例谈中考数学压轴题的命题趋势——函数图象上的动点构成特殊图形问题，本文主要内容关键词为：图象论文,命题论文,中考论文,函数论文,图形论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
从2011年浙江省各地区的中考数学压轴题中不难发现压轴题都不约而同地趋向于对动态问题的研究，特别是以平面直角坐标系为背景的函数图象上的动点和其他定点构成特殊图形，求点的坐标或者是求某一变量的值（除了杭州市），更是备受命题者的青睐.
函数图象上的动点和其他定点构成的特殊图形常见的有“等腰三角形、直角三角形、平行四边形、菱形、矩形、等腰梯形、直角梯形、相似三角形”等等.这类问题以平面坐标系为背景，以动点为载体，集几何、代数知识于一体，数形结合，有较强的综合性.题目灵活、多变，动中有静，动静结合，其中包含着对不同阶段所学知识点的综合考查：如特殊三角形、特殊四边形以及全等、相似、方程、函数等知识.此类试题包含的数学思想和方法丰富，有数形结合思想，方程思想，函数思想，分类讨论思想，数学建模等思想方法.因此，此类问题是中考考查学生的综合分析能力，拉开学生考试成绩的常用题型，已成为中考压轴题命题的新趋势.
本文试图通过对2011年浙江省各地区中考压轴题的解析，预测以后中考压轴题的命题趋势，达到帮助毕业班师生了解压轴题的类型和规律，明晰其中所运用的数学知识和数学思想，为今后的中考复习提供一些帮助的目的.
一、函数图象上的动点和其他定点构成等腰三角形的问题
例1 （2011年浙江衢州）已知两直线
，
分别经过点A（1，0），点B（-3，0），并且当两直线同时相交于y轴正半轴的点C时，恰好有⊥，经过点A，B，C的抛物线的对称轴与直线交于点K，如图1所示.
（1）求点C的坐标，并求出抛物线的函数解析式；
（2）抛物线的对称轴被直线，抛物线，直线和x轴依次截得三条线段，问这三条线段有何数量关系？请说明理由.
（3）当直线绕点C旋转时，与抛物线的另一个交点为M，请找出使△MCK为等腰三角形的点M，简述理由，并写出点M的坐标.
解 （1）由题意易知△BOC∽△COA，
所以CO=
，
所以点C的坐标是（0，）.
由题意，可设抛物线的函数解析式为y=a
+bx+.
抛物线的对称轴为直线x=-1.
所以KD=DE=EF.
（3）①以点K为圆心，线段KC长为半径画圆弧，交抛物线于点
，由抛物线对称性可知点为点C关于直线x=-1的对称点，
所以点的坐标为（-2，3），此时△CK为等腰三角形，
②当以点C为圆心，线段CK长为半径画圆弧时，与抛物线交点为点和点A，而三点A，C，K在同一直线上，不能构成三角形.
③作线段KC的中垂线l，由点D是KE的中点，且⊥，可知l经过点D，
所以KD=DC.
此时，有点
即点D坐标为（-1，
），使△CK为等腰三角形；
综上所述，当点M的坐标分别为（-2，），（-1，）时，△MCK为等腰三角形.
点评 此题主要考查了一次函数、二次函数的相关知识以及特殊三角形、相似三角形的应用.第（1）问比较常见，是由相似得出CO的长，从而得出C的坐标，再用待定系数法求出抛物线的函数解析式.第（2）问也不难，由于三条线段是平行于y轴的，故由直线和抛物线的函数解析式解出K，D，E的纵坐标，作差即可求出相应的三条线段长.第（3）问是此题的难点，是一个典型的“函数图象上的动点和其他定点构成等腰三角形的问题”，而关键是由△MCK为等腰三角形求抛物线上的M点坐标，需分三种情况找出相应的点：其一，以点K为圆心，线段KC长为半径画圆弧，查看与抛物线的交点；其二，当以点C为圆心，线段CK长为半径画圆弧，查看与抛物线的交点；其三，作线段KC的中垂线，查看与抛物线的交点；最后通过计算讨论得出结果.这种类型要求学生对相关的知识能熟练掌握，对已知线段CK，找点M，使△MCK为等腰三角形的分类方法要熟练，对综合运用数学知识解决实际问题的能力要求较高.
二、函数图象上的动点和其他定点构成直角三角形的问题
（1）如图2，求点A的坐标及线段OC的长；
（2）点P在抛物线上，直线PQ//BC交x轴于点Q，连接BQ.
①若含45°角的直角三角板如图3所示放置，其中，一个顶点与点C重合，直角顶点D在BQ上，另一个顶点E在PQ上.求直线BQ的函数解析式；
②若含30°角的直角三角板的一个顶点与点C重合，直角顶点D在直线BQ上，另一个顶点E在PQ上，求点P的坐标.
因为BC为对称轴，B（1，3），
所以OC=1.
（2）①如图4，过点D作DM⊥x轴，交x轴于点M.
过点D作DN⊥PQ，交PQ于点N，
因为PQ//BC，
所以∠DMQ=∠DNQ=∠MDN=90°，
所以四边形MDNQ为矩形.
因为∠CDE=∠MDN=90°，
所以∠CDM=∠EDN，
因为DC=DE，
所以△DCM≌△DEN，
所以DM=DN.
所以四边形MDNQ为正方形，
所以∠DQC=45°，
所以△BCQ为等腰直角三角形，
所以CQ=BC=3，
所以OQ=4.
设直线BQ的函数解析式为y=kx+b，
直线上两点坐标B（1，3），Q（4，0），
代入求得k=-1，b=4.
所以直线BQ的函数解析式为y=-x+4.
②当点P在对称轴的右侧时，如图5，过点D作DM⊥x轴，交x轴于点M，
过点D作DN⊥PQ，交PQ于点N，设点Q（m，0），
因为∠CDM+∠MDE=∠EDN+∠MDE=90°.
所以∠CDM=∠EDN.
所以Rt△CDM∽Rt△EDN，
点评 此题考查了求一次函数的解析式，二次函数图象的相关知识，等腰直角三角形、30°角的直角三角形的性质，正方形的判定和性质，相似三角形的性质和判定，点的坐标和图形的性质关系，并凸显了分类思想的应用.第（1）问，由给出的解析式即可求得.第（2）问可证得△BCQ为等腰直角三角形，从而得出Q点坐标，然后由Q，B两点求出直线BQ的函数解析式.第（3）问由第（2）问的含45°角的直角三角板变为含30°角的直角三角板，显然是第（2）问的变式和提升，由于图形不像前者给出，而是要自己画，故带来了复杂性，需考虑当点P在对称轴的右侧和左侧时，而且即使在右侧，还要考虑∠DCE=30°和∠DCE=60°时，实际上是分4种情况，这使本题明显比第（2）问增加了难度，也考查了分类思想的应用.此题的第（2）问和第（3）问都是“函数图象上的动点和其他定点构成直角三角形的问题”.
三、函数图象上的动点和其他定点构成等腰梯形问题
例3 （2011年浙江义乌）已知二次函数的图象经过A（2，0），C（0，12）两点，且对称轴为直线x=4.设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B.
（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；
（2）如图6，在直线y=2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图7，点M是线段OP上的一个动点（O，P两点除外），以每秒2个单位长度的速度由点P向点O运动.过点M作直线MN//x轴，交PB于点N将△PMN沿直线MN对折，得到△P1MN.在动点M的运动过程中，设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒.求S关于t的函数关系式.
所以二次函数解析式为y=-8x+12，
点P的坐标为（4，-4）.
（2）存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形.理由如下.
当y=0时，-8x+12=0，
所以
=2，
=6，
所以点B的坐标为（6，0）.
设直线BP的解析式为y=kx+m，
点评 此题主要考查了一次函数、二次函数的相关知识，两直线平行的解析法判定，等腰梯形的判定，一元二次方程的构建，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形性质，梯形、三角形面积问题等，是一道综合性较强的压轴题.第（1）问是常见的用待定系数法求二次函数解析式及顶点坐标.第（2）问是典型的“函数图象上的动点和其他定点构成等腰梯形问题”，先求得直线BP的解析式，可证明直线OD//BP，再由BD=OP列方程求解出两种情况，要注意此类问题还要检验四边形OPBD是否为平行四边形，因为OD//BP且BD=OP时不一定为等腰梯形，有可能为平行四边形，因此一定要检验，这也是此题的失分点.第（3）问是图形运动变化中求两个图形重叠部分的面积与时间产生的函数关系.此题较好地将方程思想、数形结合思想、函数思想、分类思想融入其中.
四、函数图象上的动点和其他定点构成相似三角形的问题
例4 （2011年浙江金华）如图11，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上一动点，连接OB，AB，并延长AB至点D，使DB=AB，过点D作x轴垂线，分别交x轴，直线OB于点E，F，点E为垂足，连接CF.
（1）当∠AOB=30°时，求弧AB的长度；
（2）当DE=8时，求线段EF的长：
（3）在点B运动过程中，是否存在以点E，C，F为顶点的三角形与△AOB相似，若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由.
解 （1）连接BC，
因为A（10，0），
所以OA=10，CA=5.
因为∠AOB=30°，
所以∠ACB=2∠AOB=60°.
（2）连接OD.
因为OA是⊙C直径，
所以∠OBA=90°.
又因为AB=BD，
所以OB是AD的垂直平分线，
所以OD=OA=10，
在Rt△ODE中，
所以AE=AO-OE=10-6=4.
由于∠AOB=∠ADE=90°-∠OAB，并且∠OEF=∠DEA.
得△OEF∽△DEA.
所以EF=3.
（3）设OE=x，
①当交点E在O，C之间时，由以点E，C，F为顶点的三角形与△AOB相似，
有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB.
当∠ECF=∠BOA时，△OCF为等腰三角形，点E为OC中点，即OE=
，
所以
（，0）.
当∠ECF=∠OAB时，有CE=5-x，AE=10-x.
所以CF//AB，有CF=
AB.
因为△ECF∽△EAD.
②当交点E在点C的右侧时，
因为∠ECF＞∠BOA.
所以要使△ECF与△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO.
连接BE，
因为BE为Rt△ADE斜边上的中线，
所以BE=AB=BD.
所以∠BEA=∠BAO.
所以∠BEA=∠ECF，
因为∠ECF=∠BAO.
∠FEC=∠DEA=90°，
③当交点E在点O的左侧时，
因为∠BOA=∠EOF＞∠ECF.
所以要使△ECF与△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO.
连接BE，
得BE=AD=AB，
∠BEA=∠BAO，
所以∠ECF=∠BEA，
所以CF//BE，
点评 此题以三角形、圆为基本图形，以直角坐标系为背景，考查了圆周角定理，弧长公式，相似三角形的判定与性质，勾股定理，一次函数，坐标与图形性质，同时结合存在性问题，并突出分类思想的运用.第（1）问比较简单，利用弧长公式即可求得.第（2）问先连线OD，求得OD=OA=10，由勾股定理求出OE=6，再由△ECF∽△EAD求得线段EF的长，其中这样添线很多学生不容易想到，此题还是有点难度.第（3）问是“函数图象上的动点和其他定点构成相似三角形的问题”，要得到满分确实难度较高，关键是按题意画出图形，当以点E，C，F为顶点的三角形与△AOB相似时，需分以下三类讨论：
①当交点E在O，C之间时，由以点E，C，F为顶点的三角形与△AOB相似，又分为两种情况讨论，有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB.
②当交点E在点C的右侧时，要使△ECF与△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO.
③当交点E在点O的左侧时，要使△ECF与△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO，然后根据各种情况分别求E点坐标.
从以上例题看出，要顺利解答压轴题，除了基础知识要扎实之外，审题也很关键，注意关键语句找出关键条件，挖掘隐含条件.函数图象上的动点和其他定点构成的特殊图形问题，往往需要自己画图，要尽量根据题意画出各类型符合题意的图形，从而找到正确合理的解题途径.分类讨论的数学思想，几乎在以上各类型的每道题都出现了，因此让学生掌握每类问题中分类的方法和为什么要这样分类显得尤为主要.
在平面直角坐标系中研究函数图象上的动点和其他定点构成的特殊图形问题，能让学生学会用运动变化的观点来看待事物，在变化中寻求不变，这也是新课程所倡导的理念，相信这样的命题特点将继续保持下去.