期。其主要思想是：从时刻0开始，按照项目发展时间逐步判断每个时段t 上正在执行的活动，计算各活动的空间干涉程度、作业效率和该时段结束时各活动的剩余工作量，判断各活动是否被完成。当活动的剩余工作量小于或等于0时，活动完成且当前时刻即是该活动的完成时间，活动完成时间与开始时间之差即为活动实际工期d i 。每当有活动被完成，更新其紧后活动的最早开始时间
并根据编码值推算活动开始时间为
接着对时间段t+1进行判断，若时间t +1超过计划时间范围T ，则DML 不可行，令目标向量F =(Μ ,Μ )并停止算法；否则依此下去，直至所有活动被完成，计算目标向量并结束算法。图2中的参数
分别表示活动i 在t 时段上的作业效率和剩余工作量。集合Φ 包含已经处理的活动，即执行时间已确定的活动。Γ t 集合包含t 时段上正在作业的活动。M表示一个任意大的正数，
表示活动i 的开始时间还未确定。
图2 解码机制
4 案例分析
4.1 案例描述和参数设置
本文同时考虑工期和成本两目标，建立如下双目标数学规划模型。其中，公式(6)计算项目工期f T ，即虚拟结束活动的开始时间。公式(7)计算总成本f C ，总成本由活动执行成本和延期成本两部分构成。其中，活动执行成本等于所有活动成本之和∑i,m ∈M i x im ·C im (C im 表示活动i 在模式m 下执行时所需的直接成本)；延期成本等于超期时间max{t n+1 -T dl ,0}乘以延迟单位时间的惩罚成本C P (截止工期记为T dl )。约束(8)是工序关系，即任意活动的开始时间不得早于其前序活动的完成时间。约束(9)定义0/1变量y it ，即当活动i 在t 时段上正在执行时，y it =1；否则为0。由于每个活动只能选择一种执行模式，因而约束(10)成立。此外，模型还包括上述介绍的公式(1)至公式(5)。
表1 活动参数表
表1 活动参数表
图3 空间示意图
表2 实验的参数设置
算法在软件MATLAB R2013a上编译，算例实验在CPU主频2.20GHz，内存8GB，64位操作系统配置的个人计算机上运行实现。
活动的作业效率和实际工期均是受空间干涉影响的变量。在无空间干涉的理想情况下，活动i 在执行模式m 时的计划工期为W im ，即W im 是完成活动i 所需的总工作量或总工时。而在空间干涉的影响下，活动作业效率随时间改变，记效率函数为e i (t )∈[0,1]。参考作业效率与其它因素(如学习速度、经验)的函数关系[15]，本文采用Sigmoid函数定义e i (t )，如公式(3)。
4.2 实验结果分析
采用AON(Activity-On-Node)网络表达工程项目，记为G ={N ,A }。集合N ={0,1,…,n ,n +1}表示n +2个活动，其中活动0和n +1分别表示虚拟开始和结束活动。集合P ⊂N ×N 表示活动之间的工序关系，若i 是j 的紧前活动，则(i ,j )∈P 。每个活动i 有|M i |种可选择的执行模式，定义每个活动的备选模式集合M i ={1,2,…,|M i |}，m ∈M i 。假设资源有|K |种，定义资源集合K ={1,2,…,|K |}，k ∈K 。工程项目的计划时间范围(Plan Horizon)为[0,T ]，为方便算法设计，将时间离散化成时段集合，记为T ={1,…,|T |}，t ∈T 。本研究基于假设：1)活动的作业效率仅受空间干涉影响并与空间干涉程度呈负相关；2)活动实际工期仅受作业效率影响，不考虑其它影响因素；3)每个活动所需的作业空间已知。
基于表2参数执行NSGA-II算法，得到一个包含7个解的Pareto集合，解集在目标空间内的分布如图4所示。工期和成本在一定程度上相互冲突，尤其在工期小于125或大于144时，工期与成本近乎成线性关系。当工期小于125时，成本与工期的冲突性更大，即每压缩一单位时间所付出的成本更高。以目标取值为(125, 259)的最优解为例，活动的效率曲线如图5所示，每个活动开始于第一次效率大于零的时刻，结束时刻是在效率再次降为零且此后始终为零时，活动的工期为活动结束时刻与开始时刻之差。从效率曲线图上不仅可以看出每个活动的开始作业时间和工期，还可以看出每个活动的作业效率随时间和项目发展的变化情况，可见效率曲线图比传统甘特图更详尽。
有效预习是指在教师的引导与监督下，学生自主地依据教材的预习提示以及预习材料借助一定的预习方法对学习内容进行课前自学的活动，强调教师在预习中的参与，指导学生的预习方法，提高学生的预习效率，改善学生的预习效果，从而提升学生的语文素养。鼓励学生通过有效的预习产生对语文课文的质疑，进而提升学生的语文的学习兴趣。
图4 Pareto解集
图5 各活动的效率曲线(横轴为时间，纵轴为效率)
4.2.2 与传统方法对比分析
基于表2参数设置执行NSGA-II算法，重复实验10次，共计求得38个最优解。由于空间干涉主要影响活动调度决策，因此令所有解的模式选择决策保持不变，采用传统正向调度法求解工程调度方案，计算所得方案的时间和成本目标值。箱线图6统计了NSGA-II所得的方案相比于传统方法所得方案在时间和成本两方面的节省，计算公式为(传统方案时间/成本目标-NSGAII方案时间/成本目标)÷传统方案时间/成本目标。相比于传统方法得到的方案，NSGA-II所得方案在工期目标上平均节省3.09%，在95%的情况下NSGA-II的方案具有更短的工期；在成本目标上，NSGA-II的方案平均节省1.01%，在26%的情况下传统方法所得方案的成本更大且增加的成本是延期成本，这是由于实验设定活动执行模式不变，两组解的活动执行成本相同。实验表明，传统方法引起工程延期主要是由于在安排活动时忽略了空间干涉的影响，使得调度方案执行时的空间干涉增大，引起作业效率降低。综上，本文在工程调度问题中考虑空间干涉影响，对工程进度和成本两方面目标均更为有利。
BIM即Building Information Modeling，是技术的一个集成平台。通过该技术集成平台，组建一种多维的信息模型，使建设项目的所有参与方参与规划、设计、生产、施工、装修、管理和运营等阶段，从根本上改变了从业人员依靠符号文字和形式图纸进行项目建设和运营管理的工作方式。在工程的各个阶段做到可视化模拟以及数据化、信息化描述，同时各个专业之间协同工作。预先模拟复杂节点连接，检测碰撞等全新运作，实现了在建项目全生命周期内提高工作效率和质量、减少错误和降低风险的目标。整个建筑产业链的完善，为实现装配式建筑提供了一定的技术支撑。
图6 考虑与不考虑空间干涉的方案目标对比
4.2.3 最大延迟时间参数影响分析
民族地区旅游城镇化空间结构优化与城镇化协调发展研究——以滇西北为例……………………普 荣，白海霞（23）
为了评估不同MAX Δ取值下算法所得解集的优劣，首先选择一个解集作为比较基准，视为精确Pareto解集。本文通过随机运行算法10次，汇集所有解并从中删除重复解和支配解，最终得到由7个非支配解构成的Pareto解集，其目标向量(完工时间，成本×102)分别为(123，281)，(125，275)，(126，259)，(129，253)，(130，249)，(149，243)，(151，241)。与精确Pareto解集相比，对不同MAX Δ取值下的NSGA-II求得的解集从五方面指标进行评价，分别是无可行解次数、可行解数量、非支配解占比、收敛性(即离精确Pareto前沿的距离)和算法运行时间。令参数MAX Δ=10,20,30,…,70，其它参数按标准设置。不同MAX Δ取值下，每组实验重复进行10次，五个指标的均值如下表3所示。可以看出，算法平均得到的可行解数量随着MAX Δ增加而逐渐减少。甚至当MAX Δ≥50时，随着MAX Δ增长，算法运行失败(即找不到可行解)的次数明显增加。这是因为MAX Δ增长使解空间范围大幅扩大，算法搜索非支配解甚至可行解的难度都大大增加。然而，并非令MAX Δ取值越小就对算法性能有利，从表3的非支配解占比和收敛性指标可以看出，尽管MAX Δ取值越小，算法得到的可行解数量更多，但解的最优性表现欠佳。例如当MAX Δ取值为10和20时，算法得到的非支配解数量较少且离精确Pareto前沿距离较远。这是由于MAX Δ取值越小，搜索的解空间范围越小，从而容易遗漏搜索范围之外的最优解。从表3可以看出，当MAX Δ取值为40时，非支配解占比和收敛性均是最高，分别是22.86%和0.77。在算法运行时间方面，各组实验的算法平均耗时相差不大，说明对于本案例问题，MAX Δ对算法的运行时间影响较小。综上，MAX Δ取值过大或者过小都不利于Pareto解的质量。针对本文案例，MAX Δ取值为40时的算法性能表现最好。
表3 不同 MAX Δ取值的算法性能比较
*收敛性指标的计算除去了无可行解的实验结果。
5 结语
工程活动的作业空间干涉会引起资源作业相互干扰，导致作业效率降低，从而对工程总体进度和成本产生不利的影响。本文在工程调度优化问题中考虑空间干涉对作业效率的影响，定义活动作业效率和活动实际工期关于空间干涉的函数，建立时间-成本双目标优化的工程调度模型。为有效求解模型，采用NSGA-II元启发式算法并针对性地设计相对延迟编码方式和解码机制。对某一装饰工程案例研究发现，与传统调度方法相比，本文提出的方法可以更有效地加快工程进度，节省施工成本。通过多组对比实验探讨算法参数MAX Δ对算法性能的影响，结果表明MAX Δ取值过大或过小都不利于算法性能。针对本文的工程案例，MAX Δ取值为40时算法性能最好。本研究对于提高施工方案质量、改善施工作业环境、保证施工安全等方面均具有一定的理论和实践意义。未来可进一步将优化模型、元启发式算法与可视化信息技术结合，设计工程调度的计算实验平台，为工程实践者提供技术支持。
步凡惊讶地瞪大眼睛，他抬手扶了扶鼻梁上的眼镜，确认自己没有看错：是的，在这暗夜的博物馆里，那金色的光点，像一个优雅的小精灵，在空中翩翩起舞，就像是在召唤他一样。
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Time -Cost Trade -off Optimization of Construction Project Considering Workspace Interference
LI Qian ,TAO Sha ,ZHOU Xiao -yuan ，SHENG Zhao -han
(School of Engineering and Management, Nanjing University, Nanjing 210093, China)
Abstract ： Except for labor, equipment, materials resources, space is an important resource for construction activity execution. Space resource required by construction activity means the occupation of two-dimensional or three-dimensional space in construction site during the execution of construction activity. Since the construction site is often fixed and space is limited, space interferences among activities often happen in construction practice, which would reduce productivity, lead to construction delay and cost overrun. Therefore, more and more researchers in construction management field have paid great attention on space interference. When scheduling a construction project, construction project manager should try to prevent or mitigate space interference among activities, which is of great significance to construction practices.
Previous studies have indicated that space interference can decrease resource productivity which leads to a longer actual duration than expected. Therefore, the influence of space interference on productivity is taken into account in this paper. The construction scheduling problem with variable duration under the influence of space interference is studied. The problem is to optimize two goals simultaneously: project makespan and total cost. To be more specific, the degree of space interference is measured and the productivity function of space interference is proposed. Then, a bi-objective programming model is established. The solution of the model conclude two parts: 1) the execution time of each activity; 2) mode selection for each activity. In terms of execution time, the model should determine not only the start time but also the actual duration for each activity, since the actual duration is variable in this problem. In order to solve the problem efficiently, the NSGA-II is adopted where a specific encoding method based on relative delay time and the corresponding decoding mechanism are designed. Finally, the model and the algorithm are verified by analyzing a construction project case. By comparing with the traditional scheduling method, the experimental results show that NSGA-II can reduce the space interference more effectively and improve both two objectives. For the construction case used here, the Pareto solutions saves 3.09% on project makespan and 1.01% on total cost when mode selection being fixed. Comparison experiments are also conducted to explore the influence of critical parameter——maximal relative delay time on the performance of NSGA-II. The experimental results indicate that when the maximal relative delay time be set as 40, the NSGA-II has the best performance on solving the case.
对比浓缩前后卤水和透过液的组成，透过液的K，Na，Mg含量占原卤水含量的百分比分别为0.020 8%，0.016 70%，0.008 45%，说明膜蒸馏对卤水浓缩有显著的影响，卤水中的盐几乎截留在了膜的进料侧。测得卤水浓缩后的透过液的电导率是0.048～1.682 ms/cm，对比纯净水的电导率是 0～10 μs/cm，饮用水的电导率是 0～50 μs/cm，一般家用自来水的电导率为125～1 250 μs/cm，实验表明：膜蒸馏实验得到的透过液达到生活用水的标准。
This research has a certain practical guidance for construction management in reality. It can provide a scientific and reasonable decision support for project managers. It also enriches the theoretical study in the field of construction management and resource-constrained project scheduling problem.
Key words ： construction scheduling; workspace interference; productivity; time-cost optimization; NSGA-II
文章编号： 1003-207( 2019) 10-0170-09
DOI: 10.16381/ j.cnki.issn1003-207x.2019.10.017
中图分类号： C935
文献标识码： A
收稿日期： 2018-10-09； 修订日期： 2019-04-12
基金项目： 国家社会科学基金重大资助项目(18ZDA043); 国家自然科学基金资助项目(71571098, 91646123, 71671088, 71501102, 71471077)
通讯作者简介： 陶莎(1989-)，女(汉族)，安徽芜湖人，南京大学工程管理学院，助理研究员，研究方向：复杂工程与项目管理，E-mail：shirley_tao211@126.com.
标签：工程调度论文; 作业空间干涉论文; 作业效率论文; 工期-成本优化论文; NSGA-II论文; 南京大学工程管理学院论文;