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一、问题提出 勾股定理是初中数学的重要内容，在中考中多次出现，主要考查利用勾股定理进行计算以及勾股定理在实际生活中的应用.从知识层面讲，运用勾股定理解题蕴含着的代数味道和几何本质，是学生需要掌握的初级学习目标；从能力层面来看，勾股定理的应用教学不再以单一的知识进行，其注重了如何构造直角三角形这一难点，需要将数学思想方法进行合理的渗透.渗透思想方法的教学，不仅大大提高了教学的效率，更能使学生站在系统的高度理解数与形的完美结合.如何挖掘身边的素材，渗透常用的数学思想方法，深化学生对核心知识的理解，演绎课堂的精彩，成为值得我们深入研究的课题.基于这样的认识，笔者在教学“勾股定理的应用”一课时，进行了积极的探索和有益的尝试，取得了良好的效果. 本节课选自苏科版八年级上册《勾股定理的简单应用之实际应用》.这一内容着重体现了初中数学解题中的建模思想、方程思想，以及分类讨论思想，帮助学生树立“数形是一家，解题不分离”的意识.在课堂教学中，笔者采用学生熟悉的校园片段、校园活动作为素材，抓住了学生的兴奋点，一下子将学生吸引到课堂上来.而一题多变、逐步提升难度和广度的教学方法，拓展了学生思维的发散性，培养学生对问题深入思考、多角度思考的思维习惯，使课堂生动活泼、精彩纷呈，受到了听课教师的一致好评.现将教学过程整理如下，并结合实录作一点粗浅的教学反思，与大家探讨、交流和分享，供大家参考， 二、教学设计 本节课的教学目标主要是应用勾股定理解决一些简单的实际问题，培养学生应用数学知识分析和解决实际问题的能力，教学重点与难点则在于感悟数学的“建模”思想，把实际问题转化为解直角三角形的问题，从而增强应用意识. 科学源于生活又作用于生活，而学生最熟悉的生活莫过于校园生活.周一的升旗仪式、校园一隅的小径、美丽的荷花池，还有学生最向往的操场，这些都成了我教学设计的素材来源，计算旗杆的高度、小径的长度、荷花池的水深、操场游戏中互动所成的角度，都成为勾股定理应用问题的绝佳载体.而随着校园生活场景的切换，勾股定理的应用也在向纵深发展，难度逐级提升，由于学生对于校园生活场景非常熟悉，在此背景下建模可谓是得心应手，教学难点因而得以化解，教学效果大幅提升.从学习心理学的角度来看，这样的设计能最大限度地吊起学生的胃口，充分激发起他们思考的兴奋点，从而将解题的能效发挥到最大，师生互动也更为自然融洽. 这节课的开头，教师信手从校园生活中拈取素材，向学生提出了“如何测量旗杆高度”这一问题，带着这个疑问，教师引领学生进行逐步的探索.先用两个简单的问题，只需找出图中的直角三角形即可解决，让学生熟悉勾股定理的应用.然后提升难度，引用荷花问题，通过教师的演示让学生观察、感受其情境过程，在此基础上画出相应的几何图形（建模），用方程思想解决问题.紧接着，回到上课初提出的疑问，让学生设计方案来求旗杆的高度.因为有了前一个荷花问题作铺垫，这个问题迎刃而解.求出这个天天见到却从未留意过的旗杆的高度，学生在得到结果后一定会非常兴奋.这时稍加变式，要求在没有直角三角形的情况下，自己构造合适的直角三角形，增大了学生的思维量，激起学生作进一步的思考.最后回到操场上，加大难度，用一个动态的问题压轴，将本节课“低起点、高落点、有梯度”的设计理念体现得淋漓尽致. 三、课堂简录 1.问题情境 师：在周一的升旗仪式上，当五星红旗冉冉升起的时候你是否想过，我们学校的旗杆有多高呢？有没有办法知道它的高度呢？今天这节课尝试运用刚学过的知识“勾股定理”来解决这个问题. （幻灯片展示本校学生升旗仪式时的照片） 师：请同学们回顾一下，什么是勾股定理？具体内容是什么？ 生：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 师：勾股定理揭示的是直角三角形三边的数量关系，已知任意两条边，我们就可以求出第三边.我们在使用定理时有两个注意点：（1）确定是直角三角形；（2）搞清哪条边是斜边.勾股定理不仅能解决基本的数学题，在生活中它的应用也很广泛.（板书课题：勾股定理的应用） 2.数学应用 ·片段1 小试牛刀 例1 如图1，太阳能热水器的支架AB长为90cm，与AB垂直的BC长为120cm.太阳能真空管AC有多长？（幻灯片展示太阳能热水器）
让学生说出已知条件，特别强调直角.通过此题使学生知道一个实际的热水器问题可以转化成数学中的直角三角形问题，已知两边可以通过勾股定理求出第三边，从而解决实际问题.（这种思想方法在数学中称为“建模思想”） 师：让我们走进最熟悉的校园. 例2 如图2，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，仅仅少走了________步路，却踩伤了花草.（假设1m为2步）
师：读完题，同学们眼前出现了什么图形呢？ 生：直角三角形. 师：为什么是直角呢？ 生：长方形花圃. 师：很好，同学们审题很仔细.通过测量，两条直角边分别为3m和4m，请问这个所谓的捷径到底省下了几步路呢？ 此时，学生很快能说出解题的过程以及结果. 师：平时不管走到哪里，只要我们多走几步路，就可以留下一大片绿色.（融入情感教育，倡议“爱护校园，从我做起”） ·片段2 渐入佳境 师：让我们来到教学楼旁边的小池塘.不知大家有没有留意到池塘中美丽的荷花.印度数学家什迦逻曾提出荷花问题，大家来看一首小诗. 例3 荷花问题：平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？
（请一个学生大声朗读一遍，并告知题目要我们求什么；请其他学生轻声地再读一遍，想象具体情境并提炼出有用的数学信息.） 师：现在，我把题目中所揭示的数学图形的变化过程来演示一下，请同学们根据演示过程和诗中的信息在草稿纸上画出它的几何图形.（请一个学生上黑板画图，画完后让他标注已知条件，并写出已知什么、要求什么，再一次强调隐藏的直角三角形.） 师：在这个直角三角形中，只有一条边已知，怎么求出其他的边呢？ 生：设一条边是x. 师：好，那另一条边呢？ 生：用x+0.5表示. 师：大家看一看，问题解决了吗？ 生众：用勾股定理建立方程. 师：这种思想在数学上称为“方程思想”. （由一个学生口述，教师完整板书） 例1～3讲解完后，通过对比来总结：在直角三角形中，已知任意两边可以求第三边；如果只知道一条边，还知道另两条边的关系，通过建立方程一样可以解决问题. ·片段3 大展拳脚 师：下面让我们回到操场上解决本课开始时提出的问题. 例4 周一升旗仪式的时候，看着冉冉升起的五星红旗，你们是否想过学校的旗杆到底有多高呢？请你设计一种可行的方案，并用所学的数学知识来计算.（旗杆、绳子、皮尺）
师：请同学们结合刚才的荷花问题，看看有没有受到启发？前后左右的四个同学组成一组进行讨论. （此时学生的积极性被完全调动了起来，相互之间展开了讨论） 师：讨论有没有结果？请大家把结果和我们分享一下. 生（积极举手）：把绳子拉直，构成直角三角形. （学生说得不够明确，教师让他上黑板画图说明） 师：这位同学踊跃发言的精神值得表扬，我们具体来看看他的设计方案. （把绳子拉直，使绳子的末端刚好接触地面，与旗杆构成一个直角三角形，强调隐藏的直角三角形） 师：在这个直角三角形中，有一条边可测，还有两条边（旗杆与绳长）不可测，它们之间有关系吗？ 生1：绳子比旗杆长. 生2：长多少可测. 师（追问）：怎么测？ 生2：把绳子沿着旗杆拉直，多出来的部分的长度就是绳子比旗杆长了多少. 师：太棒了. ·片段4 纵深探究 师：我们在例4的基础上继续深入探究，如果将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，这时还有办法知道旗杆的高度吗？ （学生的学习热情完全被调动了，自发地分组开始讨论） 师：请已经有方案的小组派一名代表上黑板画图，并讲出具体方案. （一名学生主动上黑板画图，方法跟刚才的类似，只是没有现成的直角三角形.） 师（追问画图的同学）：你能具体地说说需要测量哪些数据，又如何计算呢？ 生：画一条垂线段，构造直角三角形.在这个直角三角形中，绳子末端到旗杆有多远是可测的，斜边就是绳长，设为x，另一条直角边可用x表示，只需测出绳子末端距离地面有多高. （这名学生的回答非常到位，说明他已经吃透勾股定理的方程思想了，知道了一边，另两边的关系可测就可解决问题） 师：现在经测量，绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，那么此时旗杆有多高呢？请同学们快速计算，给出答案. ·片段5 链接中考 师：最后，让我们在操场上上一堂体育课. 例5 在一堂体育课上，体育教师在操场上画了一个边长为10米的正方形，请3个同学完成一个游戏，甲从A走向B，乙从B走向C，丙从C走向D，甲、乙、丙所到的位置分别记为E，P，F. 问：甲乙丙3人同时出发，速度均为1米/秒，几秒后EP⊥FP？ （教师画出示意图如图5，学生思考）
师：这是一个动态问题，老师画了某一时刻的静止图，在这张图上已知条件是什么？ 生1：AE=BP=CF，BE=CP，∠B=∠C=90°. 师：为什么AE=BP=CF？ 生1：同时出发，速度相同. 生2：这样就有△EBP≌△PCF. 师：这好像是一个很常见的图形，在这张图中，EP和FP的位置关系特殊吗？ 生3：特殊，位置关系是垂直. 师：在运动的过程中，一直垂直吗？ 生2：一直垂直，因为两个三角形一直保持全等. （几何画板演示点E，P，F的运动全程，让学生仔细观察EP与FP的位置关系，使学生得到了直观的印象） 师：下面改变条件：（2）若乙不动，站在离点B为2米的P处，甲、丙仍按（1）中的方式行进，几秒后EP⊥FP？ （教师画出示意图6，思考片刻后有几个学生小声地说2秒，但有点底气不足）
师：有同学发现了答案是2秒，很好，非常聪明，我们来验证一下， 师：在整个运动过程中是不是仅有一个时刻保持垂直呢？ （学生答案不一.教师用几何画板演示，让学生盯着图形，看∠EPF的变化，连续操作两遍）（此时，部分学生说不止一个答案.） 师：怎么解出其他的解呢？ （教师提示：连接EF，得到Rt△EPF，
.） 师：EP，PF，EF都不知道，怎么办呢？如何用合适的未知数表示呢？ 生：设时间为t秒. 师：哪些线段可表示呢？ 生：AE，CF，BE. 师：EP，PF可表示吗？ 生：可以，分别放在Rt△EBP和Rt△PFC中，用勾股定理. 师：那EF怎么表示呢？ （一段时间后，学生没有任何反应） 师：能不能跟EP，PF一样放在某个三角形中呢？ 生：构造直角三角形. （分别用勾股定理表示EP，PF，EF，最后放在Rt△EPF中，用勾股定理建立方程.虽然是一元二次方程，但学生可以用因式分解得到方程的解为2和8，验证了学生的猜想是对的.） 3.课堂小结 师：这节课我们学习了什么？有哪些收获？有什么体会？ 生：（1）我们学习了勾股定理的应用.（2）勾股定理的本质是揭示直角三角形三边的数量关系，已知任意两边可求出第三边；若已知一边，还要寻求另两边的关系，用勾股定理建立方程一样可以解决问题.（3）使用勾股定理的前提是找到隐藏的直角三角形，若没有直角三角形，就要构造合适的直角三角形. 4.课后探究 例5问题（2）中的EP⊥FP改为△EPF成为直角三角形，结果还一样吗？ 四、教后反思 关于“勾股定理的应用”这类较为平淡的课，如何才能激活课堂，上出效果来呢？从着手设计这堂课伊始，笔者就一直在思考这一问题.大家都知道，对于教师来说要成功上好一堂公开课，需要兼顾的方面很多，比如如何创新、师生能否互动起来、学生能否真正参与进课堂、探究方式是否切实可行.教师还要从学生的实际认知水平出发，在此基础上能进一步提高课堂效率.通过这节课的尝试，笔者的体会有以下几点. 首先，一个好的教学设计要让学生有兴趣，激发学生学习的欲望.教师在教学设计的时候，要根据自己对教材的理解，着眼于学生身边熟悉的场景——校园，着眼于调动学生的积极性，挖掘出有价值的素材，以这些鲜活的素材为载体，去对教材的内容进行加工、处理.不能仅满足于问题的解决，而要将自己对教材内容的深刻理解渗透进教学过程当中，使整个教学流程更加流畅. 其次，一个好的教学设计要有利于学生主动建构知识.新课标中强调：让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程.这个过程对学生来说是一个渐进的认知过程.由于不同的学生所处的社会环境不尽相同，所具备的数学知识背景与数学活动经验也因人而异.所以，本节课以倡导新课程理念中自主探索、动手实践、合作交流的学习方式为出发点，根据学生所处的校园环境特征、思维活动水平和数学学习条件去创造最适合学生的数学学习活动，在知识的形成过程中突出数学思维活动的培养，引导学生充分经历知识的建构过程. 本节课采用了“整体预设，局部生成”的方式，精心确定教学重点，分解教学目标，构思教学流程，控制教学方向和节奏，这些都充分体现了教师的主导作用.当教学流程以教师“预设”的方式推进时，学生的学习体现了认知、思维、情感、身心等方面的和谐统一，是一种有意义的接受式学习.同时，教师在局部环节放手让学生进行积极主动的思维和自主的探究，例如教师鼓励学生通过自主探究找到目标直角三角形，鼓励他们独立思考、自行尝试解决问题.这种自主生成的学习是一种有意义的发现式学习.在这样的学习过程中，学生充分体验到了解题遇阻时的困惑以及解决问题后的快乐，感受到了数学学习跌宕起伏的乐趣，从而使课堂在接受式学习和探究式学习的有机整合、交替进行中演绎精彩. 最后，精心选择素材，挖掘课本例题的教育价值也是提高课堂效率的重要手段.要做到“面中取点，点中求精，精中求活，活中求变”.特别是例题的讲解，改变了教师讲、学生听的传统的做法，灵活地采用师生互动、生生互动的全新模式，较好地体现了新课程的教学理念.“不愤不启，不悱不发”.当学生认真审题之后，教师放手先让学生说思路、说方法；只有当学生思维受阻时，教师再指出受阻的原因，启发前进的方向.必要时也可以让学生展开讨论，采用探究性学习的方式进行教学.这些做法，充分尊重学生作为学习主体的突出地位，有利于实现教学效益的最大化.
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