整数分解常见题型解法举隅，本文主要内容关键词为：解法论文,整数论文,题型论文,分解论文,常见论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
整数分解的问题在小学数学，特别是在智力竞赛题中是经常可见的。大致有三种：
一、分解成若干个数的和的问题
常见的有四种，今分别举例说明它的解法。
1.分解成数字相同的数之和的问题
例1.请你用八个“4”列出一个等于500的等式，只许用加法（两个4联在一起就读四十四，三个4联在一起就读四百四十四）。
4 4 4 4 4 4 4 4=500。
分析：上面的式子倒过来，可以写成下面这种形式：
500=4 4 4 4 4 4 4 4。
实质上是整数分解的问题。解答这类问题一般从数的低位到高位的数字之间的关系进行分析。这里500的个位为0，八个4中只有五个4相加才能得到0，由此可以确定500可分解为五个数相加，又因为个位五个4相加向十位进了2，所以，十位要得到0，只能有二个数为4的十位数，到此，问题得到解答。
答：444+44+4+4+4=500。
类似的，如：请用五个2列出一个等于28的等式；用八个8列出一个等于1000的等式（只能用加法）。
注：上述问题，若看成是无序的（即变换数的位置所得到的表示形式看成一样），则答案是惟一的。
例2.把14分成几个自然数的和，再求出这些数的乘积，要使所得到的乘积尽可能大，问这个乘积是几？（“华罗庚金杯”少年数学邀请赛复赛试题第13题）
分析：把一个数分解成几个自然数的和有很多种方法，但是，加上要使分解出的数的乘积最大这个限制条件，解答就是惟一的了。一般地，要把任意一个大于1的自然数分解成几个自然数的和，且使这些数之积为最大，那么，必须使分解的每一个自然数都大于1且小于4，即只能是若干个2与若干个3之和，由此，我们便得到问题的解答。
解：∵14=3+3+3+3+2,
∴乘积3×3×3×3×2=162最大。
2.分解成数字不同的数之和的问题
例3.请把693写成两个三位数之和，使每个加数的数码是由1至9九个数码中去掉6、9、3剩下的数码所组成，且每个数码只用一次。
分析：解答这类问题要按先确定两个加数的个位数，再确定两个百位数（或相反），最后确定两个十位数的原则，逐步分析试验，以达到题目的要求。这里693的个位数是3，要从1、2、4、5、7、8这六个数取两个数相加得到个位数是3，只有两种可能：一是1加2；二是5加8。但若是取1与2作两个相加数的个位数，则在剩下的四个数中无论怎么取，百位数都不可能是6，因此，两个加数的个位数只能取5与8。再考虑百位数的6，在剩下的四个数1、2、4、7中取两个数作两个加数的百位数是6的只能是2与4，因为选1与7、2与7、4与7相加显然超过6；选1与2，十位数上的两个数相加最多进1，两个数相加百位数小于6；选1与4，则十位数上的两个数码分别为2与7，相加再加个位数上进1得10，显然也不符合要求。至此，我们就可写出全部解答。
答：693=215+478 693=218+475
693=275+418 693=278+415
3.分解成质数之和的问题
例4.把下面各偶数分解成两个质数的和：
90=( )+( );96=( )+( )。
分析：解这类问题可用筛选法，从最小的质数开始，看从被分数中减去这个质数之差是不是质数，如果不是，把这个质数筛掉，再考察下一个，依此类推，直到符合条件的两个质数为止。
答：90=(7)+(83)，或11+79;17+73;19+71;23+67;29+61;31+59;37+53;43+47。
96=(7)+(89)，或13+83;17+79;23+73;29+67;37+59;43+53。
4.分解成完全平方数之和的问题
例5.请你把下列两个数34、85表示成两个正整数的平方和的形式：
34=?;85=?。
分析：考察被分解的数以内有那些完全平方数（即能表示为一个整数的平方的数，如4=
），看看这些数当中那两个数之和等于被分解的数，由此可得到解答。
答：
。
注：形如4k+3（k为自然数）的自然数都不能表示成两个自然数的平方和。
例6.请把28、44分解成四个完全平方数之和。
分析：此题的解法同上例。
答：28=1+1+1+25;44=1+9+9+25。
二、分解成若干个数之积的问题
整数分解成若干个数的积的问题主要是分解成质因数的连乘积的应用问题。例如，在小学数学中，利用数的质因数分解求几个数的最大公约数与最小公倍数，就是这类问题。
例7.求360的正约数的个数。
分析：若一个自然数
为互不相同的质数，那么，a的正约数的个数为
个，只要把这个数进行质因数分解，然后按上述公式便可求得。
解：∵
∴正约数的个数为：4×3×2=24（个）。
例8.975×935×972×( )要使这个连乘积的最后四个数字都是0，在括号内最小应填什么数？
分析：按题目要求，这四个数之积一定可以写成某数乘以10000的形式，而
由此，答案显然。
答：括号内最小应填20。
另外，还有一些分解为非质因数之积的问题。
例9.请写出一个算式，使它具有
的形式（A、B、C各代表一个数字）。
分析：要写出这样一个算式，我们可以从个位分析起，C乘以A等于A，C只能是1，而要使B乘以A得到十位数一十几且个位数仍是B，那么A只能是3或6，而B只能是5或2。
答：153=3×51，或126=6×21。
三、分解成若干个数用“＋、－、×、÷”和括号连接起来的式子的问题
例10.请在下图空格上填上合适的一个数字，使算式成立：
29×□□+□□×2=1987
5×□+□×6=61
分析：解这类问题同样先从数的低位考虑。在第一式中，1987分解成两个数之和，因为乘以2所得到的数的个位数只能是0、2、4、6、8，所以，要填的两个十位数的个位数的配对只能是3与0或5与1、7与2、9与3、1与4。当确定了两个数的个位数之后，例如，取3与0，再考察十位数，因为一个十位数乘以2的积大于20而小于200，所以，我们可以从积在1787-1967之间的数中找出29乘上□3中“□”里的数字，由此也就可以确定另一个数的十位上的数字。第二式比较简单，因为5乘以任何数的结尾只能是0或5，而任何数乘以6都是偶数，要使这两个数之和的个位数为1，前者的个位数只能为5，因此，5只能乘以3或5、或7、或9，但是，61减去5乘以3（或7、或9）之积所得的差不是6的倍数，因此，只能是5。
答：29×63+80×2=1987;5×5+6×6=61。
注：第一式还可以得到很多答案，请读者自己找。
四、几道练习题
1.请在五个5之间填上“＋”、“－”、“×”、“÷”和括号，使等式成立：5 5 5 5 5=24。
2.用二个4和二个10组成一个算式，使结果等于24。
3.用4个相同的数字（而不是数目）写出一个算式，答数是100。
4.请按1、2、3、4、5、6、7、8、9顺序排列，中间选择适当的“＋、－、×、÷”和括号，列出三个等于0的等式。