初中数学应用题析——从中考应用题的构思谈起，本文主要内容关键词为：应用题论文,构思论文,中考论文,初中数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
应用数学知识和方法解决实际问题是学习数学的重要目的之一。近年来，随着数学教学中“问题解决”的提出，培养学生的数学应用意识和应用能力已成为人们十分关注的问题。应用数学解决实际问题，指的是把现实世界中与数量关系和空间形式有关的问题提炼为数学问题，然后运用数学方法去解决，或者是用数学的方法主动地去观察研究现实世界中的有关问题。而作为教学中的“数学应用题”，一般是指作者或教师以现实世界中的数量关系和空间形式为基础，编写（构造）出来的题目（实际问题）。过去，人们一般认为中学数学应用题的范围是指用自然语言表达的，需要通过数学运算（算术运算或解方程、方程组等）来解决的实际问题。例如，初中数学教科书中的数字问题、路程问题、工程问题、生产调配问题等。随着数学教学研究的深入和对中学数学能力要求的逐步提高，各地中考数学试卷中出现了多种多样的应用题。面对变化多端的中考数学应用题，不少老师感到困惑：到底什么是应用题，它的范围包括那些？要弄清这个问题，就应该对应用题的表述方式、涉及的对象、求解时所用的数学方法和设问的方式等有一个较完整的了解。这个问题清楚了，就能较顺利地剖析中考应用题，也能自己构造出较好的应用题来。
1 应用题的表述方法
应用题的表述方法很多，过去，人们见到的应用题大多用自然语言来表述。但是，反映事物的空间形式和数量关系的方法不仅仅限于自然语言。目前应用题的表述方法常见有：（1）自然语言；（2）图形；（3）表格；（4）图像。
例1 （1997年上海市中考试题）某纸品加工厂为了制作甲、乙两种上方无盖的长方形小盒（如图1）， 利用边角料裁出正方形和长方形两种硬纸片，长方形的宽与正方形的边长相等（如图2），现将150张正方形硬纸片和300张长方形硬纸片全部用于制作这两种小盒， 可以做成两种小盒各多少个？
本题除了用自然语言表述了“现将150张正方形硬纸片和300张长方形硬纸片全部用于制作这两种小盒”外，还用图形给出了甲、乙两种纸盒的形状，图形中隐含的数量关系，是甲种长方形小盒每个需要正方形硬纸片1张和长方形硬纸片4张，乙种长方形小盒每个需要正方形硬纸片2张和长方形硬纸片3张。
很明显，图形也可以是一种提供数量信息的载体，有时它比自然语言更简洁明了。在本题中，如果审题忽略了图形提供的数量信息，或者不能正确提取图形提供的数量信息，那么解题时就无从下手或出现错解。
例2 （1999 年苏州市中考试题）全世界每年都有大量土地被沙漠吞没。改造沙漠，保护土地资源，已成为一项十分紧迫的任务。
某地区沙漠原有面积100万公顷， 为了解该地区沙漠面积的变化情况，进行了连续3年的观察，并将每年年底的观察结果记录如表甲， 根据这些数据描点、连线，绘成曲线图乙，发现连线成直线状。
预计该地区沙漠的面积将继续按此趋势扩大。
（1）如果不采取任何措施，那么到第m年底，该地区沙漠面积将变为＿＿＿＿万公顷；
（2）如果第5年底后，采取植树造林等措施，每年改造0.8 万公顷沙漠，那么到第几年底，该地区沙漠的面积能减少到95万公顷？
本题用自然语言表述的主要是土地沙漠化和改造沙漠的问题，给出了“100万公顷”和连续“3年”两个数据以及连线成直线状和沙漠的面积将继续按此趋势扩大的规律，其余的数量关系和规律由表格和图像给出。表格给出的是观察时间x和该地区沙漠比原有面积增加数y的对应值，图像给出了曲线的形状。本题中表格与图像提供的数量信息很多，只有把自然语言和表格、图像提供的数据信息和变化规律结合起来，也就是只有正确地综合理解题中的自然语言和表格、图像的意义，才能解好本题。
以上仅举两例。如果在自然语言、图形、表格和图像等反映数量信息的载体中，选择几个或全部，用各种方式合理地排列组合，就可以构造出在形式上丰富多彩的应用题来。
2 应用题涉及的对象
应用题涉及的对象可以是极其广泛的。凡是与数量关系和空间形式有关的，需要求解的实际问题都可以作为对象构造成数学应用题。在初中数学中，主要有以下几类内容：
（1）数学学科中的有关问题。 数学学科本身研究的是客观世界的数量关系和空间形式，以数学问题为题材可以构造出许多应用题。例如，数字问题，长度、面积和体积问题等，这些问题在教科书中很多，这里不再详述。
（2）其它学科中的问题。初中阶段，除数学外， 学习的科目还有许多，其中不少内容都涉及到数量关系和空间形式，并以数学运算为研究工具。例如，物理学中研究路程、时间、速度关系的行程问题，化学中研究溶质、溶剂、浓度关系的浓度问题（1998年江苏省初中数学教学内容调整方案中，已作“确定为只学不考的内容”处理），这些问题在教科书中也已不少。但是我们不能把数学应用题的内容仅囿于这些范围内。实际上，就拿物理和化学两门学科来说，可以建立数学模型的应用问题是很多的。例如，物理学中的力学、电学、光学，化学中有关化学反应方程式的计算等。此外，如地理学科中的时区、温度曲线、降雨量直方图、等高线等问题，生物学科中有关DNA、RNA的结构和遗传等问题，都可以作为应用题的题材，上述例2就是一个以地理学中的环境保护为题材的应用题。
（3）与生产生活相联系的问题。 这些问题在教科书中已有所反映，如我们熟悉的工作问题、生产调配问题等。实际上，与生产生活相联系的问题很多。
例3 （1998年苏州中考试题）某商场于第一年初投入50万元进行商品经营，以后每年年终将当年获得的年利润与当年年初投入资金相加所得的总资金，作为下一年年初投入资金继续进行经营。
（Ⅰ）如果第一年的年获利率为P，则第一年年终的总资金可用代数式表示为＿＿＿＿万元。
（Ⅱ）如果第二年的年获利率比第一年的年获利率多10个百分点（即第二年的年获利率是第一年的年获利率与10％的和），第二年年终的总资金为66万元，求第一年的年获利率。
本题以投资经营为题材。解题时，首先要理解“投入资金”、“商品经营”、“年利润”、“年获利率”、“百分点”等概念，掌握其中隐含的数量关系。对于括号中语句的作用和含义也要有正确的判断。
此外，银行利率、购物和反映某一产品加工过程的问题也是生产生活中的常见实际问题，上述例2也可以看成是生产生活中的实际问题。这类题目，是以一定的生产生活实践为基础的，构造这些题目时不能凭空猜想，牵强附会地套用几个实际名称，而是应该尽量接近实际发生的真实情况，正确反映生产中的某一过程。例如上述例2， 反映了实际工作中，通过测量、数据分析、用曲线方程描述变化规律，从而制定方案的常规方法。
以生产生活为题材的数学应用题将可能会越来越多。
综上可知，在各学科以及生产生活中，与数量关系和空间形式有关的问题极其广泛，这些问题本身就都是数学应用问题，从中选择出中学生能解决的问题，用恰当的形式来表述，就能构造出许多新型的应用题。
3 应用题求解时所用的数学方法
在初中数学中，用于解应用题的方法主要有三类：方程（组）法、函数法和不等式法。根据题意列代数式或直接运用教科书中现成的公式是建立方程（组）和函数关系式及不等式的基础。例如，
解上述例1时，先根据题意列出代数式x＋2y和4x＋3y，然后再列得方程x＋2y＝150和4x＋3y＝300，最后得方程组
解上述例2的第（1）小题，根据题意写出代数式0.2x＋100 （这个式子，其实也可以看成是在不采取任何措施时，该地区沙漠面积与年数x的函数关系式，其中x≥1，x∈N。解第（2）小题时，先设“到第x 年底，该地区沙漠的面积能减少到95万公顷”，则可列得方程100＋0.2x－0.8×（x－5）＝95。
解上述例3的第（1）小题，根据题意写出代数式50（1＋P）。解第（2）小题，先“设第1年的年获利率为x”，可列得方程50（1＋x）（1＋x＋0.1）＝66。
上述例1至例3主要是用列代数式和方程（组）来解的，除此之外求解应用题还经常用到函数关系式和不等式等。如果我们构造应用题时，设想要用到代数式、方程、函数关系式、不等式中的一个或几个方法，那么出现的题目将是多种多样的。
4 应用题的设问方式
应用题中要解决的问题用设问的方式提出，常用的设问方式有封闭式设问和开放式设问两种。
上述例1至例3用的都是封闭式设问，在这类设问中，要求直接求出某数的大小。而开放式的设问，不是直接求出某数的大小，而是要求回答可能出现的结果的情况或就某一个问题进行讨论等。
例4 （1998 年西安市中考试题）某校校长暑假将带领该校市级“三好学生”去北京旅游。甲旅行社说：“如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优待”。乙旅行社说：“包括校长在内全部按全票的6折优惠”（即按全票价的60％收费）。若全票价为240元。
（1）设学生数为x，甲旅行社收费为y[,甲]，乙旅行社收费为y[,乙]，分别计算两家旅行社的收费（建立表达式）；
（2）当学生数是多少时，两家旅行社的收费一样？
（3）就学生数讨论哪家旅行社更优惠。
本题（3）需根据y[,甲]＝0.5×240x＋240，y[,乙]＝0.6×240x＋0.6×240，再分y[,甲]＞y[,乙]、y[,甲]＝y[,乙]、y[,甲]＜y[,乙]三种情况进行讨论。这是一个需要根据情况进行讨论才能回答的开放式问题。
数学应用题是中学数学教学的重点，也是中考数学的重点之一。我们只有正确把握好应用题的表述方法、涉及的对象、求解时所用的数学方法和设问的方式，才能构造出好的应用题来。也只有从应用题的表述方法、涉及的对象、求解时所用的数学方法和设问的方式等方面来剖析数学应用题才能教好应用题。要使学生解好应用题，就应该在平时应用题的教学中注意培养学生的阅读能力、理解能力以及从应用题中正确提炼出数量关系和空间形式的能力，扩大学生的知识面，培养学生的数学应用意识，养成学生平时关心周围发生的数学现象，关心各学科以及生产生活中的数学问题的习惯。